5
BAB II LANDASAN TEORI
A. Himpunan Kabur
Banyak situasi di dalam kehidupan sehari-hari yang kita jumpai terdefinisi secara tidak tegas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai,
himpunan orang yang tinggi, dan sebagainya. Misalnya, murid yang mempunyai nilai rata-rata 8 mempunyai derajat keanggotaan 0.9, yaitu
9 .
8 =
pandai
µ , dan murid yang mempunyai nilai rata-rata 6 mempunyai
derajat keanggotaan 0.5, yaitu 5
. 6
=
pandai
µ , dalam himpunan kabur
“pandai” tersebut. Teori himpunan kabur diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun
1965. Zadeh membuat suatu terobosan baru dengan memperluas konsep “himpunan” klasik menjadi himpunan kabur untuk mengatasi permasalahan
himpunan dengan batas yang tidak tegas itu. Zadeh juga mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-
unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu
disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan itu Susilo, 2003.
Definisi 2.1.1
Fungsi karakteristik dari suatu himpunan A adalah suatu fungsi dari himpunan
semesta X ke himpunan
{ }
1 ,
yang dinyatakan dengan
6
{ }
1 ,
: →
X
A
χ
Definisi 2.1.2
Himpunan kabur adalah himpunan di mana nilai fungsi karakteristik untuk tiap
elemennya ada di dalam selang tertutup
[ ]
1 ,
.
Definisi 2.1.3
Diberikan himpunan semesta X . Suatu himpuanan kabur A ~
dalam semesta X adalah pemetaan
A ~
µ dari X ke selang
[ ]
1 ,
, yaitu
[ ]
1 ,
:
~
→ X
A
µ dimana nilai fungsi
x
A ~
µ menyatakan derajat keanggotaan unsur
X x
∈ dalam
himpunan kabur A
~ .
Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, dan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan samasekali bukan anggota himpunan kabur
tersebut. Jadi fungsi keanggotaan dari suatu himpunan tegas A dalam semesta X adalah pemetaan dari X ke himpunan
{ }
1 ,
, yang tidak lain daripada fungsi karakteristik
A
χ , yaitu:
∉ ∈
= A
x A
x x
A
jika jika
1 χ
Suatu himpunan kabur A ~
dalam semesta pembicara X dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut
{ }
X x
x x
A
A
∈ =
~
, ~
µ
7 dimana
A ~
µ adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur A ~
, yang merupakan suatu pemetaan dari himpunan semesta X ke selang tertutup
[ ]
1 ,
. Apabila semesta X adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur
A ~
seringkali dinyatakan dengan: x
x A
X x
A ∈
=
~
~ µ
dimana tanda pengintegralan bukan notasi pengintegralan seperti yang dikenal dalam kalkulus, melainkan menyatakan himpunan semua unsur
X x
∈ bersama
dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A ~
.
Contoh 2.1.1
Misalkan A adalah himpunan bilangan asli yang dekat dengan 10, dimana R adalah himpunan bilangan asli dari
15 1
≤ ≤ r
dan himpunan kabur A ~
merupakan himpunan bilangan real yang dekat dengan 10 yang dapat dinyatakan sebagai
= −
+ =
∈
x x
A
R x
2
10 1
1 ~
14 1
. 13
1 .
12 2
. 11
5 .
10 1
9 5
. 8
2 .
7 1
. 6
1 .
+ +
+ +
+ +
+ +
=
Dalam penyajian himpunan kabur, derajat keanggotaan 0 biasanya tidak dituliskan.
Apabila semesta X adalah himpunan yang diskret, maka himpunan kabur A
~ seringkali dinyatakan dengan:
8 x
x A
X x
A ∈
=
~
~ µ
dimana tanda sigma bukan menyatakan operasi jumlahan seperti yang dikenal dalam aritmatika, tetapi menyatakan himpunan semua unsur
X x
∈ bersama
dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A ~
.
Contoh 2.1.2
Dalam semesta
{ }
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 ,
, 1
, 2
, 3
, 4
, 5
− −
− −
− =
X dimana
X adalah
himpunan bilangan bulat dari 5
5 ≤
≤ −
x , himpunan kabur A
~ adalah himpunan
bilangan bulat yang dekat dengan nol yang dapat dinyatakan sebagai x
x A
X x
A ∈
=
~
~ µ
= = 0-5 + 0.1-4 + 0.3-3 + 0.5-2 + 0.7-1 + 10 + 0.71 + 0.52 + 0.33 + 0.14 +
05
Contoh 2.1.3
Diberikan himpunan kabur A ~
dengan fungsi keanggotaan didefinisikan sebagai berikut :
≤ ≤
− ≤
≤ ≤
≤ −
≤ ≤
≤ ≤
= 60
45 jika
15 60
45 35
jika 1
35 20
jika 15
20 100
60 atau
20 jika
~
x x
x x
x x
x x
A
µ
9 Maka grafik fungsi keanggotaannya dilukiskan sebagai berikut :
Gambar 2.1.1. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur
A ~
Definisi 2.1.4
Pendukung support dari suatu himpunan kabur A
~ adalah himpunan tegas yang
memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai derajat keanggotaan taknol dalam A
~ , yaitu
{ }
~
~
∈ =
x X
x A
Pend
A
µ .
Definisi 2.1.5
Tinggi height dari suatu himpunan kabur A
~ didefinisikan sebagai
{ }
x A
Tinggi
A X
x ~
sup ~
µ
∈
= .
Definisi 2.1.6
Pusat dari suatu himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut :
10 •
Jika nilai purata pusat rata-rata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai nilai maksimum adalah
berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata pusat rata- rata tersebut.
• Jika nilai purata itu takhingga positif negatif, maka pusat himpunan
kabur itu adalah yang terkecil terbesar di antara semua titik yang mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.
Definisi 2.1.7
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu
R c
b a
∈ ,
, dengan
c b
a , dan
dinyatakan dengan c
b a
x Segitiga
, ,
; dengan aturan :
≤ ≤
− −
≤ ≤
− −
= lainnya
untuk untuk
untuk c
b, a,
x; Segitiga
c x
b b
c x
c b
x a
a b
a x
Fungsi keanggotaan tersebut juga bisa dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut :
. ,
, min
max ,
, ;
− −
− −
= b
c x
c a
b a
x c
b a
x Segitiga
11
Definisi 2.1.8
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium jika mempunyai empat buah parameter, yaitu
R d
c b
a ∈
, ,
, dengan
d c
b a
, dan dinyatakan dengan
d c
b a
x Trapesium
, ,
, ;
dengan aturan :
≤ ≤
− −
≤ ≤
≤ ≤
− −
= lainnya
untuk untuk
untuk 1
untuk ,
, ,
; d
x c
c d
x d
c x
b b
x a
a b
a x
d c
b a
x Trapesium
Fungsi keanggotaan tersebut juga bisa dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut :
. ,
, 1
, min
max ,
, ,
; −
− −
− =
c d
x d
a b
a x
d c
b a
x Trapesium
a b
c 1
R
Gambar 2.1.2. Fungsi Keanggotaan Segitiga
c b
a x
, ,
;
12
B. Operasi pada Himpunan Kabur
Kategori