29 Maka menurut definisi diatas
5 04
. 4
16 .
3 36
. 2
64 .
1 1
+ +
+ +
= kecil
sangat
5 0016
. 4
0256 .
3 1296
. 2
4096 .
1 1
+ +
+ +
= =
kecil sangat
sangat kecil
sangat sangat
5 4472
. 4
6325 .
3 7746
. 2
8944 .
1 1
+ +
+ +
= kecil
agak
Definisi 2.5.3
Misal A himpunan kabur dalam X , maka A
sangat adalah himpunan kabur
dalam X dengan fungsi keanggotaan
[ ]
2
x x
A
A sangat
µ µ
=
Definisi 2.5.4
Misal A himpunan kabur dalam X , maka A
agak adalah himpunan kabur dalam
X dengan fungsi keanggotaan
[ ]
2 1
x x
A
A agak
µ µ
=
F. Relasi Kabur
Definisi 2.6.1
Misalkan Y
X R
× ⊆
1
dan Z
Y R
× ⊆
2
adalah dua buah relasi tegas. Komposisi relasi tegas
1
R dan
2
R yang dinotasikan dengan
2 1
R R
, didefinisikan sebagai relasi
30 Z
X R
R ×
⊆
2 1
sedemikian sehingga
2 1
, R
R z
x ∈
bila dan
hanya bila
terdapat Y
y ∈
sedemikian sehingga
1
, R
y x
∈ dan
2
, R
z y
∈ .
Definisi 2.6.2
Relasi kabur R ~
adalah relasi antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y yang didefinisikan sebagai bagian
kabur dari darab Cartesius Y
X × , dapat dinyatakan dengan
{ }
Y X
y x
y x
y x
R
R
× ∈
= ,
, ,
, ~
~
µ .
Jika Y
X =
, maka R ~
disebut relasi kabur pada himpunan X .
Contoh 2.6.1
Misalkan
{ }
{ }
119 ,
27 ,
1 ,
205 ,
78 ,
31 =
= Y
X dan R
~ adalah relasi kabur “jauh
lebih besar dari” antara elemen-elemen X dan Y maka
119 ,
205 4
. 27
, 205
7 .
1 ,
205 9
. 27
, 78
3 .
1 ,
78 5
. 27
, 31
1 .
1 ,
31 3
. ~
+ +
+ +
+ +
= R
Contoh 2.6.2
Relasi kabur “hampir sama” antara bilangan-bilangan real dapat dinyatakan dengan
{ }
R R
y x
e y
x y
x R
y x
R
× ∈
= =
− −
, ,
, ,
~
2 1
~ 1
µ Sedangkan relasi kabur “jauh lebih besar” antara bilangan-bilangan real dapat
dinyatakan dengan
31 ×
∈ +
= =
− −
R R
y x
e y
x y
x R
y x
R
, 1
1 ,
, ,
~
2
~ 2
µ
Definisi 2.6.3
Bila R ~
adalah suatu relasi kabur pada semesta Y
X × , maka invers dari R
~ yang
dinyatakan dengan
1
~
−
R , adalah relasi kabur pada semesta X
Y ×
dengan fungsi keanggotaan
y x
x y
R R
, ,
~ ~
1
µ µ
=
−
untuk setiap ∈
y x
, X
Y ×
. Maka
R R
~ ~
1 1
=
− −
untuk setiap relasi kabur R ~
. Bila himpunan X dan Y keduanya berhingga, maka relasi kabur R
~ antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam
himpunan Y dapat dinyatakan dalam bentuk suatu matriks berukuran m x n sebagai berikut
=
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a R
2 1
2 22
21 1
12 11
~
di mana
j i
R ij
y x
a ,
~
µ =
untuk m
i ,
, 2
, 1
= dan
n j
, ,
2 ,
1 =
.
32
Definisi 2.6.4
Jika
1
~ R adalah relasi kabur pada
Y X
× dan
2
~ R adalah relasi kabur pada
Z Y
× ,
maka komposisi relasi kabur
1
~ R dan
2
~ R , yang dinotasikan dengan
2 1
R R
, adalah relasi kabur pada
Z X
× dengan fungsi keanggotaan
z y
y x
t z
x
R R
Y y
R R
, ,
, sup
,
2 1
2 1
~ ~
~ ~
µ µ
µ
∈
= di mana t adalah suatu norma-t.
Definisi 2.6.5
Komposisi sup- min diperoleh jika operator “min” sebagai norma-t, maka
diperoleh relasi komposit
2 1
R R
dengan fungsi keanggotaan
{ }
z y
y x
z x
R R
Y y
R R
, ,
, min
sup ,
2 1
2 1
~ ~
~ ~
µ µ
µ
∈
=
Definisi 2.6.6 Komposisi sup-darab
diperoleh jika operator “darab aljabar” sebagai norma-t, maka diperoleh relasi komposit
2 1
R R
dengan fungsi keanggotaan
{ }
z y
y x
z x
R R
Y y
R R
, ,
, sup
,
2 1
2 1
~ ~
~ ~
µ µ
µ
∈
=
Contoh 2.6.3
Misalkan
{ }
{ }
119 ,
27 ,
1 ,
205 ,
78 ,
31 =
= Y
X dan
{ }
94 ,
225 ,
10 =
Z , dan relasi
kabur
1
~ R
, adalah relasi “jauh lebih besar” antara elemen-elemen dalam X dengan Y
dengan matriks sebagai berikut
33 =
4 .
7 .
9 .
. 3
. 5
. .
1 .
3 .
~
1
R
Dan
2
~ R adalah relasi kabur “jauh lebih kecil” antara elemen-elemen dalam
Y dengan Z dengan matriks sebagai berikut
= .
5 .
. 3
. 8
. .
5 .
9 .
1 .
~
2
R
Jika menggunakan komposisi sup-min, diperoleh
{ }
10 ,
, ,
31 min
sup 10
, 31
2 1
2 1
~ ~
~ ~
y y
R R
Y y
R R
µ µ
µ
∈
=
{ }
{ }
{
, 10
, 27
, 27
, 31
min ,
10 ,
1 ,
1 ,
31 min
max
2 1
2 1
~ ~
~ ~
R R
R R
µ µ
µ µ
=
{ }
10 ,
119 ,
119 ,
31 min
2 1
~ ~
R R
µ µ
} {
} {
} {
} {
}
. ,
. min
, .
, 1
. min
, 1
. ,
3 .
min max
=
{ }
. ,
. ,
1 .
max =
1 .
= Relasi kabur komposit
2 1
R R
dengan komposisi sup-min dapat disajikan dengan matriks sebagai berikut
= =
5 .
9 .
1 .
5 .
5 .
1 .
3 .
3 .
1 .
. 5
. .
3 .
8 .
. 5
. 9
. 1
. 4
. 7
. 9
. .
3 .
5 .
. 1
. 3
. ~
~
2 1
R R
Jika menggunakan komposisi sup-darab, diperoleh
{ }
10 ,
, ,
31 sup
10 ,
31
2 1
2 1
~ ~
~ ~
y y
R R
Y y
R R
µ µ
µ
∈
=
{ }
10 ,
119 ,
119 ,
31 ,
10 ,
27 ,
27 ,
31 ,
10 ,
1 ,
1 ,
31 max
2 1
2 1
2 1
~ ~
~ ~
~ ~
R R
R R
R R
µ µ
µ µ
µ µ
=
34
{ }
. .
, .
1 .
, 1
. 3
. max
=
{ }
. ,
. ,
03 .
max =
03 .
= .
Relasi kabur komposit
2 1
R R
dengan komposisi sup-darab dapat disajikan dengan matriks sebagai berikut
= =
45 .
81 .
09 .
25 .
45 .
05 .
15 .
27 .
03 .
. 5
. .
3 .
8 .
. 5
. 9
. 1
. 4
. 7
. 9
. .
3 .
5 .
. 1
. 3
. ~
~
2 1
R R
.
G. Proposisi Kabur
