untuk Dalam Zwilinger dan Kokoska 1957, distribusi cauchy tidak memiliki fungsi
pembangkit momen, mean, maupun varian.
2.4 Distribusi Stable
Ada beberapa definisi yang memberikan gambaran tentang distribusi stable, yaitu:
Definisi 2.4.1. Samorodnitsky Taqqu, 1994:1 Variabel random
dikatakan berdistribusi Stable jika untuk setiap bilangan positif
dan , terdapat bilangan positif
dan bilangan real sehingga
2.18 Dimana
dan independent copies dari
, dan menyatakan persamaan dalam distribusi.
Terdapat beberapa macam distribusi stable seperti stable mutlak strictly stable dan stable simetri symmetric stable. Variable random
dikatakan strictly stable jika pada Definisi 2.4.1 terjadi dengan nilai
. Variable random stable dikatakan symmetric stable jika distribusinya simetris yaitu dengan dan
memiliki distribusi yang sama. Variable random stable simetris dipastikan dia stable mutlak.
Teorema 2.4.2 Samorodnitsky Taqqu, 1994:2 Untuk setiap variable random
stable , terdapat suatu bilangan sehingga bilangan dalam Definisi
2.4.1 memenuhi
2.19 Bukti di Feller 1971, Section V1.1.
Dalam Teorema 2.4.2 muncul suatu nilai yang kemudian disebut
sebagai index stabilitas atau eksponen karakteristik. Suatu variable random stable dengan index selanjutnya disebut -stable.
Definisi 2.4.3. Samorodnitsky Taqqu, 1994:3 Suatu variable random
dikatakan berdistribusi stable jika untuk setiap , terdapat bilangan positif
dan bilangan real sehingga
2.20 dengan
independent copies dari
. Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3 saling ekivalen. Untuk menunjukkannya
dari Definisi 2.4.1 ke Definisi 2.4.3, dilakukan induksi. Untuk bukti sebaliknya ada di Feller 1971, SectionV1.1.
Definisi 2.4.4. Samorodnitsky Taqqu, 1994:5 Suatu variable random
dikatakan berdistribusi stable jika memiliki suatu domain of attraction, atau bisa
dikatakan jika terdapat suatu deret variable random yang saling
bebas stokastik dan suatu deret bilangan positif dan bilangan real
, sehingga
⇒ 2.21
⇒ menunjukkan kekonvergenan dalam distribusi. Definisi 2.4.3, dan Definisi 2.4.4 saling ekivalen.
Definisi 2.4.5. Samorodnitsky Taqqu, 1994:5 Suatu variable random
dikatakan berdistribusi stable jika terdapat parameter , dan real sehingga fungsi karakteristik mengikuti bentuk:
{ | |
[ | | | | ]
2.22
{
Parameter bersifat unik menyimpang ketika .
Fungsi karakteristik Definisi 2.4.5 dapat dituliskan
[ | |
]
2.23 dengan
{ | |
| |
Fungsi tak kontinu pada dan .
Fungsi karakteristik yang berbentuk
[ | |
]
2.24 dengan
{ | |
| |
{
adalah suatu fungsi yang kontinu bersamaan di dan Samorodnitsky dan
Taqqu, 1994:7. Fungsi Karakteristik di atas merupakan salah satu alat yang digunakan
untuk mengidentifikasi bahwa suatu variabel random berdistribusi stable. Distribusi stable dengan varian berhingga merupakan distribusi normal.
Kepadatan peluang variabel random -stable ada dan kontinu dengan
beberapa pengecualian, mereka tidak diketahui bentuk terdekatnya Zolotarev, 1986. Distribusi yang telah dipelajari dan merupakan kasus khusus distribusi
stable yaitu: 1. distribusi normal
, dengan kepadatan peluangnya berbentuk
√
Bukti.
Fungsi karakteristiknya
| |
Fungsi kepadatan peluang dari suatu distribusi dapat dicari melalui
fungsi karakteristiknya.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
[ ]
∫
∫
∫
∫
misal dan
. Maka
∫ ∫
∫
misal
maka √ dan
. Berakibat
∫ ∫
∫ √
√ √
√
√
merupakan fungsi kepadatan peluang dari .
2. distribusi cauchy , dengan kepadatan peluangnya berbentuk
Bukti.
Fungsi Karakteristiknya | |
| | Fungsi kepadatan peluang dari suatu distribusi
dapat dicari melalui fungsi karakteristiknya.
∫
∫
| |
∫
| |
∫
| |
∫ ∫
∫ ∫
[ [
] [
] ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi cauchy dengan parameter dan .
Selain dua distribusi di atas, ada distribusi lain yang merupakan kasus khusus dari distribusi stable, yaitu sebagai berikut.
1. Distribusi levy , dimana kepadatan peluangnya berbentuk
2. Konstant yang mempunyai distribusi menurun
untuk suatu .
Sifat 2.4.6. Samorodnitsky Taqqu, 1994:10 Dipunyai
dan variabel
random independen
dengan .
Maka , dengan
Bukti.
Kasus
[ ]
| | | |
| |
Kasus
[ ]
| | | | | |
| | [ | | ]
disebut parameter geseran shift parameter.
Sifat 2.4.7.
Samorodnitsky Taqqu, 1994:11 Dipunyai dan
suatu konstanta real. Maka .
Bukti.
Kasus
[ ]
| |
| |
| |
Kasus
[ ]
| | | |
| | | |
| | | |
Sifat 2.4.8. Samorodnitsky Taqqu, 1994:11 Dipunyai
dan suatu konstanta real tak nol. Maka
| |
| | | |
2.25
Bukti.
Kasus
[ ] | |
| | | |
Kasus
[ ] | | | |
| | | | | || |
disebut parameter skala scale parameter.
Sifat 2.4.9. Samorodnitsky Taqqu, 1994:11 Untuk suatu
,
2.26
Bukti.
Kasus i
Ditunjukkan pernyataan “ ⇒
”, benar. Dipunyai
. Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
| |
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ⇒
”, benar. ii
Ditunjukkan pernyataan “ ⇒
”, benar. Dipunyai
. Jelas
. Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
| |
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ⇒
”, benar. Jadi terbukti bahwa pernyataan “
”, benar.
Kasus i
Ditunjukkan pernyataan “ ⇒
”, benar.
Dipunyai .
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh | |
| |
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ⇒
”, benar. ii
Ditunjukkan pernyataan “ ⇒
”, benar. Dipunyai
. Jelas
. Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
| | | |
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ⇒
”, benar. Jadi terbukti bahwa pernyataan “
”, benar. disebut parameter kemiringan skewness parameter.
Sifat 2.4.10. Samorodnitsky Taqqu, 1994:11
simetri jika dan hanya jika
dan . simetri terhadap jika dan hanya jika .
Bukti.
Ditunjukkan pernyataan “ ”, benar
dan “ simetris terhadap ”, benar. i
Ditunjukkan pernyataan “ ”,
benar. a
Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ ”,
benar. Dipunyai
. Jelas
simetris jika dan berdistribusi sama atau . Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
kasus
| |
kasus
| | | |
Jadi terjadi ketika dan .
Jadi terbukti pernyataan “ simetris ⇒ ”, benar.
b Ditunjukkan pernyataan “ dan ⇒
simetris”, benar. Dipunyai
, . Jelas
. Jelas
Jadi diperoleh atau dengan kata lain
simetris. Jadi terbukti pernyataan“ dan ⇒
simetris”, benar. Jadi terbukti pernyataan “
”, benar. ii Ditunju
kkan pernyataan “ simetri terhadap ”, benar.
a Ditunjukkan pernyataan “
simetri terhadap ⇒ ”, benar. Dipunyai
. Jelas
, jadi . Jadi terbukti pernyataan “
simetri terhadap ⇒ ”, benar. b
Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ simetri terhadap ”, benar.
Dipunyai , jelas .
Jelas
dan
Berakibat
, jadi simetri terhadap .
Jadi terbukti pernyataan “ ⇒ simetri terhadap ”, benar.
Jadi terbukti pernyataan “ simetri terhadap ”, benar.
Suatu variabel random stable simetri symmetric stable adalah stable sempurna strictly stable tetapi variabel random stable sempurna strictly stable
tak perlu simetri.
Sifat 2.4.11. Samorodnitsky Taqqu, 1994:12 Dipunyai
dengan . Maka stable sempurna strictly stable jika dan hanya jika .
Bukti.
Dipunyai independent copies dari
dan dipunyai dan secara berturut- turut konstanta positif. Dari Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.8 diperoleh
Dengan mengatur dalam Definisi 2.4.1. Dari Sifat 2.4.7 dan
Sifat 2.4.8 diperoleh
dan, dipunyai dengan jika dan hanya jika .
Akibat 2.4.12. Samorodnitsky Taqqu, 1994:12, Akibat 1.2.7 Dipunyai
dengan . Maka stable sempurna strictly stable.
Bukti.
Berdasarkan Sifat 2.4.7 diperoleh . Oleh sebab parameter
untuk variabel random , menurut Sifat 2.4.11 maka variabel random
stable mutlak.
Sifat 2.4.13.
Samorodnitsky Taqqu, 1994:12, Sifat 1.2.8 berdistribusi stable mutlak strictly stable jika dan hanya jika
.
Bukti.
Dipunyai dan
berdistribusi sama dengan dan dipunyai .
Maka, dari Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.6,
mengingat
Oleh sebab itu dalam Definisi 2.4.1 jika dan hanya jika
atau dengan kata lain jika dan hanya jika
untuk suatu . Jadi cukup bahwa .
Akibat 2.4.14. Samorodnitsky Taqqu, 1994:13 Jika
bebas stokastik
, maka
2.27 jika
, dan
2.28 jika
.
Bukti.
Dipunyai bebas stokastik
.
Ditunjukkan i kasus
ditunjukkan .
ditunjukkan generalisasi Sifat 2.4.6 yaitu
dengan
⏟
⏟
⏟
untuk sesuai dengan yang didefinisikan.
Andaikan pernyataan , benar.
dibuktikan , benar.
dengan
jadi , benar untuk
bebas stokastik
, . Berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh
| |
jadi untuk ,
; dan ii kasus
, ditunjukkan . Berdasarkan
generalisasi Sifat 2.4.6 diperoleh
dengan ⏟
⏟
⏟
berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh
| |
jadi ,
.
Akibat 2.4.15.
Samorodnitsky Taqqu, 1994:13 1.
Tidak ada variabel random -stable yang tidak mutlak bisa dibuat menjadi stable mutlak dengan menggunakan geseran.
2. Setiap variabel random -stable mutlak bisa dibuat simetri melalui
penggeseran.
Bukti.
1. Ambil sembarang , , dengan melakukan geseran
berdasarkan Sifat 2.4.13 maka variabel random tidak dapat dinyatakan
stable mutlak. 2. Ambil sembarang
, dengan menggunakan Akibat 2.4.12 maka
. Menurut Sifat 2.4.10 maka
dinyatakan simetris.
Karena parameter hanya memperngaruhi pada lokasi maka biasanya
dianggap . Distribusi
dikatakan miring ke kanan jika dan miring ke kiri jika
. Kemudian dikatakan miring seluruhnya ke kanan jika dan miring seluruhnya ke kiri jika .
Sifat 2.4.16. Samorodnitsky Taqqu, 1994:16 Dipunyai
berdistribusi dengan . Maka terdapat dua variabel yang bebas stokastik yaitu
dan dengan distribusi lazim
sehingga
2.29 dan
2.30
Bukti.
Dipunyai dengan ,
.
Kasus , ditunjukkan
. Berdasarkan Sifat 2.4.8 diperoleh
| |
| |
Berdasarkan Sifat 2.4.9 diperoleh
Berdasarkan Sifat 2.4.6 diperoleh
dengan
Jadi .
Kasus , ditunjukkan
Berdasarkan Sifat 2.4.8
| | [
] |
|
| | [
] |
|
Berdasarkan Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.7 diperoleh
[ ]
dengan
[ ]
Jadi
Sifat 2.4.17. Samorodnitsky Taqqu, 1994:19 Ketika
, parameter geseran
sama dengan rataannya.
Bukti.
Dipunyai . Variabel random mempunyai mean
berhingga melalui Sifat 2.4.19 dalam kasus , dan karena normal
ketika . Selain itu, stable mutlak berdasarkan Akibat 2.4.12.
Dipunyai dan
masing-masing berdistribusi sama dengan . Berdasarkan
Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3, hubungan
Untuk suatu dan positif. Ekspektasi yang diberikan untuk kedua sisi adalah
dan dengan begitu .
Dalam Bilik 2008 dijelaskan bahwa dari Definisi 2.4.4. menghantarkan pada satu versi dari teorema limit pusat heavy-tail.
Teorema 2.4.18. Breiman, 1968 Suatu fungsi distribusi F berada dalam domain
of attraction suatu hukum stable dengan
jika dan hanya jika terdapat konstanta
, sehingga :
dan untuk setiap ,
⇒
⇒
Versi lain dari teorema dengan penyajian yang lebih kongkret. Pertama, diperkenalkan definisi baru:
Definisi 2.4.19. Whitt, 2002 Suatu fungsi
terdefinisi pada disebut
regularly varying dengan indeks
jika
Suatu fungsi
terdefinisi pada disebut slowly varying jika
Misalkan adalah variabel random dengan fungsi distribusi
. Dipunyai menyatakan komplemen fungsi distribusi
dan menyatakan komplemen
fungsi distribusi dari |
| yang dinyakatan sebagai berikut. |
|
Dalam versi teorema selanjutnya digunakan notasi
dengan ,
suatu deret variable random yang saling bebas stokastik.
Diperoleh versi selanjutnya untuk teorema limit pusat heavy-tale distribusi Stable:
Teorema 2.4.20. Whitt, 2002 Dipunyai
bariasan dari nilai nyata variabel random yang i.i.d dengan fungsi distribusi
. Fungsi distribusi
termasuk dalam domain of attraction dari
untuk jika dan hanya jika
dengan
adalah slowly varying, dan
Ruang skala konstanta harus memenuhi
untuk
∫
Dan konstanta yang dipilih memenuhi
{ ∫
∫
Dalam kasus ini, , dengan
adalah slowly varying secara umum
berbeda dengan .
2.5 Estimator
