∫ 2.16
Invers transformasi fouriernya adalah
∫ 2.17
2.3 Distribusi Kontinu
2.3.1 Distribusi Normal
Zwilinger dan Kokoska 1957 fungsi karakteristik variabel random dengan parameter
dalam hal ini merupakan mean rataan dan parameter
merupakan standard deviasi dinyatakan sebagai berikut.
Stone 1996:148 menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random
√
Bukti.
Dipunyai integral ∫
Integral ini ada karena integrand nya merupakan suatu fungsi kontinu positif yang dibatasi oleh suatu fungsi integrable; yaitu,
| |
dan
∫ | |
Untuk menilai integral , perhatikan dan bahwa
dituliskan sebagai:
∫ ∫
Misal dan , diperoleh
∫ ∫
∫
Berakibat √ dan
∫
√ ∫
∫ √
Diperkenalkan variabel integrasi , dengan
sehingga
∫ √
∫ √
Oleh sebab , berakibat
√
memenuhi syarat untuk menjadi fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel random bertipe kontinu. Variabel random bertipe kontinu yang memiliki fungsi
kepadatan peluang disebut berdistribusi normal dalam Hogg dan Craig
1978. Selanjutnya menentukan fungsi pembangkit momen untuk distribusi
normal.
∫
∫ √
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
∫ √
Jelas [
]
[ ]
Jadi .
Jelas [
]
[ ]
Jadi
Jadi dapat dituliskan dengan
merupakan mean dan merupakan
varian.
2.3.2 Distribusi Normal Standar
Stone 1996:146 menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random berdistribusi normal standar.
√ Dinotasikan sebagai
Bukti.
Dipunyai variabel random .
Jelas variabel random mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai
berikut.
√
√ Fungsi pembangkit momen dari variabel random
dapat dinyatakan sebagai:
∫
∫ √
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
∫ √
Jelas [
]
[ ]
Jadi Jadi mean dari variabel random
adalah .
Jelas [
]
[ ]
Jadi
Jadi varian dari variabel random adalah sebagai berikut.
Kelebihan distribusi normal didukung dengan keberadaan teorema limit pusat, dalam Roussas 2003:210 dinyatakan sebagai berikut.
Teorema 2.3.1. Dipunyai
variabel random yang saling bebas stokastik dengan
berhingga dan positif berhingga, dan dipunyai
̅ rataan sampel
dari . Maka:
̅ ̅
√ ̅ ̅
√ √ ̅
⇒
selama atau
√ ̅ → ∫
√
2.3.3 Distribusi Cauchy Standar
Kategori