Konstruksi Matriks Jacobi Misalkan SPD taklinear pada persamaan

1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 0, 0, 0 , 0, 0 , , 0 , 0, , , 0, , 0 0, , 0, 0, E E x E x y E x z E x y z E y E y z E z = ⎫ ⎪ = ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ = ⎪ ⎬ = ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ = ⎪ = ⎪⎭ 5.1.7 dengan 1 x K = 2 K pq aL q Uv x acKL pq + − + = + 2 Lp cK q Uv y acKL pq + − = + 3 K pr bM r Uw x beKM pr + − + = + 3 Mp eK r Uw z beKM pr + − = + 4 K r aLq pq aLUv dLM fp ar aUw bM qr fL q Uv qUw x LM adeK bcfK dfp beKMq acKL pq r − + + − − + + − + − + = − + + + + + 4 L pr cK q Uv dMp eK r Uw bKM eq cr eUv cUw y LM adeK bcfK dfp beKMq acKL pq r + − − + − + − − + = − + + + + + 4 M aeKL q Uv cKL fp ar aUw p eKq fLq qr fLUv qUw z M adeKL dfLp bK cfL eq acKL pq r − + − + − − + + − = + + − − + 5 LvU y L q = − 6 L qr rUv dM r Uw y dfLM qr − + + − = − 6 M fL q Uv q r Uw z dfLM qr − + − + = − 7 MUw z M r = − lihat Lampiran 1. Diasumsikan titik tetap 1 E sampai 7 E ada, yaitu jika nilai-nilai 1 , x 2 , x 3 , x 4 x , 2 , y 4 , y 5 , y 6 y , 3 , z 4 , z 6 , z 7 z positif. Penentuan titik keseimbangan ini diperoleh dengan menggunakan Software Mathematica 5.1.

5.2 Konstruksi Matriks Jacobi Misalkan SPD taklinear pada persamaan

2.2.1 dimodifikasi untuk 3 n = sebagai berikut , , , , , , dx P x y z dt dy Q x y z dt dz R x y z dt ⎫ = ⎪ ⎪ ⎪ = ⎬ ⎪ ⎪ = ⎪⎭ 5.2.1 dengan turunan-turunan parsial fungsi , P Q dan R kontinu di 3 R . Dengan menggunakan perluasan Taylor Teorema 1 di sekitar titik tetap , , x y z ∗ ∗ ∗ , diperoleh 5.2.2 dengan 2 2 2 , , lim i v v x y z x x y y z z ϕ ∗ → ∗ ∗ ∗ = − + − + − 1, 2, 3 i = dan , , , , , v x y z v x y z ∗ ∗ ∗ ∗ = = . Jika didefinisikan variabel baru 1 x x ξ ∗ = − 2 y y ξ ∗ = − 3 z z ξ ∗ = − sehingga 1 , , , , d x x d P x y z P x y z dt dt ξ ∗ ∗ ∗ ∗ − = = − 2 , , , , d y y d Q x y z Q x y z dt dt ξ ∗ ∗ ∗ ∗ − = = − 3 , , , , d z z d R x y z R x y z dt dt ξ ∗ ∗ ∗ ∗ − = = − maka SPD 5.2.2 dapat direduksi menjadi dZ AZ Z dt ϕ = + 5.2.3 dengan x y z x y z x y z P P P A Q Q Q R R R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x x Z y y z z ∗ ∗ ∗ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 1 2 3 , , , , , , x y z Z x y z x y z ϕ ϕ ϕ ϕ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Karena suku Z ϕ pada sistem 5.2.3 sangat kecil dibandingkan suku linear AZ di sekitar titik tetap, maka Z ϕ pada sistem 5.2.3 dapat diabaikan sehingga diperoleh dZ AZ dt = . 5.2.4 Persamaan 5.2.4 dapat dianggap sebagai hampiran yang memenuhi sistem taklinier 5.2.3. Matriks koefisien A untuk persamaan 5.2.3 merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik tetap , , x y z ∗ ∗ ∗ , dan x P , y P , z P , x Q , y Q , z Q , x R , y R , dan z R adalah turunan parsial fungsi yang bersesuaian dengan peubah yang dimaksud. Bentuk persamaan 5.2.4 disebut pelinearan dari sistem persamaan diferensial 5.2.3. Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di sekitar titik tetapnya, maka diperoleh matriks Jacobi dari sistem 4.3.7 sebagai berikut: , , P P P x y z Q Q Q A x y z x y z R R R x y z ∗ ∗ ∗ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ = ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ 5.2.5 atau 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , , A A A A x y z A A A A A A ∗ ∗ ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 5.2.6 dengan 11 2 px A p ay bz K = − − − 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , P x y z P x y z P x y z P x y z P x y z x x y y z z x y z x y z Q x y z Q x y z Q x y z Q x y z Q x y z x x y y z z x y z x y z R x y R x y z R x y z ϕ ϕ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ ∂ = + − + − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ = + 3 , , , , , , z R x y z R x y z x x y y z z x y z x y z ϕ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ − + − + − + ∂ ∂ ∂ 12 A ax = − 13 A bx = − 21 A cy = 22 2qy A q Uv cx dz L = − + − − 23 A dy = − 31 A ez = 32 A fz = − 33 2rz A r Uw ex fy M = − + − − Matriks Jacobi di titik tetapnya diperoleh dengan menyubstitusi , E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 , E 6 , E dan 7 E pada persamaan 5.1.7 ke dalam matriks A pada persamaan 5.2.6 sehingga dapat disusun persamaan karakteristik dan diperoleh nilai-nilai eigen pada masing-masing titik tetapnya lihat Lampiran 2. 5.3 Analisis kestabilan titik tetap Kondisi kestabilan dari titik tetap , E 1 , E 2 , E 3 , E 5 , E 6 , E dan 7 E diperoleh dengan memeriksa nilai-nilai eigen dari matriks A , kemudian disesuaikan dengan kondisi kestabilan pada sub bab 2.2. Khusus untuk titik tetap 4 , E akan ditunjukkan bersifat stabil asimtotik global.

5.3.1 Kestabilan titik tetap

E Dengan menggunakan Software Mathematica 5.1 lihat Lampiran 2 diperoleh nilai eigen sebagai berikut: 1 2 3 , , p q Uv r Uw λ λ λ = = − = − Karena dari asumsi p , maka 1 λ sehingga titik tetap E bersifat tidak stabil. 5.3.2 Kestabilan titik tetap 1 E Dengan Software Mathematica 5.1 lihat Lampiran 2 diperoleh nilai eigen sebagai berikut: 1 2 3 , , p cK q Uv eK r Uw λ λ λ = − = + − = + − . Karena 1 0, λ maka titik tetap 1 E bersifat stabil jika 2 λ , 3 λ . Dari 2 cK q Uv λ = + − diperoleh cK q U v + , karena 3 eK r Uw λ = + − , maka diperoleh eK r U w + , Sehingga titik tetap 1 E bersifat stabil jika , cK q eK r U max v w + + ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ . Berikut ini nilai-nilai eigen untuk titik tetap 2 3 5 6 7 , , , , dan E E E E E yang ditentukan dari Software Mathematica 5.1 lihat Lampiran 2. Nilai eigen di titik tetap 2 E 1 2 1 2 4 cKp aLp q Uv pq p q Uv acKL pq p p q cK aL p q aL q Uv acKL pq cK q Uv pq aL q Uv λ = − + − − + − + + − + + + − − + + − + − + 2 2 1 2 4 cKp aLp q Uv pq p q Uv acKL pq p p q cK aL p q aL q Uv acKL pq cK q Uv pq aL q Uv λ = − − − + + − + + − + + + − − + + − + − + 3 cfKLp aeKL q Uv p eKq fLq fLUv r Uw acKL pq λ − + − + + − + = + − + Nilai eigen di titik tetap 3 E Out[367]= :l 1 = Bq + p r Hc K - U vL - d M p He K + r - U wL - b K M Hc r+ e U v - c U wL b e K M + p r F, l 2 = B 1 2 Hb e K M + p rL H-e K p r + b M p Hr - U wL - p r Hp+ r - U wL + ,Hp Hp Hr He K - b M + p+ rL + Hb M - rL U wL 2 - 4 Hb e K M + p rL He K + r - U wL Hp r+ b M H-r+ U wLLLLLF, l 3 = B- 1 2 Hb e K M + p rL He K p r - b M p Hr - U wL + p r Hp + r- U wL + ,Hp Hp HrHeK -b M + p+ rL+Hb M - rLU wL 2 - 4 Hb e K M + p rL He K + r - U wL Hp r+ b M H-r+ U wLLLLLF Nilai eigen di titik tetap 5 E Out[371]= :l 1 = -q+ U vD, l 2 = B p+ a L i k jj-1+ U v q y { zzF, l 3 = Br+ f L i k jj-1+ U v q y { zz -U wF Nilai eigen di titik tetap 6 E Out[373]= :l 1 = B 1 d f L M - q r Hr H- p q + a L Hq - U vLL + d L M Hf p- a r + a U wL + b M H- f L q + q r+ f L U v - q U wLLF, l 2 = B 1 2 d f L M - 2 q r H- f L r Hq - U vL + d M q H-r+ U wL + q r Hq+ r - U Hv + wLL+ ,H4 Hd f L M - q rL H-q r + r U v + d M Hr - U wLL Hf L Hq - U vL+ q H-r+ U wLL + Hf L r Hq- U vL + q Hd M Hr - U wL- r Hq + r - U Hv + wLLLL 2 LLF, l 3 = B 1 2 d f L M - 2 q r H- f L r Hq - U vL + d M q H-r+ U wL + q r Hq+ r - U Hv + wLL- ,H4 Hd f L M - q rL H-q r + r U v + d M Hr - U wLL Hf L Hq - U vL+ q H-r+ U wLL + Hf L r Hq- U vL + q Hd M Hr - U wL- r Hq + r - U Hv + wLLLL 2 LLF Nilai eigen di titik tetap 7 E Out[375]= :l 1 = -r+ U wD, l 2 = B p+ b M J-1+ U w r NF, l 3 = Bq- U v + d M J-1 + U w r NF

5.3.3 Kestabilan titik tetap

2 E Sesuai dengan asumsi, titik tetap 2 E ada jika 2 x dan 2 y . 2 K pq aL q Uv x acKL pq + − + = + aL p q U v − ⇔ . 2 Lp cK q Uv y acKL pq + − = + cK q U v + ⇔ . Jadi titik tetap 2 E ada jika aL p q cK q U v v − + 5.3.3.1 Titik tetap 2 E bersifat stabil jika 1 Re λ , 2 Re λ , dan 3 Re λ . 1 1 Re 2 cKpq aLp q Uv pq p q Uv acKL pq λ = − − − + + − + cKpq aLp q Uv pq p q Uv ⇔ − − + + − 2 2 cKpq aLpq p q pq aLpUv pqUv ⇔ − + + + − jika 2 cKpq pq pqUv + − dan 2 aLpq p q aLpUv − + + . 2 cK q cKpq pq pqUv U v + + − ⇔ 2 aL p q aLpq p q aLpUv U v − − + + ⇔ sehingga 1 Re λ jika aL p q cK q U v v − + . 5.3.3.2 Persamaan 5.3.3.2 merupakan syarat adanya titik tetap 2 E . 2 1 Re 2 cKpq aLp q Uv pq p q Uv acKL pq λ = − + − − + − + cKpq aLp q Uv pq p q Uv ⇔ − + − − + − cKpq aLp q Uv pq p q Uv ⇔ − − + + − 2 2 0. cKpq aLpq p q pq aLpUv pqUv ⇔ − + + + − Jadi 2 1 Re Re λ λ = . 3 Re cfKLp aeKL q Uv p eKq fLq fLUv r Uw acKL pq λ − + − + + − + = + − + Jika kedua ruas dikalikan dengan acKL pq + diperoleh acKL pq r cfKLp aeKL q Uv p eKq fLq fLUv Uw acKL pq + − + − + + − + − + cfKLp aeKLq eKpq fLpq acKLr pqr U aeKLv fLpv acKLw pqw ⇔ − − + − + + + + − − . cfKLp aeKLq eKpq fLpq acKLr pqr U aeKLv fLpv acKLw pqw ⇔ − − + − + + − − + + Jika 0, aeKLv fLpv acKLw pqw − − + + maka cfKLp aeKLq eKpq fLpq acKLr pqr U aeKLv fLpv acKLw pqw − − + − + + − − + + eKpq acKL pq r cfpKL aeqKL fpqL U w acKL pq v aeKL fpL + + − − − ⇔ + − + 5.3.3.3 Jadi titik tetap 2 E bersifat stabil jika eKpq acKL pq r cfpKL aeqKL fpqL U w acKL pq v aeKL fpL + + − − − + − + 5.3.3.4 dengan w acKL pq v aeKL fpL + − +

5.3.4 Kestabilan titik tetap

3 E Titik tetap 3 E ada jika 3 x dan 3 z . 3 K pr bM r Uw x beKM pr + − + = + pr bM r Uw ⇔ + − + bM p r U bMw − ⇔ 3 Mp eK r Uw z beKM pr + − = + eK r Uw ⇔ + − eK r U w + ⇔ Jadi titik tetap 3 E ada jika bM p r eK r U bMw w − + . 5.3.4.1 Titik tetap 3 E bersifat stabil jika 1 Re λ , 2 Re λ , dan 3 Re λ . 1 Re pr cK Uv dMp eK r Uw bKM cr eUv cUw q beKM pr λ − − + − − + − = + + . Jika kedua ruas dikalikan dengan beKM pr + diperoleh q beKM pr pr cK Uv dMp eK r Uw bKM cr eUv cUw + + − − + − − + − deKMp beKMq bcKMr cKpr dMpr pqr U beKMv prv bcKMw dMpw ⇔ − + − + − + + − − + + deKMp beKMq bcKMr cKpr dMpr pqr U beKMv prv bcKMw dMpw ⇔ − + − + − + + − − . Jika 0, beKMv prv bcKMw dMpw + − − maka deKMp beKMq bcKMr cKpr dMpr pqr U beKMv prv bcKMw dMpw − + − + − + + − − q beKM pr cKpr M bcrK depK dpr U v beKM pr Mw bcK dp + + − + + ⇔ + − − 5.3.4.2 2 1 Re 2 eKpr bMp r Uw pr p r Uw beKM pr λ = − − − + + − + eKpr bMp r Uw pr p r Uw ⇔ − − + + − 2 2 eKpr bMpr p r pr bMpUw prUw ⇔ − + + + − jika 2 eKpr pr prUw + − dan 2 bMpr p r bMpUw − + + 2 eK r eKpr pr prUw U w + + − ⇔ 2 bM p r bMpr p r bMpUw U bMw − − + + ⇔ sehingga 2 Re λ jika bM p r eK r U bMw w − + . 5.3.4.3 Persamaan 5.3.4.3 merupakan syarat adanya titik tetap 3 E . 3 1 Re 2 eKpr bMp r Uw pr p r Uw beKM pr λ = − + − − + − + eKpr bMp r Uw pr p r Uw ⇔ − + − − + − eKpr bMp r Uw pr p r Uw ⇔ − − + + − 2 2 eKpr bMpr p r pr bMpUw prUw ⇔ − + + + − Perhatikan bahwa 3 2 Re Re λ λ = . Jadi titik tetap 3 E bersifat stabil jika q beKM pr cKpr M bcrK depK dpr U v beKM pr Mw bcK dp + + − + + + − − 5.3.4.4 dengan v beKM pr Mw bcK dp + − − . Dengan menggunakan cara yang sama, batas- batas kestabilan di titik tetap 5 6 7 , , dan E E E dapat ditentukan.

5.3.5 Kestabilan titik tetap

4 E Titik tetap 4 E ada jika 4 0, x 4 0, y dan 4 z . Teorema 8 Titik tetap interior 4 E adalah stabil global asimtotik jika i. , ; a c b e = = ii. 2 4rq d f LM + Chattopadhyay et al., 1996 Bukti. Pilih fungsi Liapunov 1 2 3 , , V x y z V x V y V z = + + ln x x x x x ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln y y y y y ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln z z z z z ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dengan , , x y z dan , , x y z ∗ ∗ ∗ adalah konstanta positif. Untuk , x x = , y y = z z = maka , , V x y z adalah nol. Untuk , , x y z akan ditunjukkan i. Jika , , x x y y z z maka , , V x y z adalah positif . ii. Jika , , x x y y z z maka , , V x y z adalah positif . Dengan kata lain, akan ditunjukkan , , V x y z adalah fungsi definit positif untuk , , , , x y z x y z ∗ ∗ ∗ ≠ i. Untuk x x . Misalkan terdapat ε sehingga x x ε ∗ = + . 1 ln x V x x x x x ε ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ + = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln x x x ε ε ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ + = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln 1 x x ε ε ∗ ∗ ⎛ ⎞ = − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Jika kedua ruas dibagi dengan x ∗ , diperoleh 1 ln 1 V x x x x ε ε ε ∗ ∗ ∗ ∗ + ⎛ ⎞ = − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Misalkan p x ε ∗ = , maka p sehingga 1 ln 1 ∗ ∗ + = − + V x p p x ε . Akan dibuktikan bahwa 1 V x x ε ∗ ∗ + ⇔ ln 1 + p p ⇔ 1 p e p + ⇔ 1 p e p − − . Bukti. Misalkan 1 p f p e p = − − maka akan ditunjukkan f p . 1 p f p e ′ = − . Karena p , maka 1 p e , sehingga f p ′ . Dari Teorema 6, f p merupakan fungsi naik untuk p , sehingga f p f jika dan hanya jika 1 0 1 p e p e − − − − = , jika p . Ini berarti 1 V x x ε ∗ ∗ + . Akibatnya  1 V x . Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 2 V y dan 3 V z untuk , y y z z . ii. Untuk x x . Misalkan terdapat ε sehingga x x ε ∗ = − . 1 V x x x ε ε ∗ ∗ ∗ − = − − ln x x x ε ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln 1 x x ε ε ∗ ∗ ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Jika kedua ruas dibagi dengan x ∗ diperoleh 1 ln 1 V x x x x ε ε ε ∗ ∗ ∗ ∗ − ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Misalkan p x ε ∗ = , maka p sehingga 1 V x x ε ∗ ∗ − = ln 1 p p − − − . Fungsi ln 1 p − terdefinisi jika 1 p − ⇔ 1 p . Karena p , maka 1 p . Akan dibuktikan 1 V x x ε ∗ ∗ − ⇔ ln 1 p p − − ⇔ 1 p e p − − . Bukti. Misalkan 1 p f p e p − = + − maka akan ditunjukkan f p . 1 p f p e − ′ = − + . Nilai 1 p e − , untuk p , akibatnya f p ′ untuk 1 p . Dari Teorema 6, f p merupakan fungsi naik untuk 1 p , sehingga f p f jika dan hanya jika 1 0 1 p e p e + − + − = ⇔ 1 p e p − . Ini berarti 1 V x x ε ∗ ∗ − . Akibatnya 1 V x . Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 2 V y dan 3 V z untuk , y y z z . Dari i dan ii terbukti bahwa , , V x y z untuk , , x y z dengan , , x y z ∗ ∗ ∗ adalah konstanta positif, sehingga , , V x y z adalah fungsi definit positif. Turunan pertama dari fungsi V terhadap waktu dapat dicari dengan cara sebagai berikut , , ln x V x y z x x x x ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln y y y y y ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln z z z z z ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dV V dx V dy V dz V dt x dt y dt z dt ∂ ∂ ∂ ′ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ 1 x dx x dt ∗ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 y dy y dt ∗ ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 z dz z dt ∗ ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 x x x px axy bxz x K ∗ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 y y y qy cxy dyz vUy y L ∗ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 z z z rz exz fyz wUz z M ∗ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 x x x p ay bz K ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 y y y q cx dz vU L ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 z z z r ex fy wU M ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Di titik keseimbangannya , , x y z ∗ ∗ ∗ : berlaku 1 x x p ay bz K ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 y y q cx dz vU L ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − + − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 z z r ex fy wU M ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − + − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Di titik 4 , E , , 0, 0, 0 x y z ∗ ∗ ∗ sehingga 1 x p ay bz K ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 y q cx dz vU L ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − + − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 z r ex fy wU M ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − + − − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ V ′ dapat dituliskan sebagai V ′ 1 1 x x x x p ay bz p ay bz K K ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − − − − − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 y y y y q cx dz vU q cx dz vU L L ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − − + − − − − + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 z z z z r ex fy wU r ex fy wU M M ∗ ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − − + − − − − + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [ ] p x x x x a y y b z z K ∗ ∗ ∗ ∗ = − − − − − − − [ ] q y y y y c x x d z z L ∗ ∗ ∗ ∗ + − − − + − − − [ ] r z z z z e x x f y y M ∗ ∗ ∗ ∗ + − − − + − − − 2 [ p x x x x y y a c K ∗ ∗ ∗ = − − + − − − 2 q y y y y z z d f L ∗ ∗ ∗ + − + − − + 2 ] r z z z z x x b e M ∗ ∗ ∗ + − + − − − Persamaan V ′ di atas dapat ditulis dalam bentuk kuadratik T V ′ = −x Ax dengan x x y y z z ∗ ∗ ∗ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x [ ] T x x y y z z ∗ ∗ ∗ = − − − x dan 2 2 2 2 2 2 p a c b e K a c q d f L b e d f r M − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A Jika dipilih , a c b e = = maka matriks A menjadi : 2 2 p K q d f L d f r M ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A Nilai-nilai eigen dari matriks A adalah : 1 , p K λ = 2 2 2 2 4 4 4 4 16 2 4 , 8 Mq Lr Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr LM λ − − − + + + + − = − 2 2 2 3 4 4 4 4 16 2 4 . 8 Mq Lr Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr LM λ − − + + + + + − = − Lihat Lampiran 4. 1 λ benar, karena dari asumsi , p K , 2 λ ⇔ 2 2 2 4 4 4 4 16 2 4 8 Mq Lr Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr LM − − − + + + + − − ⇔ 2 2 2 4 4 4 4 16 2 4 Mq Lr Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr + + + + + + − ⇔ 2 2 2 2 2 4 4 16 2 4 4 4 Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr Mq Lr ⎛ ⎞ − + + + + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ 2 2 2 2 4 4 16 2 4 4 4 Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr Mq Lr + + + + − + ⇔ 2 2 16 2 4 LM d LM dfLM f LM qr + + − ⇔ 2 2 2 4 LM d df f qr + + ⇔ 2 4 LM d f qr + ⇔ 2 4rq d f LM + , 3 λ ⇔ 2 2 2 4 4 4 4 16 2 4 8 Mq Lr Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr LM − − + + + + + − − ⇔ 2 2 2 4 4 4 4 16 2 4 Mq Lr Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr − − + + + + + − ⇔ 2 2 2 4 4 16 2 4 4 4 Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr Mq Lr + + + + − + ⇔ 2 2 2 2 4 4 16 2 4 4 4 Mq Lr LM d LM dfLM f LM qr Mq Lr + + + + − + ⇔ 2 2 16 2 4 LM d LM dfLM f LM qr + + − ⇔ 2 2 2 4 LM d df f qr + + ⇔ 2 4 LM d f qr + ⇔ 2 4rq d f LM + . Dari Teorema 3, A adalah matriks definit positif. 0 V ′ , jika matriks A adalah definit positif. Akhirnya dengan memakai Teorema 5, titik tetap 4 E adalah stabil asimtotik global jika i. , ; a c b e = = ii. 2 4rq d f LM + Berikut ini diberikan contoh titik-titik tetap sistem persamaan diferensial 4.3.7 beserta kestabilannya. Misalkan nilai-nilai parameter yang diberikan: 2.5, p = 2, q = 2.5, r = 350000, K = 220000, L = 225000, M = 6 2.5 x10 , a − = 6 1.2 x10 , b − = 6 2.5 x10 , c − = 5 1.55 x10 , d − = 6 1.2 x10 , e − = 6 3.75 x10 , f − = 4 1.47 x10 , v − = dan 4 2.57 x10 − = w yang memenuhi syarat Teorema 8, maka kestabilan titik-titik tetapnya adalah: 1. {0, 0, 0} E takstabil repellor, 2. 1 {350000, 0, 0} E takstabil titik sadel, 3. 2 {291154., 168130., 0} E takstabil titik sadel, 4. 3 {337777., 0, 72753.7} E takstabil titik sadel, 5. 4 {301407., 126253., 26215.4} E stabil asimtotik global, 6. 5 {0, 88062.9, 0} E takstabil titik sadel, 7. 6 {0, 61748.9, 15433.5} E takstabil titik sadel, dan 8. 7 {0, 0, 36273.7} E takstabil titik sadel. Lihat Lampiran 3. 24 VI HASIL PEMANENAN MAKSIMUM Menurut Clark 1976, manajemen sumberdaya yang dapat diperbaharui seperti perikanan-pen didasarkan pada konsep maximum sustainable yield MSYhasil pemanenan maksimum. Konsep tersebut didasarkan pada model pertumbuhan biologi yang mengasumsikan jika banyaknya stok dalam populasi lebih rendah dibandingkan dengan suatu level stok K , maka akan terdapat surplus produksi yang dapat dipanen terus menerus tanpa menyebabkan kepunahan populasi. Jika surplus tersebut tidak dipanen maka akan menyebabkan peningkatan level stok menuju daya muat lingkungan K , dimana surplus produksi menjadi nol. Karena surplus produksi adalah sama dengan hasil pemanenan pada setiap level populasi, maka MSY dicapai ketika surplus produksi adalah yang paling besar pada setiap level populasi yaitu pada level dimana laju pertumbuhan populasi adalah maksimal. Ekuilibrium biologis dari model pemanenan perikanan seperti pada 4.3.7 diperoleh dengan menentukan dy dt = dan dz dt = yang berarti bahwa tingkat pertumbuhan bersih dari persediaan populasi akan sama dengan nol, bila tingkat pertumbuhan alami sama dengan hasil pemanenan dari industri perikanan. Ekuilibrium hasil pemanenan T diperoleh dengan menyubstitusi 4 y dan 4 z persamaan 5.1.7 ke dalam fungsi pemanenan 4 4 T vUy wUz = + , 6.1 sehingga diperoleh persamaan berikut 2 2 2 L beKM pr v LM bcK aeK d f p vw M acKL pq w T U M adeKL dfLp bK cfL eq acKL pq r L p cK q r dMp eK r bKM eq cr vM cKL fp ar q aeKL p eK fL r w U M adeKL dfLp bK cfL eq acKL pq r + − + + + + + = + + + − − + − + + + + − + − + − − + + + − − + 6.2 Persamaan 6.2 adalah suatu persamaan kuadrat yang memiliki grafik berbentuk parabola. Nilai U yang memaksimumkan T diperoleh dengan menentukan dT dU = , sehingga diperoleh nilai U seperti berikut: 2 2 2 2 2 U dLMp eK r v L p cK q r bKM eq cr v M cKL fp ar q aeKL p eK fL r w L beKM pr v LM bcK aeK d f p vw M acKL pq w = − + + + + − + − + + − + − + + − + + + + + 6.3 Solusi inilah yang dikenal dengan solusi hasil pemanenan maksimummaximum sustainable yield MSY. 2500 5000 7500 10000 12500 15000 U 50000 100000 150000 200000 T Gambar 11 kurva MSY dengan menggunakan nilai- nilai parameter pada halaman 23. Dari Gambar 11 dapat dilihat hubungan antara T MSY T dan U MSY U , yaitu kenaikan level usaha akan meningkatkan hasil pemanenan hingga suatu level maksimum yaitu pada MSY U , kemudian akan menurun menuju nol yaitu pada 2 MSY U . Sedangkan pada saat 2 MSY U U ≥ maka hasil pemanenan adalah nol. Selanjutnya dengan menyubstitusi MSY U , 4 y dan 4 z ke dalam persamaan 4 4 MSY MSY MSY T vU y wU z = + 6.4 akan diperoleh hasil pemanenan maksimum tanpa menggerakkan populasi menuju U MSY T MSY 2U MSY kepunahan. Dengan menyubstitusi nilai-nilai parameternya, dapat diperiksa bahwa 4 MSY U U = . VII KEBIJAKAN PEMANENAN OPTIMAL 7.1 Fungsi Objektif Usaha Pemanenan Dalam kegiatannya, perusahaan menjual hasil pemanenantingkat output tertentu T yang terdiri dari dua macam yaitu 1 T vUy = dan 2 T wUz = , dengan harga pasar berturut-turut 1 h dan 2 h per unit yang diasumsikan konstan. Maka penerimaan total TR dapat diketahui, yaitu 1 1 2 2 TR h T h T = + . 1 2 h vUy h wUz = + . Untuk memproduksi 1 T dan 2 T , total biaya ekonomi yang ditanggung dapat dinyatakan dengan TC yang merupakan biaya pemanenan per unit usaha B dikalikan dengan tingkat usaha pemanenan , U sehingga TC BU = . Selisih antara total pendapatan dan total biaya disebut laba ekonomi π sewa ekonomi yang bergantung pada jumlah output yang diproduksi, yaitu TR TC π = − 1 2 h vUy h wUz BU = + − 1 2 h vy h wz B U = + − . 7.1.1 Total laba ekonomi di masa yang akan datang dalam kasus T = ∞ yang dihitung dengan present value adalah , , t y z U e dt δ π π ∞ − = ∫ 1 2 t e h vy h wz B U dt δ ∞ − = + − ∫ . 7.1.2 Tujuan usaha pemanenan adalah untuk memaksimumkan present value nilai sekarang dari pendapatan pemanenan ikan dengan syarat ikan yang dipanen tidak mengalami kepunahan dan menggunakan tingkat usaha pemanenan U sebagai kontrolnya, sehingga fungsi objektifnya adalah: 1 2 t U Maks e h vy h wz B U dt δ ∞ − + − ∫ 7.1.3 terhadap kendala persamaan 4.3.7. Menurut [Tu, 1993] permasalahan di atas adalah masalah kontrol optimum.

7.2 Penentuan Solusi Optimal Usaha