Tujuan Tujuan penulis membuat karya ilmiah ini

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Air merupakan bagian penting dari sumber daya alam yang mempunyai karakteristik unik, karena air bersifat terbarukan dan dinamis. Ini artinya sumber utama air yang berupa hujan akan selalu datang sesuai dengan waktu atau musimnya sepanjang tahun. Air secara alami mengalir dari hulu ke hilir, dari daerah yang lebih tinggi ke daerah yang lebih rendah. Air mengalir di atas permukaan tanah, namun air juga mengalir di dalam tanah Kodoatie Syarif 2005. Di bumi air mengalir dan bergerak dengan berbagai cara dan akan menetap untuk beberapa waktu pada retensi tempat penyimpanan. Retensi dapat berupa retensi alam seperti daerah-daerah cekungan, danau, tempat-tempat rendah, dll., maupun retensi buatan manusia seperti tampungan, sumur, waduk, dll. Keberadaan daerah aliran sungai DAS di suatu wilayah sangat berpengaruh terhadap kekayaan sumber daya air yang tersedia. Wilayah yang memiliki DAS dapat memanfaatkan air bawah tanah sedemikian rupa sehingga dapat dimanfaatkan sebesar- besarnya untuk memenuhi kebutuhan setiap pihak. Setiap wilayah yang memiliki DAS dapat mengalokasikan airnya tidak hanya kepada pihak-pihaksektor-sektor pengguna utama seperti sektor rumah tangga dan sektor pertanian secara luas, melainkan dapat pula menyuplai kebutuhan sektor-sektor industri, sektor pariwisata, pembangkit tenaga listrik, dll. Berdasarkan besar kecilnya volume air yang dibutuhkan, sektor industri dapat diklasifikasikan menjadi dua, yaitu industri- industri air minum dalam kemasan AMDK dan industri-industri non-AMDK meliputi perusahaaan-perusahaan penghasil aneka produk barang atau jasa. Dalam karya ilmiah ini penulis membuat formulasi teknis pemanfaatan air untuk mengantisipasi terjadinya kekurangan air, bagi setiap perusahaan air minum dalam kemasan yang memanfaatkan sumber air terpilih berasal dari air bawah tanah. Air bawah tanah dapat diperoleh dengan empat cara alternatif, antara lain melakukan penurapan mata air menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia penurapan adalah mencampur semen, air, dan pasir yang digunakan untuk melekatkan batu bata dsb agar menjadi tembok. Penurapan mata air adalah kegiatan mengubah bentuk alamiah mata air berupa upaya mempertinggi permukaan mata air, penampungan dan atau pemipaan yang dialirkan atau dipompa sesuai dengan keperluannya, membuat sumur bor, sumur pasak, dan sumur gali agar perusahaan dapat memperoleh suplai air optimal sehingga dapat terus beroperasi yang meminimumkan biaya. Perusahaan air minum dalam kemasan yang dikaji oleh penulis adalah PT Tang Mas Cidahu yang beralamat di Kampung Bojong Pari Desa Jaya Bakti Kecamatan Cidahu Kabupaten Sukabumi yang selama ini hanya memanfaatkan sumber air dengan melakukan penurapan mata air untuk memenuhi kebutuhannya. Karena perusahaan berencana meningkatkan hasil produksinya maka permintaan terhadap air bertambah, sehingga diperlukan sumber air alternatif untuk memenuhi kebutuhan perusahaan tersebut terhadap air. Pemanfaatan air bawah tanah oleh perusahaan AMDK dengan empat cara alternatif merupakan salah satu permasalahan linear programming yang dapat diperoleh solusinya dengan menggunakan software LINGO 8.0 agar biayanya minimum.

1.2 Tujuan Tujuan penulis membuat karya ilmiah ini

adalah untuk membuat formulasi optimasi alokasi air bawah tanah dengan beberapa alternatif cara pemanfaatan bagi perusahaan air minum dalam kemasan agar biayanya minimum. Permasalahan ini merupakan salah satu kasus dari linear programming yang dapat diselesaikan dengan bantuan software LINGO 8.0. II LANDASAN TEORI Untuk membuat model optimasi alokasi air bawah tanah yang berada di sekitar daerah aliran sungai DAS ke salah satu perusahaan air minum dalam kemasan AMDK diperlukan pemahaman teori linear programming LP, integer linear programming ILP, metode branch and bound, definisi mendasar mengenai air, air bawah tanah, DAS, aneka ragam teknis pemanfaatan air, dan cakupan biaya untuk mensuplai kebutuhan air agar permasalahan optimasi tersebut dapat diselesaikan. Berikut 2 ini akan dibahas konsep-konsep tersebut satu per satu. 2.1 Linear Programming Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear. Definisi 1 Fungsi Linear Suatu fungsi ,..., , 2 1 n x x x f dari 1 2 , ,..., n x x x adalah fungsi linear jika dan hanya jika untuk beberapa himpunan dari konstanta 1 2 , ,..., n c c c . . ... ,..., , 2 2 1 1 2 1 n n n x c x c x c x x x f     . Winston 2004 Definisi 2 Pertidaksamaan dan Persamaan Linear Untuk sembarang fungsi linear ,..., , 2 1 n x x x f dan sembarang bilangan , b pertidaksamaan b x x x f n  ,..., , 2 1 dan b x x x f n  ,..., , 2 1 adalah pertidaksamaan linear. Misalkan b sembarang bilangan, suatu persamaan b x x x f n  ,..., , 2 1 merupakan persamaan linear. Winston 2004 Pemrograman linear PL atau linear programming LP adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi ketentuan- ketentuan sebagai berikut: a Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif. b Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear. c Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel i x , pembatasan tanda menentukan i x harus taknegatif  i x atau tidak dibatasi tandanya unrestricted in sign. Winston 2004 Definisi 3 Bentuk Standar LP Suatu LP dikatakan mempunyai bentuk standar jika dapat dinyatakan ke dalam bentuk berikut: Minimumkan z = c T x terhadap Ax = b x ≥ 0 b ≥ 0 1 dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m×n yang disebut juga sebagai matriks kendala. Nash Sofer 1996 Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi ukuran n×1. 2.1.1 Solusi suatu Linear Programming Untuk menyelesaikan suatu masalah linear programming LP, metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig pada tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar. Pada LP 1, vektor x yang memenuhi kendala Ax = b disebut solusi dari LP 1. Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = B N , dengan N adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP 1. Jika vektor c dituliskan sebagai c = c B c N dan vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor x = x B x N T , dengan x B adalah vektor variabel basis dan x N adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai: Ax = B Nx B x N T = Bx B + Nx N = b 2 Karena B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers sehingga dari 2 x B dapat dinyatakan sebagai: x B = B -1 b – B -1 Nx N 3 Kemudian, fungsi objektifnya berubah menjadi: min z = . T T B B N N c x c x + Definisi 4 Solusi Basis Solusi dari suatu LP disebut solusi basis jika : i. solusi tersebut memenuhi kendala pada LP, ii. kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol adalah bebas linear. Nash Sofer 1996 3 Definisi 5 Solusi Fisibel Basis Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x merupakan solusi basis dan x ≥ 0. Nash Sofer 1996 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis dapat dilihat dalam contoh berikut: Contoh 1 Misalkan diberikan linear programming berikut: 1 2 min 2 z x x    1 2 3 1 2 4 1 5 1 2 3 4 5 terhadap 2 2, 2 8, 4, , , , , 0. x x x x x x x x x x x x x            4 Dari LP tersebut didapatkan: . 2 1 1 2 1 2 1 0 , 8 1 1 4                         A b Misalkan dipilih     1 2 3 4 5 , dan T T x x x x x   B N x x maka matriks basisnya adalah , , 2 1 1 1 1 2 12 12 1 1 12 32                          -1 B B 1 0 1            N     , . 1 2     T T B N c c Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh     , = 4 6 4 z = 16. T T      T -1 B N B N -1 -1 x x B b B Nx c B b 5 Solusi 5 merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP 4 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari 5, yaitu B, adalah bebas linear kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi 5 juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. Definisi 6 Daerah Fisibel Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Winston 2004 Definisi 7 Solusi Optimum Untuk masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.

2.2 Integer Programming Model integer linear programming ILP