zy zy
zz
a a
α = 3.2.1.4
dengan
yz
α = koefisien interaksi dari populasi
z
pada populasi
y
,
zy
α = koefisien interaksi dari populasi
y
pada populasi
z
,
yz
a
= laju pertumbuhan per kapita dari
populasi
y
terkait dengan penambahan satu
individu dari populasi
z
,
zy
a
=laju pertumbuhan per kapita dari populasi
z
terkait dengan penambahan satu
individu dari populasi
y
,
yy
a
=laju intrinsik
r
dalam populasi
y
terkait dengan penambahan satu individu dari populasi
y
,
zz
a
=laju intrinsik
r
dalam populasi
z
terkait dengan penambahan satu individu dari populasi
z
,
y
r
=laju intrinsik populasi
y
,
z
r
=laju intrinsik populasi
z
,
y
K
=daya muat lingkungan untuk populasi
, y
z
K
=daya muat lingkungan untuk populasi
. z
Vandermeer, 1981 3.2.2 Mangsa-Pemangsa
Jika ada 2 spesies populasi x dan
y
dalam satu lingkungan dengan x adalah populasi mangsa dan
y
adalah populasi pemangsa dengan asumsi bahwa satu-satunya
sumber kematian bagi populasi mangsa x adalah dimakan oleh pemangsa
y
dan satu- satunya sumber reproduksi bagi populasi
pemangsa
y
adalah dengan memakan mangsa x
, maka interaksi antara kedua populasi digambarkan dalam persamaan
x xy
dx b
a y x dt
= −
3.2.2.1
yx y
dy a x
d y dt
= −
3.2.2.2 yang dikenal sebagai persamaan mangsa-
pemangsa Lotka –Volterra dengan : x =banyaknya populasi mangsa,
y
=banyaknya populasi pemangsa,
x
b
=laju kelahiran mangsa x tanpa kehadiran pemangsa
y
,
xy
a y
=laju kematian mangsa x karena dimangsa oleh pemangsa
y
,
yx
a x
=
laju kelahiran pemangsa
y
untuk setiap mangsa x yang dimangsa,
y
d
=laju kematian pemangsa
y
karena ketiadaan mangsa x .
Vandermeer, 1981
3.3 Fungsi Pemanenan Menurut Shone, 1997 dan Jaeger, 1997,
fungsi pemanenan ikan adalah bentuk dari fungsi produksi yang berarti penangkapan
pada waktu
t
, dinotasikan dengan output
T
sebagai fungsi dari input-input. Diasumsikan inputnya ada dua jenis. Pertama, stok
ketersediaan ikan untuk ditangkap,
s t
; dan kedua, usaha yang dilakukan oleh nelayan,
U t
. Fungsi pemanenan ikan yang digunakan dalam literatur adalah
, T
Us
η η
=
dengan η menotasikan efisiensi teknis dari
pemanenankoefisien ketertangkapan,
U t
adalah banyaknya perjalanan yang dilakukan oleh kapal penangkap ikan atau banyaknya
hari dioperasikannya jaring-jaring ikan. 3.4 Model Keuntungan Maksimum
Menurut Nicholson 2002 dan Nababan 1988, sebuah perusahaan yang
diasumsikan memaksimumkan keuntungan, akan memilih input dan outputnya dengan
tujuan tunggal untuk mencapai keuntungan ekonomi maksimum. Para manajer perusahaan
berusaha untuk menjadikan selisih antara total pendapatan dan total biaya ekonomi sebesar
mungkin dengan membuat keputusan secara marjinal.
Dalam kegiatannya, perusahaan menjual tingkat output tertentu s , dengan
harga pasar
p
per unit. Maka penerimaan totalTotal Revenue
TR
dapat diketahui, yaitu
TR s p s s
=
.
Dalam memproduksi s , total biaya ekonomi yang ditanggung dapat dinyatakan dengan
Total Cost
TC s
. Selisih antara pendapatan dan biaya disebut
laba ekonomi π yang bergantung pada
jumlah output yang diproduksi, yaitu
s TR s
TC s
π
= −
.
Kondisi yang diperlukan untuk nilai s yang memaksimumkan laba ditentukan dengan
,
d dTR
dTC s
ds ds
ds
π π
= =
− =
sehingga kondisi agar laba maksimum adalah
dTR dTC
ds ds
=
.
Persamaan ini menyatakan bahwa marginal revenue
MR sama dengan Marginal Cost MC, yaitu:
MR MC
=
3.5 Teori Modal Apabila modal awal
P
diinvestasikan pada suku bunga tahunan
δ dan dimajemukan
k
kali per tahun, maka setelah
t
tahun nilainya akan bertambah secara eksponensial seperti formula berikut :
1
kt
B t P
k
δ
⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 3.5.1 Jika suku bunga dimajemukan secara kontinu
bukan tahunan, bulanan, atau harian, tetapi setiap saat dengan kata lain k
→ ∞ , maka formula 3.5.1 akan berubah dengan
perhitungan sebagai berikut: misal
k n
δ = maka n → ∞ dan
k n
δ
=
sehingga
1
kt
P k
δ
⎛ ⎞
+ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
n t
P n
δ
⎛ ⎞
+ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
t n
P n
δ
⎡ ⎤
⎛ ⎞
+ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎢
⎥ ⎣
⎦ .
Karena n → ∞ , maka
1 lim
1
t n
n
B t P
n
δ →∞
⎡ ⎤
⎛ ⎞
= +
= ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎢
⎥ ⎣
⎦
t
Pe
δ
3.5.2 dengan
B t adalah future value, waktu
t ≥
dan 2.718
e ≈
. Present value
dari penerimaan sebesar
B
di masa yang akan datang adalah
t
P B t e
δ
−
= 3.5.3
Total present value yang kontinu dari deretan
pendapatan P
, dengan 0 t T ≤ ≤ dapat
diformulasikan sebagai berikut
T t
P B t e
dt
δ
−
=
∫
3.5.4 Untuk kasus T
→ ∞ , persamaan 3.5.4 dimodifikasi menjadi:
lim
T t
T
P B t e
dt
δ
− →∞
=
∫
t
B t e dt
δ ∞
−
=
∫
3.5.5 Hoffmann and Bradley, 1989
IV PEMBAHASAN Model satu mangsa dua pemangsa dengan
dua pemangsa terjadi hubungan kompetisi 4.1 Laju pertumbuhan mangsa
Misalkan x merupakan banyaknya individu mangsa pada waktu t , y merupakan
banyaknya individu pemangsa I pada waktu
t
, dan z merupakan banyaknya individu pemangsa II pada waktu
t
, dengan individu mangsa adalah makanan satu-satunya bagi
kedua pemangsa, dan hadirnya para nelayan yang memangsa pemangsa I dan II maka
interaksi antarspesies dapat dimodelkan sebagai berikut :
Dari persamaan 3.1.2, laju pertumbuhan per kapita dari mangsa dapat
dinyatakan sebagai berikut: 1
1 dx
x p
x dt K
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4.1.1 dengan
p merupakan laju pertumbuhan
intrinsik yang berhubungan dengan kelahiran dan kematian alami populasi. Parameter K
menyatakan daya muat lingkungan carrying capacity
yang menyatakan kapasitas maksimum populasi x dalam lingkungan
tersebut. Penambahan setiap satu individu pemangsa I ke dalam populasi akan
mengakibatkan bertambahnya laju pemangsaan pemangsa I, sehingga laju
pertumbuhan per kapita mangsa akan menurun, dengan a adalah besarnya laju
pemangsaan dari pemangsa I dan y adalah
banyaknya individu pemangsa I, maka persamaan 4.1.1 dimodifikasi menjadi:
1 1
dx x
p ay
x dt K
⎛ ⎞
= −
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ 4.1.2
yang sesuai dengan persamaan 3.2.2.1. Selanjutnya dengan cara yang sama,
penambahan setiap satu individu pemangsa II ke dalam populasi mengakibatkan
bertambahnya laju pemangsaan pemangsa II yang akan menyebabkan menurunnya laju
pertumbuhan per kapita dari mangsa sehingga persamaan 4.1.2 dimodifikasi menjadi:
1 1
dx x
p ay bz
x dt K
⎛ ⎞
= −
− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4.1.3 dengan b adalah besarnya laju pemangsaan
dari pemangsa II dan z adalah banyaknya individu pemangsa II.
4.2 Laju pertumbuhan pemangsa I
Dari persamaan 3.2.1.1,
y y
yz y
r K y
z dy
y dt K
α − −
=
y y
y yz
y y
r K y
r z
K K
α
− =
−
. 4.2.1 Dengan menyubstitusikan
yz yz
yy
a a
α
=
dari persamaan 3.2.1.3 ke persamaan 4.2.1
diperoleh
y y
yz y
y y
y yy
K r
a dy
y r
z y dt
K K
K a
⎛ ⎞
= −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠
. 4.2.2 Kemudian dengan menyubstitusi
y y
yy
r K
a =
dari persamaan 3.1.2 ke dalam persamaan 4.2.2 diperoleh
1
y yz
y
dy y
r a z
y dt K
⎛ ⎞
= −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠
4.2.3 Penambahan setiap satu individu mangsa ke
dalam populasi mengakibatkan bertambahnya laju pemangsaan dari pemangsa I sehingga
energi yang terkandung pada mangsa akan dikonversi menjadi energi pemangsa I, dan hal
ini akan mengakibatkan bertambahnya pertumbuhan per kapita pemangsa I, sehingga
persamaannya dimodifikasi menjadi:
1
y yz
y
dy y
r a z
cx y dt
K ⎛
⎞ =
− −
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠
4.2.4 dengan c adalah faktor konversi yang
menetapkan banyaknya pemangsa I baru yang dilahirkan untuk tiap mangsa yang ditangkap.
Munculnya para nelayan yang memanen pemangsa I akan mengurangi
pertumbuhan per kapita pemangsa I, sehingga persamaannya dimodifikasi menjadi
1
y yz
y
dy y
r a z
cx vU y dt
K ⎛
⎞ =
− −
+ −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4.2.5 dengan v adalah koefisien ketertangkapan
pemangsa I dan
U
adalah usaha penangkapan yang dilakukan oleh para nelayan. Misalkan,
, ,
y y
yz
q r
L K
d a
= =
= , maka persamaan
4.2.5 menjadi:
1 .
dy y
q cx
dz vU
y dt L
⎛ ⎞
= −
+ −
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ 4.2.6
4.3 Laju pertumbuhan pemangsa II
