Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur Logika Kabur

19

C. Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur

Definisi 2.31 Suatu pemetaan [ ] [ ] 1 , 1 , : → k disebut komplemen kabur jika memenuhi aksioma sebagai berikut: 1. 1 dan 1 = = k k syarat batas 2. [ ] 1 , , semua untuk maka , Jika ∈ ≥ y x y k x k y x syarat taknaik Suatu kelas pemetaan yang merupakan komplemen kabuar adalah kelas Sugeno yang didefinisikan sebagai berikut: x x x k λ λ + − = 1 1 dengan parameter ∞ − ∈ , 1 λ . Untuk setiap nilai parameter λ diperoleh suatu komplemen kabur. Untuk = λ , diperoleh operasi komplemen baku, yaitu x x k − = 1 , di mana x adalah derajat keanggotaan suatu elemen dalam suatu himpunan kabur A ~ dan x k adalah derajat keanggotaan elemen tersebut dalam himpunan kabur A′ ~ komplemen dari himpunan kabur A ~ . Definisi 2.3.2 Suatu pemetaan [ ] [ ] [ ] 1 , 1 , 1 , : → × s disebut gabungan kabur norma-s jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut: 1. x x s x s = = , , dan 1 1 , 1 = s syarat batas 20 2. x y s y x s , , = syarat komutatif 3. Jika x x ′ ≤ dan y y ′ ≤ , maka y x s y x s ′ ′ ≤ , , untuk semua [ ] 1 , , ∈ y x syarat takturun 4. z y s x s z y x s s , , , , = syarat asosiatif Operasi gabungan baku, yaitu { } y x y x s , max , = , merupakan norma-s. Definisi 2.3.3 Suatu pemetaan [ ] [ ] [ ] 1 , 1 , 1 , : → × t disebut irisan kabur norma-t jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut: 1. x x t x t = = , 1 1 , dan , = t syarat batas 2. x y t y x t , , = syarat komutatif 3. Jika x x ′ ≤ dan y y ′ ≤ , maka y x t y x t ′ ′ ≤ , , untuk semua [ ] 1 , , ∈ y x syarat takturun 4. z y t x t z y x t t , , , , = syarat asosiatif Operasi irisan baku, yaitu { } y x y x t , min , = , merupakan suatu norma-t. Contoh-contoh lain dari norma-t adalah sebagai berikut: a. Darab aljabar: xy y x t da = , b. Darab Einstein: xy y x xy y x t de − + − = 2 , c. Darab drastis: = = = lainnya jika 1 jika 1 jika , x y y x y x t dd 21

D. Logika Proposisi

Logika proposisi mempelajari penalaran manusia dengan menggunakan proposisi yaitu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah. Logika yang hanya mengenal dua nilai kebenaran ini juga disebut logika dwinilai. Suatu proposisi disebut proposisi atomik bila proposisi itu memuat proposisi lain sebagai komponennya. Contoh 4.1 • Matahari terbit pada pagi hari • Bilangan 5 habis dibagi 2 Proposisi atomik dapat disajikan dengan menggunakan lambang huruf kecil, seperti a, b, c, dst. Apabila lambang-lambang huruf itu menyajikan proposisi yang tidak tertentu, maka lambang itu disebut variabel proposisiSusilo, 2003.

2.4.1 Perangkai Logis

Semua proposisi bukan atomik merupakan proposisi majemuk dan semua proposisi majemuk memiliki minimal satu perangkai logis. Perangkai logis yang hanya melibatkan satu proposisi atomik disebut perangkai uner, sedangkan perangkai logis yang melibatkan dua proposisi atomik disebut perangkai biner. Ada lima buah perangkai logis yang akan dibahas, yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. 22

2.4.1.1 Negasi

Negasi dari proposisi lain adalah proposisi yang diperoleh dengan menambahkan kata “tidak” atau menyisipkan kata “bukan” pada proposisi semula. Negasi dari suatu proposisi p disajikan dengan lambang p ¬ . Contoh 2.4.1.1 R x x p ∈ ≥ = , 2 maka R x x p ∈ = ¬ , 2 atau = ¬ p tidak benar bahwa R x x ∈ ≥ , 2 Definisi 2.4.5 Jika p suatu proposisi maka proposisi “tidak p ” mempunyai nilai kebenaran “salah” bila proposisi semula bernilai “benar” atau sebaliknya. Tabel 2.4.1.1 Tabel Nilai Kebenaran Negasi p p ¬ 1 1

2.4.1.2 Konjungsi

Konjungsi dua buah proposisi adalah proposisi yang diperoleh dengan menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata perangkai “dan”. Perangkai “dan” disajikan dengan “ ∧ “. 23 Contoh 2.4.1.2 3 = p adalah bilangan prima ganjil 2 = q adalah bilangan prima genap maka = ∧ q p 3 adalah bilangan prima ganjil dan 2 adalah bilangan prima genap. Definisi 2.4.6 Jika p dan q adalah dua buah proposisi maka proposisi majemuk “ q dan p ” bernilai “benar” bila keduanya bernilai benar. Tabel 2.4.1.2 Tabel Nilai Kebenaran Konjungsi p p ¬ q p ∧ 1 1 1 1 1

2.4.1.3 Disjungsi

Disjungsi dua buah proposisi adalah proposisi yang diperoleh dengan menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata perangkai “atau” dan disajikan dengan lambang “ ∨ ”. Contoh 2.4.1.3 7 = p merupakan bilangan prima 24 7 = q merupakan bilangan ganjil maka 7 = ∨ q p merupakan bilangan prima atau bilangan ganjil Definisi 2.4.7 Jika p dan q adalah dua buah proposisi maka proposisi majemuk “ q atau p ” bernilai “benar” bila sekurang-kurangnya salah satu dari kedua proposisi itu bernilai benar. Tabel 2.4.1.3 Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi p p ¬ q p ∨ 1 1 1 1 1 1 1

2.4.1.4 Implikasi

Implikasi dua buah proposisi adalah proposisi yang diperoleh dengan menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata perangkai “jika … maka … if … then …” dan disajikan dengan lambang “ q p → ”. Proposisi “ p ” disebut dengan anteseden sedangkan proposisi “ q ” konsekuen. Contoh 2.4.1.4 = p persamaan kuadrat 2 = + + c bx ax mempunyai akar-akar real. 25 4 2 − = ac b q . = → q p jika persamaan kuadrat 2 = + + c bx ax mempunyai akar-akar real maka 4 2 − ac b . Definisi 2.4.8 Jika p dan q adalah dua buah proposisi maka suatu implikasi bernilai “benar” bila antesedennya bernilai salah atau konsekuennya bernilai benar. Tabel 2.4.1.4 Tabel Nilai Kebenaran Implikasi p q q p → 1 1 1 1 1 1 1

2.4.1.5 Biimplikasi

Biimplikasi dua buah proposisi adalah proposisi yang diperoleh dengan menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata perangkai “…jhj…“ dan disajikan dengan lambang “ q p ↔ ”. Contoh 2.4.1.5 = p dua garis saling berpotongan tegak lurus. = q dua garis saling membentuk sudut 90 . 26 Maka q p ↔ adalah dua garis saling berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika kedua garis itu saling membentuk sudut 90 . Definisi 2.4.9 Jika p dan q adalah dua buah proposisi maka proposisi majemuk “ q jika hanya dan jika p ”bernilai “benar” jika kedua proposisi bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Tabel 2.4.1.5 Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi p q q p ↔ 1 1 1 1 1 1

E. Logika Kabur

Logika yang biasanya kita pakai dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam penalaran ilmiah, yaitu logika dimana setiap proposisi pernyataan mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu nilai benar atau nilai salah dan tidak kedua-duanya Susilo, 2003. Yang menjadi dasar dari logika kabur adalah logika dengan tak berhingga banyak nilai kebenaran yang dinyatakan dengan bilangan real dalam selang [ ] 1 , . 27 Definisi 2.5.1 Variabel linguistik adalah variabel yang nilainya bukan merupakan bilangan tetapi kata-kata atau kalimat-kalimat dalam bahasa sehari-hari. Variabel linguistik ditentukan oleh suatu rangkap-5 M G X T x , , , , di mana x adalah lambang variabelnya, T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang dapat menggantikan x , X adalah semesta numeris dari nilai-nilai linguistik dalam T , G adalah himpunan aturan-aturan sintakis yang mengatur pembentukan istilah- istilah anggota T , dan M adalah himpunan aturan-aturan simantik yang mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur dalam semesta X Susilo, 2003. Contoh 2.5.1 Kecepatan sebuah mobil adalah variabel x yang mempunyai interval [ ] max , 0 V , dimana max V adalah kecepatan maksimum mobil tersebut. Kita tentukan 3 himpunan kabur “lambat”, “sedang”, dan “cepat” dalam [ ] max , 0 V seperti pada gambar 2.4.1. Jika kita lihat x sebagai variabel linguistik, maka “lambat”, “sedang”, dan “cepat” juga sebagai variabel linguistik. Maka bisa dikatakan “ x adalah lambat”, “ x adalah sedang”, dan “ x adalah cepat”. X dapat diambil di dalam interval [ ] max , 0 V , contohnya = x 50 mph, 35 mph, dan sebagainya. 28 Contoh 2.5.2 Bila variabel linguistik adalah “umur”, maka sebagai himpunan nilai-nilai linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah = T {muda, sangat muda, agak muda, tidak muda, tidak sangat muda, tidak muda dan tidak tua, agak tua, tua, tidak sangat tua, sangat tua}, dengan semesta [ ] 100 , = X , aturan semantik yang mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur dalam semesta X . Definisi 2.5.2 Pengubah linguistik adalah suatu kata yang dipergunakan untuk mengubah suatu kataistilah menjadi kataistilah yang baru dengan makna yang baru pula. Dua peubah linguistik yang paling sering dipakai adalah “sangat” dan “agak”. Contoh 2.5.3 Misalkan { } 5 , , 2 , 1 = X dan himpunan kabur kecil didefinisikan 5 2 . 4 4 . 3 6 . 2 8 . 1 1 + + + + = kecil slow medium fast Speed of car mph V max 75 55 35 1 Gambar 2.5.1 Kecepatan mobil 29 Maka menurut definisi diatas 5 04 . 4 16 . 3 36 . 2 64 . 1 1 + + + + = kecil sangat 5 0016 . 4 0256 . 3 1296 . 2 4096 . 1 1 + + + + = = kecil sangat sangat kecil sangat sangat 5 4472 . 4 6325 . 3 7746 . 2 8944 . 1 1 + + + + = kecil agak Definisi 2.5.3 Misal A himpunan kabur dalam X , maka A sangat adalah himpunan kabur dalam X dengan fungsi keanggotaan [ ] 2 x x A A sangat µ µ = Definisi 2.5.4 Misal A himpunan kabur dalam X , maka A agak adalah himpunan kabur dalam X dengan fungsi keanggotaan [ ] 2 1 x x A A agak µ µ =

F. Relasi Kabur