Estimator Hill Estimator Hint

2.5 Estimator

2.5.1 Estimator Parameter

Untuk menemukan estimasi dari parameter-parameter di dalam distribusi Stable diperkenalkan beberapa macam estimator yang digunakan.

2.5.1.1 Estimator Hill

Estimator Hill yang diperkenalkan Hill 1975, merupakan salah satu estimator grafik yang popular untuk indeks , yang berdasarkan urutan statistik, dalam kelas heavy-tailed yang tidak hanya distribusi stable. Diberikan urutan statistik dari sampel , estimator Hill dapat didefinisikan sebagai ̂ ∑ 2.31 dengan ̂ ̂ ̂ 2.32 Akurasi dari nilai estimasi ̂ bergantung pada parameter yang mengindikasi dimana ekor distribusi berawal. Nilai lebih mudah ditentukan jika kita mengetahui distribusi samplingnya. Estimator ini hanya digunakan untuk nilai-nilai ekstrim terbesar. Jika , distribusi Pareto berada di dalam domain distribusi stable maka estimator Hill dapat digunakan untuk mengestimasi indeks stable.

2.5.1.2 Estimator McCulloch

Estimator lain yang dapat digunakan untuk melakukan estimasi terhadap parameter dalam distribusi stable adalah estimator yang diperkenalkan oleh McCulloch 1986. Metode yang dikembangkan oleh McCulloch 1986 merupakan generalisasi dari pendekatan Fama and Roll 1968, 1971 yang mengembangkan metode yang lebih sederhana, menggunakan fungsi sederhana dari satistik yang telah ditentukan, mereka bisa mengestimasi secara konsisten begitu juga untuk dan yang hampir konsisten. Namun metode yang telah mereka kembangkan terbatas pada kasus simetris , dan pada nilai . Generalisasi ini dimaksudkan untuk menyediakan estimator yang konsisten untuk keempat parameter, dengan yang berada pada range , dan pada range . Seperti pada estimator FamaRoll, estimator ini menggunakan fungsi sederhana dari lima sampel quantil yang telah ditentukan, normal asimtotik dapat dihitung dengan error standart asimtotik. Metode ini menghilangkan bias asimtotik yang kecil dalam estimator FamaRoll dari parameter dan ; pada waktu yang sama ini mengurangi keterbatasan pada dan .

2.5.1.2.1 Estimasi untuk dan

Misalkan dipunyai independen dari distribusi stable , parameter tersebut akan diestimasi. Dipunyai merupakan quantil populasi ke- , sehingga . Dipunyai ̂ merupakan quantil sampel, yang sesuai tepat untuk kekontinuan. Jika urutannya tersusun naik, ̂ merupakan estimator konsisten untuk . Didefinisikan 2.33 Indeks ini independen terhadap dan . Tabulasi nilai sebagai suatu fungsi ada pada Lampiran 1 Tabel 1. Dipunyai ̂ menjadi nilai sampel yang bersesuai yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 2.34 ̂ merupakan estimator konsisten dari indeks . Didefinisikan 2.35 Dipunyai ̂ menjadi nilai sampel yang bersesuaian, yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 2.36 Sama seperti , juga tidak bergantung pada salah satu atau . Tabulasi fungsi ada pada Lampiran 1 Tabel 2. ̂ merupakan estimator konsisten dari indeks Hubungan dapat dibalik untuk menghasilkan hubungan , Parameter dan dapat diestimasi oleh ̂ ̂ ̂ , ̂ ̂ ̂ Tabel 3 dan Tabel 4 lihat Lampiran 1 menunjukan dan sebagai fungsi dan . Dengan sampel berhingga, dapat terjadi bahwa ̂ mungkin kurang dari nilai terkecil yang diizinkan yaitu 2.439, dan oleh karena itu akan keluar dari skala pada Table 3 lihat Lampiran 1. Pada kasus ini ̂ harusnya diatur sama dengan 2.0 dan ̂ mungkin diatur secara paksa ke signum ̂ . Standart Error SE dari estimator McCulloch dinyatakan sebagai ̂ ̂ √ 2.37 dengan merupakan Normalized Asymptotic Standart Deviations of Parameter Estimates, dan merupakan ukuran sampel. Lebih lengkap lihat Lampiran 1 Tabel 5.

2.5.1.3 Estimator Hint

Estimator yang baru dikembangkan oleh Mittnik dan Paolella 1999 dimana seperti McCulloch, didesain untuk memperjelas data berdistribusi stable, akan tetapi berdasarkan fungsi estimasi Hill untuk suatu nilai dalam estimator ini, dinyatakan sebagai Hill-intercept atau ̂ . Telah ditemukan bahwa keduanya perpotongan dan kemiringan penaksir linear ini bisa digunakan untuk memperoleh ketepatan estimasi tertinggi. Bentuk dari estimatornya adalah ̂ ̂ ̂ 2.38 dimana ̂ merupakan perpotongan dalam regresi linear sederhana dari ̂ pada , dimana elemen dari sedemikian sehingga dalam langkah maksimum . ̂ 2.39 melalui grafik koefisien untuk perpotongan ̂ , dalam Mittnik dan Paolella 1999, Gambar 2 seperti disajikan pada Gambar 2.1 diperoleh Gambar 2.1 Koefisien untuk Perpotongan ̂ diperoleh ̂ ̂ ̂ 2.40 Tidak seperti estimator McCulloh, ̂ baru diaplikasikan untuk simetri, stable Paretian dengan lokasi sama dengan nol, dengan dan rataan sama dengan nol, tetapi skalanya invarians . ̂ ̂ 2.41 dengan . Untuk menentukan bahwa suatu estimator merupakan estimator yang baik, dapat digunakan beberapa kriteria salah satunya kriteria Mean Squared Error MSE. Dalam Dekking et al. 2005, definisi dari MSE dinyatakan sebagai berikut. Definisi 2.5.1. Dipunyai suatu estimator dari suatu parameter . Mean Squared Error dari adalah bilangan . Berdasarkan kriteria Mean Squared Error MSE, estimator lebih baik daripada estimator jika .

2.6 R Studio Version 0.97.318 dengan R i386 2.15.3

R Studio merupakan semacam alat pendukung dalam penggunaaan program R yang masing-masing secara bebas beredar di internet, dengan menggunakan R Studio beberapa pekerjaan yang belum bisa dilakukan di R dapat dilakukan di R Studio misal mendefinisikan fungsi sendiri melaui R script, menyimpan fungsi tersebut dan menggunakannya kembali. Menggunakan R Studio dengan interface yang lebih baik dapat mempermudah penggunanya daripada menggunakan R secara langsung.

2.6.1 Interface R Studio

Gambar 2.2 merupakan interface dalam program R Studio yang masing- masing bagian dapat dilihat pada Gambar 2.3, Gambar 2.4, Gambar 2.5, Gambar 2.6, dan Gambar 2.7. Gambar 2.2 Interface R Studio 1 2 3 4 5