Error MSE. Estimator yang digunakan adalah estimator McCulloch, estimator Hill, dan estimator Hint.
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana menentukan estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE
minimum dan banyaknya sampel optimum?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Untuk menentukan estimator parameter
terbaik dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum.
1.4 Manfaat Penelitian
Melalui tulisan ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam pengenalan dan pemahaman tentang model distribusi stable, karena model
distribusi stable sendiri memberikan ruang yang lebih luas dalam penggunaannya sehingga mampu memberikan solusi lain dalam penyelesaian suatu masalah
statistika dalam kehidupan nyata.
1.5 Sistematika Penulisan
Skripsi ini terbagi atas lima bab. Bab 1 berisi pendahuluan. Bab 2 landasan teori yang berisi teori konsep-konsep dasar probabilitas dan statistika serta
karakteristik distribusi stable yang digunakan dalam pembahasan bab selanjutnya. Bab 3 berisi metodologi penelitian. Bab 4 berisi pembahasan menentukan
estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya
sampel optimum. Bab 5 berisi simpulan yang diperoleh dari pembahasan dalam bab 4 disertai saran.
10
BAB 2
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini dipaparkan berbagai teori pendukung berkaitan dengan fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi, fungsi karakteristik, distribusi normal,
distribusi cauchy dan distribusi stable.
2.1 Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang
2.1.1 Fungsi Distribusi
Untuk suatu variabel random , didefinisikan himpunan fungsi
. Maka adalah fungsi peluang karena
untuk setiap , , dan jika
dengan .
Jelas , yang juga setiap pasangannya disjoin dan ⋃
⋃ . Oleh karena itu
⋃ ⋃
⋃
∑
∑
disebut sebagai distribusi peluang dari variabel random . Dengan
memilih menjadi , dipunyai
. Dari sini didefinisikan fungsi yang disebut sebagai fungsi distribusi
dari . Jadi bila diketahui
maka dapat ditentukan nya dan berlaku
sebaliknya Roussas, 2003:33-34. Fungsi distribusi dari variabel random
memiliki beberapa sifat dasar, yaitu:
Sifat 2.1.1. Roussas, 2003:34
i untuk setiap ;
ii fungsi tak turun;
iii kontinu dari kanan; dan
iv .
2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang
Dipunyai variabel random diskrit dan ambil nilai
. Pilih {
} dan pada himpunan definisikan fungsi
dengan {
}. Selanjutnya, perpanjang atas seluruh
dengan menetapkan untuk
. Kemudian untuk setiap , jelas bahwa
∑ untuk
. Khususnya,
∑ ∑
. Dalam Roussas 2003, fungsi yang telah
didefinisikan tersebut disebut sebagai fungsi kepadatan peluang dari variabel random
.
Dengan memilih untuk suatu , dipunyai
∑ . Misalkan dipunyai titik
.
2.1 dengan
. Dipunyai
variabel random kontinu, pilih semua nilai dalam interval berhingga ataupun tidak berhingga dalam
, sehingga dengan . Dipunyai sifat
∫ . Khususnya,
∫ 2.2
Jika tidak semuanya elemen , perpanjang
dari dengan mengatur
untuk . Jadi untuk semua , dan
∫ . Berakibat
∫ dan khususnya,
∫ ∫
2.3 Fungsi
dengan sifat: untuk semua dan
∫ , merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel random
Roussas, 2003:34-36. Dalam Hogg Craig 1978:23 fungsi kepadatan peluang didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi 2.1.2. Dipunyai
dinotasikan sebagai suatu variabel random dengan ruang berdimensi satu yaitu
. Misalkan ruang adalah suatu himpunan titik-
titik yang berhingga dalam setiap interval berhingga. Misalkan himpunan disebut himpunan titik-titik diskrit. Dipunyai fungsi
dengan , dan
∑
Bagaimanapun peluang dengan , dapat dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut. ∑
Dipunyai himpunan berdimensi satu yaitu sehingga integral Riemann
∫
dengan , dan
memiliki paling banyak suatu bilangan berhingga kontinu dalam setiap interval berhingga yang merupakan subset dari
. Jika merupakan ruang variabel random dan jika peluang ,
dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.
∫
Maka disebut fungsi kepadatan dari variabel random .
Dalam Aunon Chandrasekar 1997, fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai turunan dari fungsi distribusi untuk
kontinu.
2.4
Jika variabel random diskrit maka fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai {
2.5 Jadi dapat dituliskan, untuk setiap
{ ∑
∫ 2.6
atau, lebih umum
{ ∑
∫ 2.7
Teorema 2.1.3. Stone, 1996:62 Dipunyai
, dimana . Maka fungsi distribusi dari
dinyatakan sebagai
Fungsi kepadatannya dinyatakan sebagai
dan untuk yang lain, dan kuantil ke- dinyatakan sebagai
.
Bukti.
Dipunyai , ,
.
Jadi
berakibat merupakan fungsi kontinu dari .
Jelas Kuantil ke-
dari yaitu adalah penyelesaian yang unik untuk
. Karena terdapat secara unik yang memenuhi persamaan
, berakibat . Jadi
2.2 Fungsi Karakteristik
Berawal dari suatu tranformasi integral yang dijelaskan dalam Lukacs 1970 yaitu Integral Lebesgue-Stieltjes yang didefiniskan dengan
∫ 2.8
Kondisi untuk menentukan adanya integral ini tentu sangat penting. Ada beberapa kemungkinan pilihan untuk
.
1. .
2. | |
. 3.
. 4.
. 5.
. 6.
√ .
Dalam kasus 4, 5, dan 6 parameter adalah suatu nilai real dan variabel
kontinu. Transfomasi 1, 2, dan 3 mentransformasikan fungsi distribusi
kedalam suatu barisan dengan syarat integralnya ada. ∫
2.9 disebut sebagai aljabar momen ke-
dari atau lebih singkatnya momen ke-
dari .
∫| | 2.10
disebut momen mutlak ke- dari
. Momen faktorial
∫ 2.11
jarang digunakan. Kernel 4, 5, dan 6 mentransformasikan fungsi distribusi
kedalam fungsi variabel real
. Fungsinya adalah
∫ 2.12
dan ini merupakan asal usul dari fungsi pembangkit momen. Kernel 5 hanya digunakan ketika
murni distribusi tak kontinu yang semua nilai variabel
memiliki lompatan pada bilangan bulat tak negatif. Dari kasus ini diperoleh fungsi pembangkit peluang
∫ ∑
2.13 dengan
∑
Disini adalah saltus lompatan dari
pada titik bilangan bulat tak negatif. Fungsi pembangkit peluang diperkenalkan oleh Laplace, fungsi
ini jarang digunakan. Substitusi 6 dalam persamaan 2.8. Diperoleh
∫ 2.14
Transformasi ini yang disebut sebagai fungsi karakteristik fungsi distribusi .
Dalam Uchaikin dan Zolotarev 1999:69, didefinisikan fungsi karakteristik sebagai berikut:
Definisi 2.2.1. Fungsi bernilai kompleks
2.15 disebut sebagai fungsi karakteristik dari variabel real
. Dengan
suatu variabel bernilai real. Jika fungsi kepadatan peluang ada,
2.15 transformasi fouriernya berbentuk
∫ 2.16
Invers transformasi fouriernya adalah
∫ 2.17
2.3 Distribusi Kontinu
