1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Permasalahan kebijakan pemanenan
ikan yang memberikan keuntungan maksimum dan berkelanjutan tidak terjadi
kepunahan dari populasi ikan yang dipanen adalah hal yang sangat penting bagi industri
perikanan. Para ilmuwan berusaha menyelesaikan permasalahan tersebut dengan
berbagai cara, salah satunya adalah dengan memodelkan permasalahan tersebut secara
matematis kemudian menyelesaikannya dengan menggunakan metode yang sesuai
untuk model tersebut.
Dalam tulisan ini akan dipelajari dinamika populasi dari model pertumbuhan
dua spesies ikan yang berkompetisi yang bergantung tidak hanya pada sumberdaya
eksternal tetapi juga bergantung pada spesies ketiga, yaitu sumberdaya yang dapat
memperbaharui dirinya sendiri. Selain itu, pertumbuhan dari dua spesies ikan yang
berkompetisi juga dipengaruhi oleh usaha pemanenan terhadap kedua spesies ikan
tersebut.
Permasalahan yang ditampilkan dalam tulisan ini diformulasikan dalam bentuk
kontrol optimum untuk unit waktu takterbatas infinite horizon. Calon solusi optimal
diperoleh dengan menerapkan Prinsip Maksimum Pontryagin.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Chattopadhyay dan
kawan-kawan yang berjudul A resource based competitive system in three species
fishery.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. melakukan analisis kestabilan titik tetap dan mengamati dinamika populasi ikan,
2. menganalisis model kebijakan pemanenan ikan yang dapat memberikan
keuntungan maksimum dan berkelanjutan.
1.3 Metode dan Sistematika Penulisan Metode penulisan karya ilmiah ini
adalah studi literatur. Karya ilmiah ini terdiri atas delapan bagian. Bagian pertama
menjelaskan latar belakang masalah, tujuan, dan sistematika penulisan. Bagian kedua
menyajikan landasan teori yang membahas sistem dinamika, teori modal, dan kontrol
optimum. Bagian ketiga menyajikan model- model dasar yang membangun model yang
akan dianalisis. Bagian keempat menyajikan pembahasan masalah dengan merekonstruksi
model yang akan dianalisis. Bagian kelima menyajikan analisis kestabilan. Bagian
keenam membahas masalah pemanenan maksimum. Bagian ketujuh menyajikan
formulasi kebijakan pemanenan optimal yang dibuat dalam bentuk formulasi masalah
kontrol optimum dan pembahasan penentuan calon solusi optimal dengan menerapkan
prinsip maksimum Pontryagin. Bagian terakhir menyajikan kesimpulan tentang hasil
yang diperoleh dari pembahasan sebelumnya.
II LANDASAN TEORI
Beberapa landasan teori yang dibahas pada bab ini meliputi sistem persamaan
diferensial SPD, titik tetap, pelinearan dan konsep kestabilan, serta teori kontrol optimum
yang disarikan dari berbagai sumber pustaka. 2.1 Sistem persamaan diferensial SPD,
nilai eigen, dan vektor eigen Definisi 1. SPD Mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial SPD dinyatakan sebagai
,
n
dx x
f x x dt
= = ∈
dengan f
fungsi kontinu dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD
tersebut disebut sistem persamaan diferensial mandiri jika tidak mengandung
t
secara eksplisit di dalamnya.
Kreyszig, 1983 Definisi 2. SPD Linear Orde Satu
Jika suatu sistem persamaan diferensial SPD dinyatakan sebagai
, 0 ,
= +
= ∈
n
x Ax b x
x x
R 2.1.1
dengan A adalah matriks koefisien berukuran n
× n , maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde 1 dengan kondisi awal
x x
=
. Sistem 2.1.1 disebut homogen jika
b =
dan takhomogen jika b
≠ . Fisher, 1990
Definisi 3. Vektor Eigen dan Nilai Eigen Jika A adalah suatu matriks n × n , maka
vektor taknol
x
pada
n
disebut suatu
vektor eigen dari A jika A x adalah suatu
penggandaan skalar dari ;
x
yaitu, λ
A x = x 2.1.2
untuk suatu skalar
λ
. Skalar
λ
disebut nilai eigen dari
A
, dan
x
disebut suatu vektor eigen dari
A
yang berpadanan dengan
λ
. Anton, 2000
Untuk mencari nilai λ dari matriks
A
, maka persamaan 2.1.2 dapat ditulis kembali
sebagai
λ −
= A
I x
2.1.3 dengan
I
matriks identitas. Persamaan 2.1.3 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika
det p
λ λ
λ =
− =
− =
A I
A I
2.1.4 Persamaan 2.1.4 disebut persamaan
karakteristik dari matriks
A
. Anton, 2000
2.2 Titik tetap, pelinearan dan kestabilan Definisi 4. Titik Tetap dan Titik Biasa
Misalkan diberikan SPD taklinear berikut
:
n n
x f x U
= ⊂
→ 2.2.1
Titik
x
∗
dengan f x
∗
= disebut titik kritis atau titik tetap atau titik keseimbangan. Titik
x
pada bidang fase 2.2.1 yang bukan titik tetap, yaitu
f x ≠
, disebut titik biasa atau titik regular.
Tu, 1994 Definisi 5. Titik Tetap Stabil
Misalkan
x
∗
adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan
x t
adalah solusi yang memenuhi kondisi awal
x x
=
dengan
x x
∗
≠
. Titik
x
∗
dikatakan titik tetap stabil jika terdapat
ε yang memenuhi sifat
berikut: untuk setiap
1
ε , dengan
1
ε ε
, terdapat ε
sedemikian sehingga jika x
x ε
∗
− maka
1
x x t
ε
∗
− , untuk setiap
t t
. Szidarovszky Bahill, 1998
Catatan: Norm
2 2
2 1
2
...
n
x x
x x
= +
+ +
Definisi 6. Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal
Titik x
∗
dikatakan titik tetap stabil asimtotik lokal jika titik
x
∗
stabil dan terdapat ε sedemikian sehingga jika
x x
ε
∗
− maka
lim ,
t
x t x
∗ →∞
= dengan
x x
=
. Szidarovszky Bahill, 1998
Definisi 7. Titik Tetap Stabil Asimtotik Global
Titik x
∗
dikatakan titik tetap stabil asimtotik global jika titik
x
∗
stabil dan
,
n
x R
∈ Ω ⊆ lim
,
t
x t x
∗ →∞
= dengan
x x
= .
Szidarovszky Bahill, 1998
Gambar 1 Konsep Kestabilan dari Definisi 5, 6, dan 7.
Definisi 8. Titik Tetap Takstabil Misalkan x
∗
adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan
x t
adalah solusi yang memenuhi kondisi awal
x x
= dengan
x x
∗
≠ . Titik x
∗
dikatakan titik tetap takstabil jika terdapat
ε yang memenuhi sifat berikut:
untuk sembarang ε ,
ε ε , terdapat
x sedemikian sehingga jika
x x
ε
∗
− maka
x x t
ε
∗
− ≥
, untuk setiap t
t .
Velhurst, 1990
ε
1
ε ε
x
∗
Takstabil Stabil
Stabil asimtotik
lokal
Stabil asimtotik
global
Definisi 9. Titik Tetap Simple
Suatu titik tetap SPD taklinear dikatakan simple
jika pada sistem linearnya
Ax
tidak mempunyai nilai eigen nol, yaitu
jika det ≠
A .
Tu, 1994 Definisi 10. Titik Tetap
Simple Hyperbolic
Titik tetap simple dikatakan hyperbolic jika
A pada Ax tidak memiliki nilai-nilai eigen
λ dengan bagian-bagian real nol, berarti Re
λ ≠ . Tu, 1994
Teorema 1.
Teorema Taylor untuk n variabel
Misalkan :
n
f Ω ⊂
→ dan segmen garis yang menghubungkan
x dan x berada pada
Ω
. Jika
1
,...,
n
x x
=
x
dan
1
,...,
n
x x
=
x
maka
1 n
i i
i i
f f
x x
=
= +
−
∑
f x x
x
1 1
1 2
n n
ij i
i j
j i
j
f x
x x
x
= =
+ −
−
∑∑
x
1 2 1
1 1 2
, ,..., , ,
1 , ,...,
1
1 1
... ...
3
m m
n n
ijk i
i j
j k
k i i
i i
i i j k
i i i
f x
x x
x x
x f
x x
m
= =
+ −
− −
+ + −
∑ ∑
x x
2 2
m m
i i
i i
m
x x
x x
R −
− +
x
2.2.2
dengan
1 2 1
1 1
2 2
1 1
1 2 1
, ,..., , ,...,
1
1 ...
1
m m
m m
n m
i i i
i i
i i
i i
i i i
R f
c x
x x
x x
x m
+ +
+ +
=
= +
− −
− +
∑
x x
h 2.2.3
untuk nilai c pada 0,1
dan = −
h x
x .
Grossman, 1995 Dengan memerhatikan sistem taklinear
x f x
= pada 2.2.1 dan menggunakan
ekspansi Taylor di sekitar titik tetap
x
∗
, misalkan di titik asal
0, 0 untuk
penyederhanaan, diperoleh x
Ax x
ϕ =
+ taklinear 2.2.4
dengan
1 1
1 11
1 1
1 n
n n
nn n
n n
A Df x
f x
f x
x x
a a
a a
f x
f x
x x
∗ ∗
∗
∗ ∗
≡ ≡
⎡ ⎤
∂ ∂
⎢ ⎥
∂ ∂
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
≡ ≡ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ∂
∂ ⎣
⎦ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ∂
∂ ⎣
⎦ dan
x
ϕ sedemikian sehingga
lim
x
x ϕ
→
= . Ax pada 2.2.4 disebut pelinearan dari 2.2.4 atau sistem yang
dilinearkan yaitu .
x Ax
= linear 2.2.5
Untuk sistem pada bidang,
2
U R
⊂
diperoleh x
f x Ax
x ϕ
= =
+
sebagai
1 1
1 2
1 1
2 2
2 1
2 2
1 2
, ,
x f
x ax
bx x x
x f
x cx
dx x x
ϕ ϕ
= =
+ +
= =
+ +
dengan
1 1
11 12
1 2
2 2
21 22
1 2
f f
a a
b a
x x
f f
c a
d a
x x
∂ ∂
≡ ≡
≡ ≡
∂ ∂
∂ ∂
≡ ≡
≡ ≡
∂ ∂
dan
1 1
2 2
1 2
, ,
lim lim
r r
x x x x
r r
ϕ ϕ
→ →
=
dengan
2 2
1 2
r x
x =
+
, yaitu
1
ϕ dan
2
ϕ menjadi sangat kecil dan bisa diabaikan.
Secara umum, untuk setiap titik tetap ,
0, 0
x y
∗ ∗
≠
, dapat didefinisikan variabel- variabel baru
x x
ξ
∗
≡ −
dan y
y η
∗
≡ −
, sehingga
x f x
=
adalah
1 2
, 2.2.6
, x
a b
x x
y c
d y
y ϕ ξ η
ξ ϕ ξ η
η
∗ ∗
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎡
⎤ −
⎛ ⎞ ⎡
⎤ ≡
= +
⎜ ⎟ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎜ ⎟
⎢ ⎥
− ⎝ ⎠
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
Persamaan 2.2.6 hanya menggambarkan perpindahan titik tetap dari
0, 0 ke titik
tetap taknol ,
x y
∗ ∗
. Tu, 1994
Matriks
A
pada 2.2.4 disebut sebagai matriks Jacobi atau biasa juga disebut
sebagai matriks variasi. Abell Braselton, 2004
Teorema 2 . Teorema Pelinearan dari
Hartman Grobman Misalkan sistem dinamik taklinear
x f x
=
pada 2.2.1 mempunyai titik tetap simple hyperbolic
x
∗
, dan misalkan titik tetap tersebut berada pada
0, 0
untuk penyederhanaan, maka pada
U
di sekitar
n
x
∗
∈
, bidang fase dari sistem taklinear 2.2.4 dan sistem hasil pelinearannya 2.2.5
adalah ekuivalen. Tu, 1994
Misalkan
j j
j
i
λ α
β
= ±
adalah nilai eigen dari matriks Jacobi
A
dengan Re
j j
λ α
=
dan Im
j j
λ β
=
. Kestabilan titik tetap simple hyperbolic mempunyai
beberapa perilaku sebagai berikut: 1. Stabil Attractor, jika :
a. Re
j j
λ α
=
dengan
Im
j
λ
=
untuk setiap
1, 2, 3 j
=
. 2.2.7 Lihat Gambar 2.
b. Terdapat
Re
j j
λ α
=
dengan
Im
j
λ
=
dan
Re
k k
λ α
=
dengan
Im
k
λ
≠
untuk
1, 2, 3 j
=
dan
j k
≠
. 2.2.8 Lihat Gambar 3.
2. Takstabil Repellor, jika : a.
Re
j j
λ α
=
dengan Im
j
λ = untuk setiap
1, 2, 3. j
=
2.2.9 Lihat Gambar 4.
b. Terdapat
Re
j j
λ α
=
dengan Im
j
λ = dan
Re
k k
λ α
=
dengan
Im
k
λ
≠
untuk
1, 2, 3 j
=
dan
j k
≠
. 2.2.10 Lihat Gambar 5.
3. Titik Sadel, jika : a. Terdapat
Re
j j
λ α
= dengan
Im
j
λ
=
dan
Re
k k
λ α
=
dengan
Im
k
λ
≠
untuk
1, 2, 3 j
=
dan
j k
≠
. 2.2.11 Lihat Gambar 6.
b. Terdapat Re
j j
λ α
= dengan
Im
j
λ
=
dan
Re
k k
λ α
=
dengan Im
k
λ = untuk 1, 2,3
j =
dan
j k
≠
. 2.2.12 Lihat Gambar 7.
c. Terdapat
Re
j j
λ α
=
dengan
Im
j
λ
=
dan Re
k k
λ α
= dengan
Im
k
λ
≠
untuk 1, 2,3
j =
dan
j k
≠
. 2.2.13 Lihat Gambar 8.
d. Terdapat
Re
j j
λ α
=
dengan
Im
j
λ
=
dan
Re
k k
λ α
=
dengan
Im
k
λ
=
untuk
1, 2, 3 j
=
dan
j k
≠
. 2.2.14 Lihat Gambar 9.
Tu, 1994
Gambar 2 Attractor stabil. Gambar 3 Attractor stabil.
Gambar 4 Repellor takstabil.
Gambar 5 Repellor takstabil.
Gambar 6 Titik Sadel. Gambar 7 Titik Sadel.
Gambar 8 Titik Sadel.
Gambar 9 Titik Sadel.
Gambar 2 sampai 9 merupakan aliran-aliran hyperbolic
dalam 3 dimensi.
2.3 Kestabilan Liapunov
