3
Definisi 5 Solusi Fisibel Basis Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x
merupakan solusi basis dan x ≥ 0.
Nash Sofer 1996 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis
dapat dilihat dalam contoh berikut: Contoh 1
Misalkan diberikan linear programming berikut:
1 2
min 2
z x
x
1 2
3 1
2 4
1 5
1 2
3 4
5
terhadap 2
2, 2
8, 4,
, ,
, ,
0. x
x x
x x
x x
x x x x x x
4
Dari LP tersebut didapatkan:
.
2 1
1 2
1 2
1 0 ,
8 1
1 4
A b
Misalkan dipilih
1 2
3 4
5
,
dan
T T
x x
x x
x
B N
x x
maka matriks basisnya adalah
, ,
2 1
1 1
1 2 12
12 1
1 12 32
-1
B B
1 0 1
N
, .
1 2
T T
B N
c c
Dengan menggunakan
matriks basis
tersebut, diperoleh
,
= 4
6 4
z = 16.
T T
T -1
B N
B N
-1 -1
x x
B b B Nx c B b
5 Solusi 5 merupakan solusi basis, karena
solusi tersebut memenuhi kendala pada LP 4 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari 5, yaitu B, adalah bebas linear kolom yang satu
bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi 5 juga merupakan solusi basis
fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
Definisi 6 Daerah Fisibel
Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala
dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Winston 2004
Definisi 7 Solusi Optimum
Untuk masalah
maksimisasi, solusi
optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terbesar. Untuk masalah minimasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.
2.2 Integer Programming Model integer linear programming ILP
atau disebut juga integer programming IP adalah suatu model linear programming
dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat integer. Jika semua variabel
harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika
hanya sebagian yang harus berupa integer maka disebut mixed integer programming
MIP. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.
Garfinkel Nemhauser 1972 Definisi 8 Linear Programming Relaksasi
LP-relaksasi dari suatu IP merupakan linear programming yang diperoleh dari IP
tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap
variabelnya. Winston 2004
2.3
Metode Branch-and-Bound
untuk Menyelesaikan Masalah Integer Linear
Programming
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah IP
digunakan software LINGO 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk menentukan
solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer dengan lebih cepat, mudah, dan lebih
efisien.
Software LINGO
8.0 ini
menggunakan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah IP.
Prinsip dasar metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah
PL-relaksasi dengan membuat subproblem- subproblem.
Daerah fisibel
suatu pemrograman linear adalah daerah yang
memuat titik-titik yang dapat memenuhi kendala linear masalah pemrograman linear.
Branching pencabangan adalah proses membagi-bagi
permasalahan menjadi
subproblem-subproblem yang
mungkin mengarah ke solusi.
Bounding pembatasan adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas
atas dalam masalah minimasi dan batas bawah dalam masalah maksimasi untuk
4 solusi optimum pada subproblem yang
mengarah ke solusi. Metode branch-and-bound diawali dari
menyelesaikan PL-relaksasi dari suatu integer programming. Jika semua nilai variabel
keputusan solusi optimum sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan
solusi optimum IP. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada
PL-relaksasinya kemudian diselesaikan.
Winston 2004 menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimum untuk IP
nilai fungsi objektif optimum untuk PL-relaksasi
masalah maksimisasi, sehingga nilai fungsi objektif optimum PL-relaksasi merupakan
batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah IP. Diungkapkan pula dalam
Winston 2004 bahwa nilai fungsi objektif optimum
untuk suatu
kandidat solusi
merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah IP asalnya. Suatu
kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer
pada masalah IP, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer.
Sebelumnya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut
Winston 2004, suatu subproblem dikatakan terukur fathomed jika terdapat situasi
sebagai berikut. 1. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga
tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk IP.
2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya
bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih
baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi
kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah nilai
fungsi objektif optimum bagi masalah IP pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini
menghasilkan
solusi optimum
untuk masalah IP.
3. Nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi untuk
masalah maksimisasi batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.
Berikut ini
adalah langkah-langkah
penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound.
Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai
fungsi objektif solusi IP yang optimum. Pada awalnya ditetapkan
z
dan
.
i
Langkah 1 Subproblem
i
PL dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diteliti. Subproblem
i
PL diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai.
a Jika
i
PL terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi IP yang lebih baik
ditemukan. Jika tidak, bagian masalah subproblem baru i dipilih dan langkah 1
diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti, maka proses dihentikan.
b Jika
i
PL tidak terukur, proses dilanjutkan ke Langkah 2 untuk melakukan pencabangan
i
PL . Langkah 2
Dipilih salah satu variabel
j
x yang nilai optimumnya adalah
j
x
yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi
i
PL
. Bidang
1 ]
[ ]
[
j j
j
x x
x
disingkirkan dengan
membuat dua subproblem PL yang berkaitan menjadi dua subproblem yang tidak dapat
dipenuhi secara bersamaan, yaitu
[ ]
j j
x x
dan
[ ] 1
j j
x x
, dengan
] [
j
x
didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan
.
j
x
Kembali ke Langkah 1. Taha 1996
Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai
berikut. Contoh 1
Misalkan diberikan integer programming berikut:
max z x
y
terhadap
2 5
16 x
y
6
6 5
30 x
y
,
x y
, x y
integer Solusi optimum PL-relaksasi dari masalah
IP 6 adalah x=3.5, y=1.8, dan z=5.3 lihat pada Lampiran 1. Batas atas nilai optimum
fungsi objektif masalah 6 adalah z=5.3. Daerah fisibel masalah 6 ditunjukkan pada
Gambar 1. Solusi optimum berada pada titik perpotongan dua garis yang berasal dari
kendala pertidaksamaan masalah 6.
5
Out[5]=
Gambar 1 Daerah fisibel daerah yang diarsir untuk PL-relaksasi dari IP 6.
Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel PL-relaksasi menjadi dua
bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan non-integer. Dipilih x sebagai dasar
pencabangan. Jika masalah PL-relaksasi diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan
tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu:
Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala
3 x
. Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah
kendala
4 x
. Hal ini diilustrasikan secara grafis pada
Gambar 2.
Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3.
Setiap titik solusi fisibel dari IP 6 termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2
atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3
dikatakan dicabangkan atas x
.
Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2,
kemudian diselesaikan. Solusi optimum untuk Subproblem 2 adalah x=3, y=2, dan z=5 lihat
Lampiran 1. Semua variabel bernilai integer solusi memenuhi kendala bilangan bulat,
maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 2. Solusi dari Subproblem 2
menjadi batas bawah dari solusi IP, yaitu sama dengan 5.
Saat ini
subproblem yang
belum diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi
optimum untuk Subproblem 3 adalah x=4, y=1.2, dan z=5.2 lihat Lampiran 1. Karena
solusi optimum yang dihasilkan Subproblem 3 bukan
solusi integer,
maka dipilih
pencabangan pada Subproblem 3 atas y, sehingga diperoleh dua subproblem lagi,
yakni: Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah
kendala
1 y
. Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah
kendala
2 y
. Daerah fisibel dari Subproblem 4 dan
Subproblem 5 diilustrasikan secara grafis pada Gambar 3.
Gambar 3 Daerah fisibel untuk Subproblem 4 dan Subproblem 5.
Dari grafik di atas dapat di lihat bahwa Subproblem 5 takfisibel lihat Lampiran 1
pada Subproblem 5, maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimal.
Solusi optimal untuk Subproblem 4 adalah x=4.16, y=1, dan z=5.16 lihat Lampiran 1.
Karena solusi optimal Subproblem 4 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan
Subproblem 4 pada x, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:
Subproblem 6: Subproblem 4 +
kendala
4 x
. Subproblem 7: Subproblem 5 +
kendala
5 x
. Daerah fisibel
Subproblem 2
Subproblem 3 Subproblem 5
Subproblem 4
6 Daerah fisibel dari Subproblem 6 dan
Subproblem 7 diilustrasikan secara grafis pada Gambar 4.
Gambar 4 Daerah fisibel untuk Subproblem 6 dan Subproblem 7.
Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan solusi optimal x=4, y=1, dan z=5. Solusi
optimum dari Subproblem 7 adalah x=5, y=0, dan z=5 lihat Lampiran 1. Karena nilai
fungsi objektif Subproblem 6 dan Subproblem 7 sama dengan nilai dari batas bawah solusi
IP, maka Subproblem 6 dan Subproblem 7 dijadikan kandidat solusi.
Subproblem 2, Subproblem 6, dan Subproblem 7 menghasilkan solusi optimum
berupa integer, dengan
5 z
. Dengan demikian, solusi optimum dari IP 6 nilai
optimum di tiga titik, yaitu di titik 3,2, 4,1, dan 5,0.
Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian
masalah IP
6 secara
keseluruhan pada gambar 5.
Subproblem 1
3 x
4
x
Subproblem 2 Subproblem 3
1 y
2
y
Subproblem 4 Subproblem 5
4 x
5
x
Subproblem 6 Subproblem 7
Gambar 5 Seluruh pencabangan pada metode branch-and-bound untuk menentukan solusi optimum dari IP.
2.4 Pengertian Air dan Teknis Pemanfaat- an
