10
BAB 2
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini dipaparkan berbagai teori pendukung berkaitan dengan fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi, fungsi karakteristik, distribusi normal,
distribusi cauchy dan distribusi stable.
2.1 Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang
2.1.1 Fungsi Distribusi
Untuk suatu variabel random , didefinisikan himpunan fungsi
. Maka adalah fungsi peluang karena
untuk setiap , , dan jika
dengan .
Jelas , yang juga setiap pasangannya disjoin dan ⋃
⋃ . Oleh karena itu
⋃ ⋃
⋃
∑
∑
disebut sebagai distribusi peluang dari variabel random . Dengan
memilih menjadi , dipunyai
. Dari sini didefinisikan fungsi yang disebut sebagai fungsi distribusi
dari . Jadi bila diketahui
maka dapat ditentukan nya dan berlaku
sebaliknya Roussas, 2003:33-34. Fungsi distribusi dari variabel random
memiliki beberapa sifat dasar, yaitu:
Sifat 2.1.1. Roussas, 2003:34
i untuk setiap ;
ii fungsi tak turun;
iii kontinu dari kanan; dan
iv .
2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang
Dipunyai variabel random diskrit dan ambil nilai
. Pilih {
} dan pada himpunan definisikan fungsi
dengan {
}. Selanjutnya, perpanjang atas seluruh
dengan menetapkan untuk
. Kemudian untuk setiap , jelas bahwa
∑ untuk
. Khususnya,
∑ ∑
. Dalam Roussas 2003, fungsi yang telah
didefinisikan tersebut disebut sebagai fungsi kepadatan peluang dari variabel random
.
Dengan memilih untuk suatu , dipunyai
∑ . Misalkan dipunyai titik
.
2.1 dengan
. Dipunyai
variabel random kontinu, pilih semua nilai dalam interval berhingga ataupun tidak berhingga dalam
, sehingga dengan . Dipunyai sifat
∫ . Khususnya,
∫ 2.2
Jika tidak semuanya elemen , perpanjang
dari dengan mengatur
untuk . Jadi untuk semua , dan
∫ . Berakibat
∫ dan khususnya,
∫ ∫
2.3 Fungsi
dengan sifat: untuk semua dan
∫ , merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel random
Roussas, 2003:34-36. Dalam Hogg Craig 1978:23 fungsi kepadatan peluang didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi 2.1.2. Dipunyai
dinotasikan sebagai suatu variabel random dengan ruang berdimensi satu yaitu
. Misalkan ruang adalah suatu himpunan titik-
titik yang berhingga dalam setiap interval berhingga. Misalkan himpunan disebut himpunan titik-titik diskrit. Dipunyai fungsi
dengan , dan
∑
Bagaimanapun peluang dengan , dapat dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut. ∑
Dipunyai himpunan berdimensi satu yaitu sehingga integral Riemann
∫
dengan , dan
memiliki paling banyak suatu bilangan berhingga kontinu dalam setiap interval berhingga yang merupakan subset dari
. Jika merupakan ruang variabel random dan jika peluang ,
dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.
∫
Maka disebut fungsi kepadatan dari variabel random .
Dalam Aunon Chandrasekar 1997, fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai turunan dari fungsi distribusi untuk
kontinu.
2.4
Jika variabel random diskrit maka fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai {
2.5 Jadi dapat dituliskan, untuk setiap
{ ∑
∫ 2.6
atau, lebih umum
{ ∑
∫ 2.7
Teorema 2.1.3. Stone, 1996:62 Dipunyai
, dimana . Maka fungsi distribusi dari
dinyatakan sebagai
Fungsi kepadatannya dinyatakan sebagai
dan untuk yang lain, dan kuantil ke- dinyatakan sebagai
.
Bukti.
Dipunyai , ,
.
Jadi
berakibat merupakan fungsi kontinu dari .
Jelas Kuantil ke-
dari yaitu adalah penyelesaian yang unik untuk
. Karena terdapat secara unik yang memenuhi persamaan
, berakibat . Jadi
2.2 Fungsi Karakteristik
