Penentuan Solusi Optimal Usaha

kepunahan. Dengan menyubstitusi nilai-nilai parameternya, dapat diperiksa bahwa 4 MSY U U = . VII KEBIJAKAN PEMANENAN OPTIMAL 7.1 Fungsi Objektif Usaha Pemanenan Dalam kegiatannya, perusahaan menjual hasil pemanenantingkat output tertentu T yang terdiri dari dua macam yaitu 1 T vUy = dan 2 T wUz = , dengan harga pasar berturut-turut 1 h dan 2 h per unit yang diasumsikan konstan. Maka penerimaan total TR dapat diketahui, yaitu 1 1 2 2 TR h T h T = + . 1 2 h vUy h wUz = + . Untuk memproduksi 1 T dan 2 T , total biaya ekonomi yang ditanggung dapat dinyatakan dengan TC yang merupakan biaya pemanenan per unit usaha B dikalikan dengan tingkat usaha pemanenan , U sehingga TC BU = . Selisih antara total pendapatan dan total biaya disebut laba ekonomi π sewa ekonomi yang bergantung pada jumlah output yang diproduksi, yaitu TR TC π = − 1 2 h vUy h wUz BU = + − 1 2 h vy h wz B U = + − . 7.1.1 Total laba ekonomi di masa yang akan datang dalam kasus T = ∞ yang dihitung dengan present value adalah , , t y z U e dt δ π π ∞ − = ∫ 1 2 t e h vy h wz B U dt δ ∞ − = + − ∫ . 7.1.2 Tujuan usaha pemanenan adalah untuk memaksimumkan present value nilai sekarang dari pendapatan pemanenan ikan dengan syarat ikan yang dipanen tidak mengalami kepunahan dan menggunakan tingkat usaha pemanenan U sebagai kontrolnya, sehingga fungsi objektifnya adalah: 1 2 t U Maks e h vy h wz B U dt δ ∞ − + − ∫ 7.1.3 terhadap kendala persamaan 4.3.7. Menurut [Tu, 1993] permasalahan di atas adalah masalah kontrol optimum.

7.2 Penentuan Solusi Optimal Usaha

Pemanenan Untuk pemanenan yang optimal dituliskan kembali fungsi objektif pada persamaan 7.1.3 terhadap kendala persamaan 4.3.7 sebagai berikut. 1 2 t U Maks e h vy h wz B U dt δ ∞ − + − ∫ 7.2.1 terhadap kendala 1 1 1 dx x px axy bxz dt K dy y qy cxy dyz vUy dt L dz z r z exz fyz wUz dt M ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Permasalahan kontrol optimum ini akan diselesaikan dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Untuk kasus horizon waktu takberhingga T → ∞ , dapat ditunjukkan bahwa 1 2 t e h vy h wz B U δ π − = + − memenuhi hipotesis Teorema 7, sehingga Teorema tersebut dapat digunakan lihat Lampiran 8. Persamaan Hamilton : 1 2 t H e h vy h wz B U δ − = + − 2 1 p t x axy bxz px K λ ⎡ ⎤ + − − − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 q t y cxy dyz y q vU L λ ⎡ ⎤ + − + − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 3 r t z exz fyz z r wU M λ ⎡ ⎤ + − + − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 7.4 dengan 1 , λ 2 , λ dan 3 λ adalah variabel - variabel adjoint co-state. U adalah variabel kontrol dengan 0 maks U U ≤ ≤ yang mendefinisikan himpunan kontrol [0, ] t maks V U = . Misalkan U adalah kontrol optimum dengan , x y dan z adalah respon- respon yang bersesuaian. Dari Prinsip Maksimum Pontryagin, terdapat variabel- variabel adjoint 1 , λ 2 , λ dan 3 λ untuk setiap t ≥ sedemikian sehingga 1 1 2 3 2 1 2 1 2 3 3 2 3 1 3 2 2 2 2 t t d H p x ay bz p cy ez dt x K d H q h ve v U ax y cx dz q fz dt y L d H r h we w U bx z ex fy r dy dt z M δ δ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − ⎫ ∂ ⎛ ⎞ = − = + + − − − ⎪ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ∂ ⎛ ⎞ ⎪ = − = − − + − − + − + + ⎬ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ∂ ⎛ ⎞ = − = − − + − − + − + + ⎪ ⎜ ⎟ ∂ ⎪ ⎝ ⎠ ⎭ 7.5 Akan ditinjau kondisi optimal pemanenan di titik tetap misalkan 4 E . Titik tetap 4 4 4 4 , , E x y z dipilih karena merupakan titik interior dan sudah dibuktikan bersifat stabil asimtotik global. Dengan menggunakan operator diferensial d D dt ≡ , maka sistem persamaan 7.5 di titik tetap 4 E dapat dituliskan kembali sebagai berikut: 4 1 4 2 4 3 px D cy ez K λ λ λ − + + = 7.6 4 4 1 2 4 3 4 1 t qy ax D fz U h v e L δ λ λ λ − − − + = 7.7 4 4 1 4 2 3 4 2 t rz bx dy D U h w e M δ λ λ λ − + − − = 7.8 Sistem persamaan diferensial linear pada persamaan 7.6, 7.7, dan 7.8 dapat diselesaikan dengan menggunakan metode operator. Setelah dilakukan eliminasi terhadap 2 λ dan 3 λ diperoleh hasil sebagai berikut: 3 2 3 2 1 1 1 t a D a D a D a M e δ λ − + + + = 7.9 dengan 3 1 a = , 4 4 4 2 px qy rz a K L M = − + + , 4 4 4 4 4 4 1 4 4 4 4 4 4 , qry z pqx y prx z a dfx z LM KL KM bex z acx y = + + − + + 4 4 4 , pqr dfp beq acr a ade bcf x y z KLM K L M = − − + + − − 1 1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 [ ] , cr eq M h v cy de y z U h w ez cf y z U M L δ δ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − + − + − + − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ dan 3 2 2 1 3 3 N a a a δ δ δ = − + − − ≠ . Lihat Lampiran 5. Solusi lengkap dari persamaan 7.9 adalah: 3 1 2 1 1 1 2 3 t t t t M A e A e A e e N β β β δ λ − = + + + 7.10 dengan 1, 2,3 i A i = adalah konstanta sembarang, 1, 2,3 i i β = adalah akar-akar persamaan karakteristik 7.9. Dengan cara yang sama diperoleh: 3 1 2 2 2 1 2 3 t t t t M A e A e A e e N β β β δ λ − = + + + 7.11 3 1 2 3 3 1 2 3 t t t t M A e A e A e e N β β β δ λ − = + + + 7.12 Sesuai dengan persamaan 2.6.8 Teorema 7, kondisi transversalitas pada t → ∞ , adalah: lim , , , , t H y z U t λ ∗ ∗ ∗ →∞ = 1 2 lim t t e h vy h wz B U δ − →∞ + − 1 lim t dx dt λ + →∞ 2 lim t dy dt λ + →∞ 3 lim t dz dt λ + →∞ = . Jika δ , maka lim t t e δ − →∞ = . Jika i β atau i A = 1, 2, 3 i = , maka 3 1 2 1 2 3 lim t t t t A e A e A e β β β →∞ + + = , Akibatnya kondisi transversalitas dipenuhi jika δ dan i β atau i A = , 1, 2,3 i = . Untuk penyederhanaan penghitungan, dipilih 1, 2, 3 i A i = = , maka dari persamaan 7.10, 7.11, dan 7.12 diperoleh 1 1 t M e N δ λ − = . 7.13 2 2 t M e N δ λ − = , 7.14 3 3 t M e N δ λ − = , 7.15 dengan 1 1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 2 1 4 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 3 1 4 4 4 4 2 [ ] , [ ] , [ ] cr eq M h v cy de y z U h w ez cf y z U M L px rz pr pf M h v be x z U h w fz ae x z U K M KM K px qy pd pq M h v dy bc x y U h w ac K K L KL δ δ δ δ δ δ δ δ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − + − + − + − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + + + + + + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = + + − + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 4 4 . x y U ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎭ 7.16 Lihat Lampiran 5. Kondisi persamaan Hamilton H maksimum untuk t U V ∈ adalah 1 2 2 3 t H e h vy h wz B vy wz U δ λ λ − ∂ = + − − − ∂ = 7.17 atau 2 3 t d vy wz e dU δ π λ λ − + = . 7.18 Dari kondisi U yang memaksimumkan laba ekonomi π adalah d dU π = , maka diperoleh 2 3 vy wz λ λ + = ⇔ 3 2 M M vy wz N N + = ⇔ 3 2 M wz y M v = − . 7.19 Turunan pertama persamaan 7.13, 7.14, dan 7.15 terhadap t adalah: 1 1 , t d M e dt N δ λ δ − − = 7.20 2 2 , t d M e dt N δ λ δ − − = 7.21 3 3 . t d M e dt N δ λ δ − − = 7.22 Dengan menyubstitusi persamaan 7.19 7.20, 7.21, 7.22 ke persamaan 7.5 diperoleh 3 3 3 1 1 2 3 3 2 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 M wz M wz M M M p x a bz p c ez N K M v N Nv N M wz M M M M M q h v v U ax cx dz q fz N N N L M v N N M M M wz M M wz M r h w w U bx z ex f r d N N N M M v N Nv δ δ δ ⎫ ⎛ ⎞ − = − + − + − ⎪ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎪ = − − + − + − + + ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎪ = − − + − − + + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ 7.23 Persamaan 7.23 terdiri dari 3 variabel , , x z U dan 3 persamaan sehingga bisa dilakukan eliminasi untuk mendapatkan solusi optimal x x δ = , z z δ = , dan U U δ = . Selanjutnya dengan menyubstitusi z z δ = ke persamaan 7.19 diperoleh solusi optimal y y δ = lihat Lampiran 5.

7.3 Contoh Penerapan pada Industri Perikanan