Laju pertumbuhan pemangsa II

1 1 dx x p ay bz x dt K ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.1.3 dengan b adalah besarnya laju pemangsaan dari pemangsa II dan z adalah banyaknya individu pemangsa II. 4.2 Laju pertumbuhan pemangsa I Dari persamaan 3.2.1.1, y y yz y r K y z dy y dt K α − − = y y y yz y y r K y r z K K α − = − . 4.2.1 Dengan menyubstitusikan yz yz yy a a α = dari persamaan 3.2.1.3 ke persamaan 4.2.1 diperoleh y y yz y y y y yy K r a dy y r z y dt K K K a ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 4.2.2 Kemudian dengan menyubstitusi y y yy r K a = dari persamaan 3.1.2 ke dalam persamaan 4.2.2 diperoleh 1 y yz y dy y r a z y dt K ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.2.3 Penambahan setiap satu individu mangsa ke dalam populasi mengakibatkan bertambahnya laju pemangsaan dari pemangsa I sehingga energi yang terkandung pada mangsa akan dikonversi menjadi energi pemangsa I, dan hal ini akan mengakibatkan bertambahnya pertumbuhan per kapita pemangsa I, sehingga persamaannya dimodifikasi menjadi: 1 y yz y dy y r a z cx y dt K ⎛ ⎞ = − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.2.4 dengan c adalah faktor konversi yang menetapkan banyaknya pemangsa I baru yang dilahirkan untuk tiap mangsa yang ditangkap. Munculnya para nelayan yang memanen pemangsa I akan mengurangi pertumbuhan per kapita pemangsa I, sehingga persamaannya dimodifikasi menjadi 1 y yz y dy y r a z cx vU y dt K ⎛ ⎞ = − − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.2.5 dengan v adalah koefisien ketertangkapan pemangsa I dan U adalah usaha penangkapan yang dilakukan oleh para nelayan. Misalkan, , , y y yz q r L K d a = = = , maka persamaan

4.2.5 menjadi:

1 . dy y q cx dz vU y dt L ⎛ ⎞ = − + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.2.6

4.3 Laju pertumbuhan pemangsa II

Dari persamaan 3.2.1.2, z z zy z r K z y dz z dt K α − − = z zy z z z z r y r K z K K α − = − 4.3.1 Dengan menyubstitusi zy zy zz a a α = dari persamaan 3.2.1.4 ke persamaan 4.3.1 diperoleh zy z z z z z z zz a K r dz z r y z dt K K K a ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 4.3.2 Kemudian dengan menyubstitusi z z zz r K a = dari persamaan 3.1.2 ke dalam persamaan 4.3.2 diperoleh 1 . z zy z dz z r a y z dt K ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.3.3 Penambahan setiap satu individu mangsa ke dalam populasi akan mengakibatkan bertambahnya laju pemangsaan dari pemangsa II sehingga energi yang terkandung pada mangsa akan dikonversi menjadi energi pemangsa II, dan mengakibatkan bertambahnya pertumbuhan per kapita pemangsa II, sehingga persamaannya menjadi: 1 z zy z dz z r a y ex z dt K ⎛ ⎞ = − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.3.4 dengan e adalah faktor konversi yang menyatakan banyaknya pemangsa II baru yang dilahirkan untuk tiap mangsa yang ditangkap. Munculnya para nelayan yang memanen pemangsa II akan mengurangi pertumbuhan per kapita pemangsa II, sehingga persamaannya dimodifikasi menjadi 1 z zy z dz z r a y ex wU z dt K ⎛ ⎞ = − − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.3.5 dengan w adalah koefisien ketertangkapan pemangsa II dan U adalah usaha penangkapan yang dilakukan oleh para nelayan. Misalkan, , , z z zy r r M K f a = = = , maka persamaan 4.3.5 dimodifikasi menjadi: 1 dz z r ex fy wU z dt M ⎛ ⎞ = − + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.3.6 U U v c w d y a x z f e Gambar 10 Diagram kedinamikan interaksi antarspesies. Persamaan 4.1.3, 4.2.6, 4.3.6 dapat disusun menjadi suatu sistem persamaan diferensial taklinear 1 1 1 dx x px axy bxz dt K dy y qy cxy dyz vUy dt L dz z rz ezx fzy wUz dt M ⎫ ⎛ ⎞ = − − − ⎪ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ = − + − − ⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = − + − − ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎭ 4.3.7 dengan dx dt = laju pertumbuhan individu mangsa, dy dt = laju pertumbuhan individu pemangsa I, dz dt = laju pertumbuhan individu pemangs II, , , K L M , , , p q r , maks U U ≤ ≤ , 1 a , 1 b , 1 c , 1 d , 1 e , 1 f , 1 v , 1 w , dan , , x y z ≥ . V ANALISIS KESTABILAN Pada bab ini akan dianalisis kestabilan dari tiap titik tetap pada sistem 4.3.7. Sebagai langkah awal akan ditentukan titik tetapnya, kemudian sistem ini akan dilinearkan dengan mengonstruksi matriks Jacobinya dan selanjutnya menganalisis kestabilannya dengan memeriksa nilai eigen. 5.1 Penentuan titik tetap : Titik tetap , , x y z ∗ ∗ ∗ diperoleh dengan membuat: 0, 0, dx dy dz dt dt dt = = = . Dari persamaan 4.3.7 maka 1 x x p ay bz K ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5.1.1 1 y y q cx dz vU L ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − + − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5.1.2 1 z z r ex fy wU M ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − + − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5.1.3 Dari 5.1.1 diperoleh 0 atau 1 x x p ay bz K ∗ ∗ ∗ ∗ ⎫ = ⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎬ ⎜ − − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎭ 5.1.4 Dari 5.1.2 didapat : 0 atau 1 y y q cx dz vU L ∗ ∗ ∗ ∗ ⎫ = ⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎬ ⎜ − + − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎭ 5.1.5 Dari 5.1.3 didapat : 0 atau 1 z z r ex fy wU M ∗ ∗ ∗ ∗ ⎫ = ⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎬ ⎜ − + − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎭ 5.1.6 Dari persamaan 5.1.4 - 5.1.6 diperoleh titik tetap sebagai berikut : 1 x p K ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 z r M ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b 1 y q L ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 0, 0, 0 , 0, 0 , , 0 , 0, , , 0, , 0 0, , 0, 0, E E x E x y E x z E x y z E y E y z E z = ⎫ ⎪ = ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ = ⎪ ⎬ = ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ = ⎪ = ⎪⎭ 5.1.7 dengan 1 x K = 2 K pq aL q Uv x acKL pq + − + = + 2 Lp cK q Uv y acKL pq + − = + 3 K pr bM r Uw x beKM pr + − + = + 3 Mp eK r Uw z beKM pr + − = + 4 K r aLq pq aLUv dLM fp ar aUw bM qr fL q Uv qUw x LM adeK bcfK dfp beKMq acKL pq r − + + − − + + − + − + = − + + + + + 4 L pr cK q Uv dMp eK r Uw bKM eq cr eUv cUw y LM adeK bcfK dfp beKMq acKL pq r + − − + − + − − + = − + + + + + 4 M aeKL q Uv cKL fp ar aUw p eKq fLq qr fLUv qUw z M adeKL dfLp bK cfL eq acKL pq r − + − + − − + + − = + + − − + 5 LvU y L q = − 6 L qr rUv dM r Uw y dfLM qr − + + − = − 6 M fL q Uv q r Uw z dfLM qr − + − + = − 7 MUw z M r = − lihat Lampiran 1. Diasumsikan titik tetap 1 E sampai 7 E ada, yaitu jika nilai-nilai 1 , x 2 , x 3 , x 4 x , 2 , y 4 , y 5 , y 6 y , 3 , z 4 , z 6 , z 7 z positif. Penentuan titik keseimbangan ini diperoleh dengan menggunakan Software Mathematica 5.1.

5.2 Konstruksi Matriks Jacobi Misalkan SPD taklinear pada persamaan