I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Air merupakan bagian penting dari sumber daya alam yang mempunyai karakteristik
unik, karena air bersifat terbarukan dan dinamis. Ini artinya sumber utama air yang
berupa hujan akan selalu datang sesuai dengan waktu atau musimnya sepanjang tahun.
Air secara alami mengalir dari hulu ke hilir, dari daerah yang lebih tinggi ke daerah
yang lebih rendah. Air mengalir di atas permukaan tanah, namun air juga mengalir di
dalam tanah Kodoatie Syarif 2005. Di bumi air mengalir dan bergerak dengan
berbagai cara dan akan menetap untuk beberapa
waktu pada
retensi tempat
penyimpanan. Retensi dapat berupa retensi alam seperti daerah-daerah cekungan, danau,
tempat-tempat rendah, dll., maupun retensi buatan manusia seperti tampungan, sumur,
waduk, dll. Keberadaan daerah aliran sungai DAS di
suatu wilayah sangat berpengaruh terhadap kekayaan sumber daya air yang tersedia.
Wilayah
yang memiliki
DAS dapat
memanfaatkan air bawah tanah sedemikian rupa sehingga dapat dimanfaatkan sebesar-
besarnya untuk memenuhi kebutuhan setiap pihak.
Setiap wilayah yang memiliki DAS dapat mengalokasikan airnya tidak hanya kepada
pihak-pihaksektor-sektor pengguna utama seperti sektor rumah tangga dan sektor
pertanian secara luas, melainkan dapat pula menyuplai kebutuhan sektor-sektor industri,
sektor pariwisata, pembangkit tenaga listrik, dll.
Berdasarkan besar kecilnya volume air yang dibutuhkan, sektor industri dapat
diklasifikasikan menjadi dua, yaitu industri- industri air minum dalam kemasan AMDK
dan industri-industri non-AMDK meliputi perusahaaan-perusahaan
penghasil aneka
produk barang atau jasa. Dalam karya ilmiah ini penulis membuat
formulasi teknis pemanfaatan air untuk mengantisipasi terjadinya kekurangan air, bagi
setiap perusahaan air minum dalam kemasan yang memanfaatkan sumber air terpilih
berasal dari air bawah tanah. Air bawah tanah dapat diperoleh dengan empat cara alternatif,
antara lain melakukan penurapan mata air menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia
penurapan adalah mencampur semen, air, dan pasir yang digunakan untuk melekatkan batu
bata dsb agar menjadi tembok. Penurapan mata air adalah kegiatan mengubah bentuk
alamiah mata air berupa upaya mempertinggi permukaan mata air, penampungan dan atau
pemipaan yang dialirkan atau dipompa sesuai dengan keperluannya, membuat sumur bor,
sumur pasak, dan sumur gali agar perusahaan dapat memperoleh suplai air optimal sehingga
dapat terus beroperasi yang meminimumkan biaya.
Perusahaan air minum dalam kemasan yang dikaji oleh penulis adalah PT Tang Mas
Cidahu yang beralamat di Kampung Bojong Pari Desa Jaya Bakti Kecamatan Cidahu
Kabupaten Sukabumi yang selama ini hanya memanfaatkan sumber air dengan melakukan
penurapan
mata air
untuk memenuhi
kebutuhannya. Karena perusahaan berencana meningkatkan
hasil produksinya
maka permintaan terhadap air bertambah, sehingga
diperlukan sumber air alternatif untuk
memenuhi kebutuhan perusahaan tersebut terhadap air.
Pemanfaatan air
bawah tanah
oleh perusahaan AMDK dengan empat cara
alternatif merupakan salah satu permasalahan linear programming yang dapat diperoleh
solusinya dengan menggunakan software LINGO 8.0 agar biayanya minimum.
1.2 Tujuan Tujuan penulis membuat karya ilmiah ini
adalah untuk membuat formulasi optimasi alokasi air bawah tanah dengan beberapa
alternatif cara pemanfaatan bagi perusahaan air minum dalam kemasan agar biayanya
minimum. Permasalahan ini merupakan salah satu kasus dari linear programming yang
dapat diselesaikan dengan bantuan software LINGO 8.0.
II LANDASAN TEORI
Untuk membuat model optimasi alokasi air bawah tanah yang berada di sekitar daerah
aliran sungai DAS ke salah satu perusahaan air
minum dalam
kemasan AMDK
diperlukan pemahaman
teori linear
programming LP,
integer linear
programming ILP, metode branch and bound, definisi mendasar mengenai air, air
bawah tanah, DAS, aneka ragam teknis pemanfaatan air, dan cakupan biaya untuk
mensuplai kebutuhan air agar permasalahan optimasi tersebut dapat diselesaikan. Berikut
2 ini akan dibahas konsep-konsep tersebut satu
per satu. 2.1 Linear Programming
Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu konsep dasar yang harus
dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear.
Definisi 1 Fungsi Linear
Suatu fungsi
,..., ,
2 1
n
x x
x f
dari
1 2
, ,...,
n
x x x adalah fungsi linear jika dan
hanya jika untuk beberapa himpunan dari konstanta
1 2
, ,...,
n
c c c .
. ...
,..., ,
2 2
1 1
2 1
n n
n
x c
x c
x c
x x
x f
. Winston 2004
Definisi 2 Pertidaksamaan dan Persamaan Linear
Untuk sembarang
fungsi linear
,..., ,
2 1
n
x x
x f
dan sembarang bilangan ,
b pertidaksamaan
b x
x x
f
n
,...,
,
2 1
dan b
x x
x f
n
,...,
,
2 1
adalah pertidaksamaan
linear.
Misalkan b sembarang bilangan, suatu persamaan
b x
x x
f
n
,...,
,
2 1
merupakan persamaan linear.
Winston 2004 Pemrograman linear PL atau linear
programming LP adalah suatu masalah optimisasi
yang memenuhi
ketentuan- ketentuan sebagai berikut:
a Tujuan masalah
tersebut adalah
memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan. Fungsi
yang akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.
b Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap
kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
c Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam
masalah ini. Untuk
sembarang variabel
i
x
, pembatasan tanda menentukan
i
x
harus taknegatif
i
x
atau tidak dibatasi tandanya unrestricted in sign.
Winston 2004 Definisi 3 Bentuk Standar LP
Suatu LP dikatakan mempunyai bentuk standar jika dapat dinyatakan ke dalam bentuk
berikut:
Minimumkan z = c
T
x
terhadap Ax
= b x
≥ 0 b
≥ 0
1
dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa
matriks berukuran m×n yang disebut juga sebagai matriks kendala.
Nash Sofer 1996 Sebagai catatan, yang dimaksud dengan
vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi ukuran n×1.
2.1.1 Solusi suatu Linear Programming
Untuk menyelesaikan suatu masalah linear programming
LP, metode
simpleks merupakan salah satu metode yang dapat
menghasilkan solusi optimum. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig pada tahun
1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan
untuk menyelesaikan LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP
dalam bentuk standar.
Pada LP 1, vektor x yang memenuhi kendala Ax = b disebut solusi dari LP 1.
Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = B N
, dengan N adalah matriks yang
elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut
matriks basis untuk LP 1.
Jika vektor c dituliskan sebagai c = c
B
c
N
dan vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor x = x
B
x
N T
, dengan x
B
adalah vektor variabel
basis dan x
N
adalah vektor variabel nonbasis,
maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai: Ax = B Nx
B
x
N T
= Bx
B
+ Nx
N
= b 2
Karena B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers sehingga dari 2 x
B
dapat dinyatakan sebagai:
x
B
= B
-1
b – B
-1
Nx
N
3 Kemudian,
fungsi objektifnya
berubah menjadi:
min z
= .
T T
B B
N N
c x c x
+
Definisi 4 Solusi Basis
Solusi dari suatu LP disebut solusi basis jika :
i. solusi tersebut memenuhi kendala pada LP,
ii. kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol
adalah bebas linear. Nash Sofer 1996
3
Definisi 5 Solusi Fisibel Basis Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x
merupakan solusi basis dan x ≥ 0.
Nash Sofer 1996 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis
dapat dilihat dalam contoh berikut: Contoh 1
Misalkan diberikan linear programming berikut:
1 2
min 2
z x
x
1 2
3 1
2 4
1 5
1 2
3 4
5
terhadap 2
2, 2
8, 4,
, ,
, ,
0. x
x x
x x
x x
x x x x x x
4
Dari LP tersebut didapatkan:
.
2 1
1 2
1 2
1 0 ,
8 1
1 4
A b
Misalkan dipilih
1 2
3 4
5
,
dan
T T
x x
x x
x
B N
x x
maka matriks basisnya adalah
, ,
2 1
1 1
1 2 12
12 1
1 12 32
-1
B B
1 0 1
N
, .
1 2
T T
B N
c c
Dengan menggunakan
matriks basis
tersebut, diperoleh
,
= 4
6 4
z = 16.
T T
T -1
B N
B N
-1 -1
x x
B b B Nx c B b
5 Solusi 5 merupakan solusi basis, karena
solusi tersebut memenuhi kendala pada LP 4 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari 5, yaitu B, adalah bebas linear kolom yang satu
bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi 5 juga merupakan solusi basis
fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
Definisi 6 Daerah Fisibel
Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala
dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Winston 2004
Definisi 7 Solusi Optimum
Untuk masalah
maksimisasi, solusi
optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terbesar. Untuk masalah minimasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.
2.2 Integer Programming Model integer linear programming ILP