2. 6 Kontrol Optimum
Dalam suatu masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu, sistem pada
waktu
t
dapat diungkapkan dengan peubah keadaan state variabel
1
,...,
n
x t x t
atau dalam bentuk vektor
x t ∈
. Dengan nilai
t
yang berbeda, vektor
x t
menempati posisi yang berbeda di ruang
. Dinamika sistem dapat dinyatakan
secara matematik melalui persamaan diferensial:
, ,
x f x t U t t
= 2.6.1
dengan
dx x
dt =
. Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu
t
,
x t x
= ∈
. Jika dipilih peubah kontrol
U t ∈
yang terdefinisi untuk
t t
≥
, maka diperoleh persamaan diferensial orde satu dengan
peubah taktentu
x t
. Karena
x
diberikan maka 2.6.1 mempunyai solusi tunggal.
Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap kontrol
U
yang dilambangkan dengan
U
x t
. Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat
diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya
kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol
U t
dan responnya state
x t
dihubungkan dengan fungsi
, ,
T t
J U f
x t U t t dt =
∫
2.6.2 dengan
f
fungsi yang diberikan.
T
tidak harus fixed ditentukan dan
x T
mempunyai kondisi tertentu.
Di antara semua fungsipeubah kontrol yang diperoleh ditentukan salah satu sehingga
J
menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum.
Tu, 1993 Berikut ini akan dibahas prinsip
maksimum Pontryagin untuk masalah kontrol optimum dengan horizon waktu takberhingga.
Teorema 7. Misalkan diberikan suatu permasalahan
seperti berikut maks
.
, , ,
u
f t x u dt
∞
∫
2.6.3 terhadap kendala
, x
f x u =
v.e. virtually everywhere, ,
u U
∈
, x
x =
2.6.4 lim
i i
t
x t x
→∞
= , 1,
, i
m = … . 2.6.5
U
adalah himpunan yang berada di
m
, :
,
n i
f →
0, ,
i n
= … ,
i
f
dan ,
i
f x
∂ ∂
0, ,
i n
= …
, kontinu, demikian juga dengan ,
f t
∂ ∂
dan v.e. virtually everywhere berarti
terdefinisi di mana-mana, kecuali di sejumlah berhingga titik.
Diasumsikan bahwa ,
x t u t
∗ ∗
adalah solusi optimal di antara semua pasangan
. , .
x u
yang memenuhi 2.6.4, 2.6.5, dan integral pada 2.6.3 konvergen,
dengan
. u
kontinu bagian demi bagian pada setiap interval. Diasumsikan juga bahwa
, ,
f t
x t u
t d t
σ
∞ ∗
∗
+
∫
ada untuk setiap
σ pada interval
,
ε ε
−
, sehingga untuk fungsi
t
α yang kontinu bagian demi
bagian, berlaku
, ,
f t
x t u t
t t
σ α
∗ ∗
∂ +
≤ ∂
untuk setiap
,
δ ε ε
∈ −
,
[
0, t
∈ ∞
dan
t dt α
∞
∞
∫
. Maka terdapat pasangan
, ,
p p t
0, p
≥ ,
p p t ≠
untuk setiap
t
, sedemikian sehingga
p t
adalah solusi kontinu dari persamaan adjoint
, ,
,
x
p H
t x t u t
p t
∗ ∗
= −
v.e., 2.6.6 dengan
, , ,
. H
p f t x u
p t f x u =
+
Selanjutnya maks
, ,
,
u
H t x t u t p t
∗
, ,
, H t x t u
t p t
∗ ∗
=
v.e. 2.6.7 dan
lim ,
, ,
0.
t
H t x t u t
p t
∗ ∗
→∞
=
2.6.8 Seierstad, 2002
9
III MODEL-MODEL DASAR
Analisis model kebijakan pemanenan optimal dalam perikanan, memerlukan model-
model dasar yang mendukung dibangunnya model kebijakan pemanenan tersebut. Oleh
karena itu, dalam bab ini akan ditampilkan model-model dasar dan teori pembangun dari
model kebijakan pemanenan optimal perikanan yang menjadi topik utama dalam
tulisan ini.
3.1 Model Pertumbuhan Logistik
Kategori