Gambar 4 Repellor takstabil.
Gambar 5 Repellor takstabil.
Gambar 6 Titik Sadel. Gambar 7 Titik Sadel.
Gambar 8 Titik Sadel.
Gambar 9 Titik Sadel.
Gambar 2 sampai 9 merupakan aliran-aliran hyperbolic
dalam 3 dimensi.
2.3 Kestabilan Liapunov
Dalam Matematika, kestabilan Liapunov sering digunakan untuk
mempelajari masalah dinamika sistem. Berikut ini adalah definisi-definisi formal
yang digunakan untuk membangun kestabilan Liapunov.
Definisi 11. Matriks Definit Positif Suatu matriks simetriks real
A
disebut definit positif jika
T
A x
x
untuk semua x taknol
dalam
n
.
Leon, 2001
Teorema 3 Misalkan
A
adalah matriks simetrik real berorde n × n . Maka
A
adalah definit positif jka dan hanya jika semua nilai-nilai eigennya
adalah positif. Leon, 2001
Definisi 12. Fungsi Liapunov Suatu fungsi bernilai real dan terturunkan
V
x pada titik x di sekitar
x
, untuk penyederhanaan misalkan
=
x , sedemikian
sehingga
V ≥
x
,
V =
yaitu
V =
x
jika dan hanya jika
= =
x x
, disebut fungsi Liapunov.
Tu, 1994 Definisi 13. Fungsi Definit PositifNegatif
dan Semidefinit PositifNegatif
Misalkan
V
x
adalah fungsi bernilai real
dengan x adalah
1 2
, ,...,
n
x x x
.
V x
adalah definit positif negatif pada daerah S di
sekitar titik asal jika
V 0 V
x x
untuk semua
≠
x
pada S, dan
V =
.
V x
adalah semidefinit positif negatif pada daerah S di sekitar titik asal jika
V ≥
x
V ≤
x
untuk semua
≠
x
pada S, dan
V =
. Smith, 1987
Teorema 4. Stabil Seragam Misalkan
, t
t t
≥
x adalah solusi nol dari
sistem
X =
x x
, dan
X =
, maka
t
x adalah stabil seragam untuk
t t
≥
jika terdapat fungsi bernilai real
V
x pada
daerah di sekitar
=
x dengan :
i
V
x dan turunan-turunan parsialnya
kontinu; ii
V
x
adalah definit positif; iii
V x
adalah semidefinit negatif. Teorema 5. Stabil Asimtotik Lokal dan
Global Misalkan semua kondisi pada Teorema 4
dipenuhi, kecuali iii diganti oleh iii’
V x adalah definit negatif
maka solusi nol-nya adalah stabil asimtotik. Catatan:
1. Daerah di sekitar titik asal disebut domain
kestabilan asimtotik, atau domain atraksi. 2. Ketika domain atraksinya adalah seluruh
bidang x , maka sistemnya disebut stabil asimtotik global
. 3. Fungsi
V
x
yang memenuhi Teorema 5 disebut fungsi Liapunov lemah, sedangkan
fungsi yang memenuhi Teorema 6 disebut fungsi Liapunov kuat.
Smith, 1987
2.4 Keterbatasan, Kekontinuan, Kemonotonan Fungsi dan
