Studi Aplikasi Cpm Dengan Program Linier Untuk Optimisasi Biaya Jaringan Kerja

(1)

STUDI APLIKASI CPM DENGAN PROGRAM LINIER

UNTUK OPTIMISASI BIAYA JARINGAN KERJA

SKRIPSI

BETARINA THERESIA PERANGIN-ANGIN

080803063

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

(2)

STUDI APLIKASI CPM DENGAN PROGRAM LINIER UNTUK OPTIMISASI BIAYA JARINGAN KERJA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

BETARINA THERESIA PERANGIN-ANGIN 080803063

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2012

(3)

PERSETUJUAN

Judul : STUDI APLIKASI CPM DENGAN PROGRAM

LINIER UNTUK OPTIMISASI BIAYA JARINGAN KERJA

Kategori : SKRIPSI

Nama : BETARINA THERESIA PERANGIN-ANGIN

Nomor Induk Mahasiswa : 080803063

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Agustus 2012 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Agus Salim Harahap, M.Si. Dr. Esther Sorta M. Nababan, M.Sc.

NIP. 195408281981031004 NIP. 196103181987112001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si., Ph.D. NIP 19620901 198803 1 002

(4)

PERNYATAAN

STUDI APLIKASI CPM DENGAN PROGRAM LINIER UNTUK OPTIMISASI BIAYA JARINGAN KERJA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing- masing disebutkan sumbernya.

Medan, Agustus 2012

BETARINA THERESIA PERANGIN-ANGIN 080803063

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.

Penulisan skripsi ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan.

Dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Dr. Esther Sorta M. Nababan, M.Sc. selaku pembimbing I dan Drs. Agus Salim Harahap, M.Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Drs. Gim Tarigan dan Drs. Liling Perangin-angin, M.Si.selaku dosen penguji atau pembanding.

3. Prof. Drs. Tulus, Vordipl. Math, M.Si, Ph.D. dan Dra.Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika.

4. Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, dan pegawai di FMIPA USU.

6. Semua sahabat penulis Shanty Agustina Tambunan, Oshin Nathalia, Dina Maria Nadapdap, S. May Sartika yang selalu setia berjuang bersama dalam penyelesaian tulisan ini, masukan-masukan yang membangun dan pelajaran berharga yang sudah diberikan selama masa perkuliahan. Begitu juga untuk Sardes Malau, Novarita dan Anri Aruan yang mau menyediakan tempat untuk belajar dan menyelesaikan tulisan ini. Untuk Raja David yang mau menjadi tempat bertanya setiap saat.

7. Para alumni, senior dan junior matematika semuanya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

8. Terima kasih sebesar-besarnya kepada keluarga penulis terutama ibu Damaris Tarigan dan ayah Josua Perangin-angin atas doa dan dukungan moril yang

(6)

selalu ada untuk penulis. Abang Ade Prima yang selalu ada untuk membantu dalam dukungan material. Adik Abdiwa Agung yang selalu bersedia mengantarkan penulis berangkat ke kampus.

9. Para anggota mudika Gereja St. Fransiskus Asisi Padang Bulan Medan atas doa dan dukungan yang selalu ada untuk penulis khususnya Brian Tarigan.

Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis dapat menjadi berkat untuk semua pihak.

Medan, Agustus 2012 Penulis

BETARINA THERESIA 080803063

(7)

ABSTRAK

Proyek pembangunan dikatakan baik bila mempunyai perencanaan yang baik. Salah satu perencanaan yang dapat dilakukan adalah dengan membuat jaringan kerja terlebih dahulu. Metode yang dipakai dalam tulisan ini untuk mencari jalur kritis adalah CPM. Kemudian percepatan dilakukan untuk mempersingkat waktu penyelesaian proyek, namun sebaiknya percepatan yang dilakukan mempunyai biaya seminimal mungkin. Maka dari itu digunakan program linier untuk memodelkan fungsi tujuan dan kendala-kendala dalam kasus ini kemudian mencari biaya yang optimal dengan metode simpleks. Dalam tugas akhir ini dihitung waktu dan biaya penyelesaian suatu proyek dimana waktu penyelesaian setiap kegiatan bersifat probabilistik. Metode yang digunakan adalah metode jalur kritis (CPM) dengan pendekatan Program Linier dalam menentukan biaya optimal setelah dilakukan percepatan. Hasil yang diperoleh adalah waktu normal yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut adalah 44 minggu dengan biaya normal. Melalui tabel distribusi normal diperoleh probabilitas selesainya proyek dalam 44 minggu adalah 84%. Untuk mempersingkat waktu penyelesaian proyek menjadi 40 minggu maka pemegang proyek dapat mempersingkat kegiatan memasang pipa bagian dalam 2 minggu dan membentuk papan gypsum dapat dipersingkat dalam 2 minggu. Biaya untuk menyelesaikan proyek dalam 40 minggu adalah $140,000.00.

(8)

APPLICATION STUDY CPM WITH LINEAR PROGRAMMING FOR OPTIMIZATION NETWORK COSTS

ABSTRACT

Development projects is said to be good when it has good plan. One of the stages in a plan to do is to create a network. The method used to find the critical path is the Critical Path Method. Then the acceleration done to shorten the project completion time with minimum cost. Therefore linear program is used to model the objective function and constraints in this case, followed by finding the optimal cost with simplex method. This final project is to calculate the time and cost of completing a project in which the completion time of each activity is probabilistic. The method used is the critical path method (CPM) with a Linear Program approach in determining the optimal cost after acceleration. The result shows the normal time required to complete the project is 44 weeks with normal cost. Obtained through the normal probability distribution table project completion in 44 weeks was 84%. To shorten project completion time to 40 weeks of the holder of the project activity to shorten the pipe installed in 2 weeks and can be shortened to form gypsum board in 2 weeks. The cost to complete the project in 40 weeks is $ 140,000.00.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

Daftar Gambar xi

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4Tujuan Penelitian 4

1.5 Kontribusi Penelitian 4

1.6 Metodologi Penelitian 4

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Analisa Perencanaan Proyek 6

2.2 Jaringan Kerja 8

2.3 Analisa Jaringan Kerja 9

2.4 Teknik-teknik Analisa Jaringan Kerja 10

2.4.1 Elemen jaringan kerja 14

2.4.2 Identifikasi Kegiatan Kritis 16

2.5 Nilai Harapan dan Variansi 17

2.6 Program Linier 18

2.6.1 Beberapa Pengertian dalam Program Linier 24

2.6.2 Metode Simpleks 29

2.6.3 LINDO 34

Bab 3 Pembahasan

3.1Gambaran Contoh Kasus 35

3.2Penyelesaian Jaringan Kerja 37

3.2.1 Perhitungan dengan CPM 37

3.3Menghitung Nilai Harapan dan Variansi 44

3.4Pertimbangan Waktu-Biaya 46

(10)

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 52

4.2 Saran 53

Daftar Pustaka 54

(11)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Daftar Rencana Kegiatan 13

Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks 29

Tabel 2.3 Simpleks Awal 32

Tabel 2.4 Iterasi 0 32

Tabel 2.5 Iterasi 1 33

Tabel 2.6 Iterasi 2 33

Tabel 3.1 Nama, Waktu dan Kegiatan yang Mendahului 36 Tabel 3.2 Perkiraan Waktu Optimis, Paling mungkin dan Pesimis 44 Tabel 3.3 Perkiraan Waktu Penyelesaian Proyek pada Jalur Kritis 45 Tabel 3.4 Estimasi Waktu Percepatan dan Estimasi Biaya Percepatan 47

Tabel 3.5 Slope Biaya-Waktu 47

(12)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1 Grammatical Dummy 12

Gambar 2.2 Logical Dummy 13

Gambar 2.3 Jaringan Kerja Pemasangan Instalasi Pengolahan Air 14

Gambar 2.4 Elemen Jaringan Kerja 14

Gambar 2.5 Hubungan antara Waktu dan Biaya pada 17 Keadaan Normal dan Dipercepat

Gambar 2.6 Grafik Fungsi Tujuan 23

Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution 25

Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution 26

Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution 27

Gambar 3.1 Jaringan Kerja Pabrik 37

Gambar 3.2 Jaringan Proyek dan ES 41

(13)

ABSTRAK

(14)

APPLICATION STUDY CPM WITH LINEAR PROGRAMMING FOR OPTIMIZATION NETWORK COSTS

ABSTRACT

(15)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam dunia yang semakin maju ini jaringan kerja sangat penting peranannya untuk memajukan suatu usaha atau pun proyek yang sederhana hingga proyek besar karena jaringan kerja memang tidak dapat dipisahkan dalam perencanaan berbagai proyek. Saat ini banyak ditemui berbagai proyek pembangunan yang harus dikerjakan dengan baik. Oleh karena itu proyek yang ditangani harus memiliki jaringan kerja yang akan diterapkan dalam pengerjaannya sehingga dibutuhkan manajemen proyek yang akan mengelola proyek tersebut mulai dari awal sampai proyek tersebut berakhir.

Dalam manajemen proyek seringkali dijumpai proyek-proyek berbentuk jaringan yang berskala besar. Untuk mengadakan perencanaan dan pengendalian proyek yang berjenis jaringan tersebut, seorang manajer menentukan kegiatan-kegiatan kritis yang sangat mempengaruhi penyelesaian suatu proyek. Perencanaan adalah penentuan mengenai apa yang harus dicapai , kapan dan bagaimana hal tersebut dapat dilaksanakan.

Penjadwalan merupakan alokasi dari sumber daya terhadap waktu untuk menghasilkan sebuah kumpulan pekerjaan. Penjadwalan dibutuhkan untuk memproduksi order dengan pengalokasian sumber daya yang tepat seperti urutan pengerjaan part dan kebutuhan material. Dengan pengaturan penjadwalan yang efektif dan efisien dapat memenuhi order tepat waktu serta kualitas yang telah ditentukan. Penjadwalan diperlukan ketika beberapa pekerjaan harus diproses yang tidak bisa memproses lebih dari satu pekerjaan pada saat yang sama. Penjadwalan yang baik akan memaksimumkan efektivitas pemanfaatan setiap sumber daya.

(16)

Metode penjadwalan yang sering dipakai yaitu CPM ( Critical Part Method) dan PERT ( Project Evaluatoin and Review Technique). CPM ( Critical Part Method) lebih menekankan pada biaya, juga dibahas adanya tawar-menawar atau

trade-off antara jadwal waktu dan biaya. Berbeda dengan Metode PERT ( Project Evaluatoin and Review Technique) yang lebih menekankan pada ketidakpastian waktu kegiatan.

Pada umumnya jangka waktu kegiatan pada setiap penyelesaian proyek bersifat probabilistik, dimana terdapat ketidakpastian yang disebabkan oleh faktor-faktor yang dapat terjadi di luar perkiraan, misalnya keadaan cuaca, kondisi pekerja, ketersediaan bahan bangunan dan sebagainya.

Tulisan ini akan membahas secara menyeluruh mengenai tahapan-tahapan yang dilakukan pada perencanaan proyek mulai dari awal pengerjaan hingga proyek selesai dikerjakan. Selain itu perkiraan waktu penyelesaian proyek yang terbaik harus dipertimbangkan untuk mencapai target yang ingin dicapai, namun tetap harus menyesuaikan biaya yang akan dikeluarkan. Tujuan dari permasalahan yang akan diselesaikan akan dimodelkan ke dalam bentuk matematika serta memodelkan kendala-kendala yang ada dalam kasus ini. Jika perlu mengeluarkan biaya tambahan sebaiknya seoptimal mungkin. Proyek yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah proyek pembangunan, namun tidak dijelaskan secara spesifik pembangunan gedung apa karena ini adalah studi aplikasi yang dikembangkan dari pelajaran yang telah ada.

Alasan penulis menggunakan CPM yaitu karena semua manajer proyek ingin agar setiap komponen pekerjaan yang saling berkaitan tersebut dapat selesai secepatnya, atau bahkan ingin lebih cepat dari target yang telah ditentukan namun dengan biaya percepatan yang seoptimal mungkin. Dari alasan inilah metode CPM sangat membantu penulis. Selain itu metode yang dapat mencari nilai optimal adalah dengan menggunakan pendekatan program linier. Program linier merupakan metode matematika yang dapat mengalokasikaan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya tambahan.

(17)

Dari uraian di atas penulis menulis judul “Studi Aplikasi CPM dengan Program Linier dalam Mencari Biaya Optimal Jaringan Kerja.”

1.2 Perumusan Masalah

Masalah yang dihadapi dalam tulisan ini adalah bagaimana menentukan penyelesaian kasus ini agar waktu penyelesaian proyek dapat dipersingkat dan menentukan biaya optimal percepatan menggunakan CPM dengan pendekatan program linier.

1.3 Batasan Masalah

Agar permasalahan tidak terlalu luas, maka dibutuhkan batasan masalah sebagai berikut:

1. Penulis menggunakan metode jalur kritis (CPM) dengan pendekatan Program Linier dalam menentukan biaya optimal setelah dilakukan percepatan.

2. Variabel yang digunakan pada tulisan ini adalah: a). Nama kegiatan

b).Waktu normal dalam menyelesaikan setiap kegiatan c). Biaya normal pada setiap kegiatan

d). Waktu percepatan setiap kegiatan e). Biaya percepatan setiap kegiatan f). Waktu penyelesaian suatu proyek

3. Jangka waktu menggunakan pendekatan probabilistik.

4. Waktu dibatasi mulai dari perencanaan proyek sampai pembangunan proyek selesai.

(18)

1.4 Tujuan Penelitian

Sejalan dengan masalah yang telah dikemukakan, maka tujuan dari tulisan adalah : 1. Mencari jalur kritis proyek.

2. Mengaplikasikan CPM ( Critical Part Method) dengan program linier untuk mencari nilai optimal dari percepatan suatu proyek.

3. Untuk mengetahui manfaat pemakaian CPM ( Critical Part Method) pada penyelesaian suatu proyek.

4. Mencari nilai harapan suatu proyek dapat selesai sesuai target. 5. Untuk menentukan biaya optimum dari percepatan yang dilakukan.

1.5 Kontribusi Penelitian

Tulisan ini dapat digunakan untuk bahan referensi para manajer proyek dalam merancang rencana kerja secara sistimatis, sehingga diharapkan proyek dapat berjalan dengan tepat waktu dengan biaya yang optimum.

1.6 Metodologi Penelitian

Metodologi penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Metode yang dipakai oleh penulis adalah CPM ( Critical Part Method) dan Program Linier.

2. Variabel-variabel yang dipakai dalam tulisan ini adalah sebagai berikut: a). Nama kegiatan

b).Waktu normal dalam menyelesaikan setiap kegiatan c). Biaya normal pada setiap kegiatan

d). Waktu percepatan setiap kegiatan e). Biaya percepatan setiap kegiatan f). Waktu penyelesaian suatu proyek

(19)

3. Subjek penelitian

Penulis membuat tulisan berupa studi aplikasi yang menyajikan permasalahan kompleks dan hasil pengembangan dari buku-buku yang telah ada.

4. Instrumen dan teknik pengumpulan data

Data nama kegiatan dan waktu estimasi diambil dari hasil tulisan yang pernah ada. Lalu dikembangkan dengan menambahkan nilai perkiraan waktu probabilistik untuk penulisan lebih lanjut.

5. Tahap-tahap penelitian

Tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:

a). Data diurutkan dan ditentukan kegiatan-kegiatan mana yang harus dilakukan sebelumnya atau kegiatan mana yang dapat dikerjakan secara bersamaan.

b). Mulai membuat diagram jaringan kerja, menentukan jalur kritis dan kegiatan kritis.

c). Menentukan waktu yang bersifat probabilistik dalam setiap kegiatan. d). Mencari nilai rata-rata dan standar deviasi.

e). Menentukan nilai harapan suatu proyek dapat selesai sesuai target. f). Membuat estimasi untuk waktu percepatan, biaya normal dan biaya

percepatan.

g). Menentukan slope biaya dari semua kegiatan.

h). Menentukan persamaan fungsi tujuan dan kendala-kendalanya. i). Menentukan biaya percepatan dengan pendekatan program linier. 6. Analisis data

Jalur kritis dapat dicari dengan menggunakan perhitungan maju untuk mencari waktu mulai paling awal (ES) dan perhitungan mundur untuk mencari waktu paling lama suatu kegiatan selesai (LF). Setiap simpul yang memiliki nilai ES dan LF yang sama dihubungkan dengan jalur kegiatan maka disebutlah sebagai jalur kritis. Kemudian mencari nilai slope biaya terhadap waktu yang akan dipakai sebagai fungsi tujuan, selanjutnya mencari kendala-kendala yang ada dalam bentuk program linier. Solusi permasalahan ini dapat dicari dengan menggunakan metode simpleks atau dengan software.

(20)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisa Perencanaan Proyek

Proyek dapat dikatakan sebagai kegiatan terencana dan berurutan yang hanya berlangsung sekali dimana dalam kegiatan tersebut memiliki saat awal dan saat akhir. Proyek adalah serangkaian kegiatan yang berlangsung dalam jangka waktu tertentu dengan alokasi sumber daya yang tersedia dan bertujuan untuk melaksanakan tugas yang telah ditetapkan. Perencanaan sangat penting didalam pelaksanaan proyek. Perencanaan yang tidak sesuai akan mengakibatkan kesulitan di dalam pelaksanaannya. Oleh karena itu, perencanaan proyek harus sesuai dengan batasan yang dimiliki dan tujuan yang ingin dicapai. Fungsi perencanaan proyek yaitu sebagai sarana komunikasi bagi seluruh pihak terkait, dasar dalam pengalokasian sumber daya, dan tolak ukur di dalam pengendalian.

Dari uraian diatas dapat dikatakan bahwa manajemen proyek sangat penting diterapkan dalam kasus ini. Manajemen proyek adalah usaha merencanakan, mengorganisir, mengarahkan dan mengkoordinasi serta mengawasi kegiatan dalam proyek sedemikian rupa sehingga sesuai dengan jadwal, waktu, dan anggaran yang telah ditetapkan.

Baker (1974) mengatakan bahwa “penjadwalan merupakan alokasi dari sumber daya terhadap waktu untuk menghasilkan sebuah kumpulan pekerjaan. Penjadwalan dibutuhkan untuk memproduksi order dengan pengalokasian sumber daya yang tepat seperti urutan pengerjaan part dan kebutuhan material. Dengan pengaturan penjadwalan yang efektif dan efisien dapat memenuhi order tepat waktu

(21)

serta kualitas yang telah ditentukan. Penjadwalan diperlukan ketika beberapa pekerjaan harus diproses yang tidak bisa memproses lebih dari satu pekerjaan pada saat yang sama. Penjadwalan yang baik akan memaksimumkan efektivitas

pemanfaatan setiap sumber daya.”

Santosa (2009) menjelaskan hubungan waktu dan biaya pada keadaan normal dan crash sehingga umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya tenaga kerja, peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing).

Tahapan-tahapan yang dilakukan pada perencanaan proyek yaitu penerapan tujuan meliputi pelaksanaan proyek yang diinginkan, serta waku, dan biaya performansi yang ditargetkan. Kedua, urutan kerja yang berisi seluruh urutan dan deskripsi pekerjaan-pekerjaan yang perlu dilakukan untuk mencapai tujuan proyek. Ketiga, perancangan organisasi proyek untuk menentukan departemen-departemen yang diperlukan di dalam pelaksanaan proyek. Keempat, jadwal kegiatan berisi waktu pelaksanaan setiap aktivitas, batas selesai dan milestone. Kelima, rencana anggaran dan sumber daya, perencanaan ini berisikan jumlah anggaran dan sumber daya yang dibutuhkan untuk terlaksananya tujuan proyek. Terakhir yaitu ramalan mengenai performansi penyelesaian proyek. Tahap ini berisi performansi yang diharapkan di dalam penyelesaian proyek.

Pada sebuah perencanaan proyek digunakan alat-alat bantu sebagai berikut: 1. Work breakdown structure (WBS)

Metode ini digunakan untuk mengidentifikasi pekerjaan-pekerjaan yang ada dalam pelaksanaan proyek.

2. Matriks tanggungjawab

Matriks ini digunakan untuk menentukan organisasi proyek, personil-personil kunci dan tanggungjawab pekerjaanya.

3. Gantt Chart

Peta ini menggambarkan jadwal induk proyek, dan jadwal pekerjaan secara detail.

(22)

4. Jaringan Kerja (Network)

Jaringan kerja digunakan untuk memperlihatkan urutan pelaksanaan pekerjaan dari awal hingga akhir.

2.2 Jaringan Kerja

Jaringan adalah kerangka dari sistem informasi proyek yang akan digunakan oleh manajer proyek dalam pengambilan keputusan dengan memperhatikan waktu, biaya, dan performansi. Jaringan mudah dimengerti oleh setiap individu karena jaringan berisi tampilan grafis dari aliran dan urutan tiap pekerjaan. Pengembangan jaringan dapat dengan mudah dilakukan. Sebagai contoh jika material untuk suatu kegiatan tertunda, dampak kejadian tersebut dapat dengan cepat ditaksir dan peninjauan kembali terhadap proyek secara utuh.

Jaringan kerja adalah suatu alat yang digunakan untuk merencanakan, menjadwalkan, dan mengawasi kemajuan dari suatu proyek. Jaringan dikembangkan dari informasi yang diperoleh dari WBS dan gambar diagram alir dari rencana kerja proyek. Jaringan menggambarkan beberapa hal yaitu kegiatan-kegiatan proyek yang harus dilakukan, urutan kegiatan yang logis, ketergantungan antar kegiatan,waktu kegiatan melalui lintasan kritis.

Manfaat jaringan kerja adalah sebagai berikut:

1. Merupakan dasar dalam perhitungan penyelesaian waktu pelaksanaan proyek. 2. Merupakan dasar dalam penjadwalan tenaga kerja dan paralatan.

3. Alat komunikasi antara seluruh manajer dan kelompok. 4. Alat perhitungan waktu apabila terjadi penundaan proyek. 5. Dasar dalam menggambarkan cash flow dari suatu proyek.

6. Alat untuk mengidentifikasi kegiatan yang kritis sehingga tidak terjadi keterlambatan dalam penyelesaian.

Jaringan kerja dikembangkan dari WBS. Jaringan kerja merupakan visualisasi diagram alir dari urutan, hubungan-hubungan, dan ketergantungan dari seluruh

(23)

kegiatan-kegiatan yang harus dipenuhi untuk melengkapi proyek. Suatu kegiatan merupakan elemen pada proyek yang menghabiskan waktu. Sebagai contoh , bekerja atau menunggu.

Paket pekerjaan dari WBS digunakan untuk membangun kegiatan pada jaringan kerja. Suatu kegiatan dapat meliputi satu atau lebih paket pekerjaan. Kegiatan-kegiaatan ditempatkan sesuai urutannya di dalam penyelesaian proyek. Jaringan dibangun dengan menggunakan node (kotak) dan anak panah (garis). Node menggambarkan suatu kegiatan dan panah menunjukkan keterkaitan dan aliran proyek.

2.3 Analisa Jaringan Kerja

Analisa jaringan kerja proyek adalah suatu sistem kontrol proyek yang berisi kegiatan tunggal, kegiatan gabungan, kegiatan paralel, dan lintasan kritis. Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam membangun jaringan kerja yaitu:

1. Kegiatan (Activity)

Untuk manajer proyek, suatu kegiatan merupakan elemen dari proyek yang membutuhkan waktu pelaksanaan (duration). Juga didefinisikan sebagai hal yang membutuhkan sejumlah sumber ternaga, equipment, material, biaya dan sebagainya. Kegiatan biasanya terdiri dari satu atau lebih tugas dari suatu paket kerja. Deskripsi dari kegiatan seharusnya menggunakan format kata kerja/kata benda: sebagai contoh, pembuatan fondasi.

2. Kegiatan Memusat (Merge Activity)

Beberapa kegiatan yang berbeda lalu dilanjutkan dengan kegiatan yang sama sehingga disebut kegiatan memusat (lebih dari satu kaitan aliran panah).

3. Kegiatan paralel (Parallel Activity)

Ini adalah kegiatan yang dikerjakan pada waktu yang bersamaan. 4. Alur (Path)

(24)

5. Alur kritis (Critical Path)

Ini berarti alur terpanjang yang terdapat pada jaringan. Jika terdapat suatu kegiatan yang tertunda (delay) pada alur, maka proyek juga akan tertunda pada waktu yang sama.

6. Kegiatan (Event)

Istilah ini berupa suatu titik dan digunakan ketika sebuah kegiatan diimulai atau selesai. Jadi tidak membutuhkan waktu.

7. Kegiatan memencar (Burst Activity)

Kegiatan ini memiliki lebih dari satu kegiatan yang secara bersamaan mengikutinya (lebih dari satu panah yang terkait mengikutinya).

Analisa jaringan kerja berguna dalam mengkoordinir semua unsur proyek ke dalam suatu rencana utama (master plan) dengan menerapkan suatu metode kerja untuk melengkapi proyek sehingga diperoleh:

1. Waktu terbaik untuk pelaksanaan kegiatan (best time). 2. Pengurangan / penekanan ongkos/ biaya (least cost). 3. Pengurangan risiko (least risk).

4. Mempelajari alternatif-alternatif yang terdapat di dalam dan di luar proyek. 5. Untuk mendapatkan atau mengembangkan schedule (jadwal yang optimal). 6. Penggunaan sumber-sumber (resources) secara efektif dan efisien.

7. Alat komunikasi antar pemimpim. 8. Pengawasan pembangunan proyek.

9. Memudahkan revisi atau perbaikan terhadap penyimpangan yang terjadi.

2.4 Teknik-teknik Analisa Jaringan Kerja

Teknik-teknik ini umumnya bertujuan menguraikan dan menentukan hubungan-hubungan antara berbagai kegiatan dan berbagai penafsiran waktu yang ada. Waktunya diperlukan untuk setiap kegiatan dalam rencana proyek secara menyeluruh. Untuk perencanaan dan pengendalian proyek dikenal berbagai teknik jaringan kerja tertentu. Sebagai contohnya adalah:

(25)

1. PERT (Program Evaluation and Review Technique)

PERT adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada didalam suatu proyek. Teknik ini merupakan suatu metode untuk menentukan jadwal dan anggaran dari sumber-sumber, sehingga suatu pekerjaan tertentu dapat diselesaikan tepat pada waktunya.

2. CPM (Critical Path Method)

Metode ini ditemukan oleh perusahaan bahan kimia Amerika yaitu Du Pon Company pada tahun 1958 untuk memecahkan kesulitan-kesulitan proses fabrikasi. Metode ini berbentuk diagram network yang hampir mirip dengan PERT. Perbedaanya adalah dalam penentuan perkiraan waktu. CPM dapat memperkirakan waktu yang dibutuhkan untuk melaksanakan kegiatan dan dapat menentukan prioritas kegiatan yang harus mendapat perhatian dan pengawasan yang cermat, agar kegiatan dapat selesai sesuai dengan rencana.

3. PDM (Preseden Diagram Method)

Pada CPM metode yang dipakai adalah Activity on Arrow (AOA) dimana aktifitas dan kegiatan diletakkan pada tanda panah, sedangkan pada PDM Activity on Node (AON) dimana tanda panah hanya menyatakan keterkaitan antar kegiatan. Kegiatan dari peristiwa pada PDM ditulis dalam bentuk node yang berbentuk kotak segi empat, sedang anak panah hanya sebagai petunjuk kegiatan-kegiatan yang bersangkutan.

4. Metode AOA (Activity On Arrow)

Untuk membentuk gambar dari rencana jaringan kerja digunakan simbol-simbol, yaitu:

(26)

a. Anak panah = arrow (menyatakan sebuah kegiatan, activity). b. Lingkaran = node (menyatakan sebuah kejadian atau peristiwa,

event).

c. Anak panah terputus-putus (menyatakan kegiatan semu atau

dummy).

Dummy terdiri dari dua macam, yaitu:

a. Grammatical Dummy diperlukan untuk menghindari kerancuan penyebutan suatu kegiatan apabila terdapat dua atau lebih kegiatan yang berasal dari peristiwa yang sama dan berakhir pula pada peristiwa yang sama.

2 1

2 2

Gambar 2.1 Grammatical Dummy

b. Logical Dummy digunakan untuk memperjelas hubungan antar kegiatan. Misalnya, terdapat hubungan seperti pada gambar ini, hubungan ini dapat diartikan bahwa kegiatan 4 dan 5 dapat dimulai setelah kegiatan 1,2, dan 3 selesai. Padahal maksud yang sesungguhnya ialah kegiatan 4 dapat dimulai setelah kegiatan 1 dan 2 selesai, sedangkan kegiatan 5 dapat dimulai setelah kegiatan 1,2, dan 3 selesai. Untuk menggambarkan logika ini maka diperlukan

dummy yang dapat memperjelas maksud tersebut.

a b

a a

(27)

1 4 1 4

2 2

3 5

Gambar 2.2 Logical Dummy

Contoh:

Dalam rangka memenuhi permintaan yang semakin meningkat, Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) merencanakan untuk memasang instalasi pengolah air (water treatment) baru. Maka terlebih dahulu diidentifikasi kegiatan-kegiatan yang harus dilakukan. Rincian kegiatan akan diperlihatkan pada tabel di bawah ini.

Tabel 2.1 Daftar Rencana Kegiatan

Kegiatan Kegiatan pendahulu

A. Perencanaan system -

B. Pembuatan saluran air A

C. Pembuatan pondasi A

D. Pemesanan mesin A

E. Pembuatan instalasi listrik C

F. Pemasangan pipa B,E

G. Pemasangan mesin C,D

H. Finishing dan start up F,G

Jaringan kerja pada kasus ini dapat digambarkan dengan memperhatikan urutan pekerjaan dan kegiatan yang mendahuluinya.

(28)

A C E F H

D G ₂

Gambar 2.3 Jaringan Kerja Pemasangan Instalasi Pengolah Air

1 pada gambar di atas merupakan kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan B dan E

sedang berlangsung sampai kegiatan tersebut berakhir. Demikian juga ₂ merupakan kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan F dan G sedang berlangsung sampai kegiatan tersebut berakhir.

2.4.1 Elemen Jaringan Kerja

Gambar 2.4 Elemen Jaringan Kerja

Waktu mulai tercepat (ES) untuk masing-masing kegiatan menunjukkan kapan suatu kegiatan paling cepat dapat dilakukan. Waktu selesai terlama (LF) menunjukkan kapan suatu kegiatan paling lama dapat diselesaikan. Dalam melakukan perhitungan penentuan waktu penyelesaian digunakan beberapa terminologi dasar berikut:

E L

Nomor identifikasi kejadian Waktu mulai tercepat Waktu selesai terlama

1 ₈

7

6

5

4

3

(29)

a). E (earliest event occurence time )

Saat tercepat terjadinya suatu peristiwa. b). L (Latest event occurence time)

Saat paling lambat yang masih diperbolehkan bagi suatu peristiwa terjadi. c). ES (earliest activity start time)

Waktu mulai paling awal suatu kegiatan. Bila waktu mulai dinyatakan dalam jam, maka waktu ini adalah jam paling awal kegiatan dimulai.

= max⁡{ + ,

d). EF (earliest activity finish time)

Waktu Selesai paling awal suatu kegiatan. EF pada dasarnya merupakan pasangan dari ES. Karena waktu penyelesaian kegiatan ditandai dengan _, , maka

, = + , .

EF suatu kegiatan terdahulu = ES kegiatan berikutnya. e). LS (latest activity start time)

Waktu paling lambat kegiatan boleh dimulai tanpa memperlambat proyek secara keseluruhan.

, = − ,

f). LF (latest activity finish time)

Waktu paling lama kegiatan diselesaikan tanpa memperlambat penyelesaian proyek.

= min{ + ₍ _{, )}.

g). t (activity duration time)

Kurun waktu yang diperlukan untuk suatu kegiatan (hari, minggu, bulan).

Slack dapat dihitung dengan cara: Slack=EF-LF=ES-LS.

Perhitungan ES dan LF ini dapat dilakukan dengan melalui 2 tahap yaitu: 1. Hitungan Maju

Dimulai dari Start (initial event) menuju Finish (terminal event) untuk menghitung waktu penyelesaian tercepat suatu kegiatan (EF), waktu tercepat terjadinya kegiatan(ES) dan saat paling cepat dimulainya suatu peristiwa (E).

(30)

2. Hitungan Mundur

Dimulai dari Finish menuju Start untuk mengidentifikasi saat paling lambat terjadinya suatu kegiatan (LF), waktu paling lambat terjadinya suatu kegiatan (LS) dan saat paling lambat suatu peristiwa terjadi (L).

2.4.2 Identifikasi Kegiatan Kritis

Pada CPM terdapat dua buah perkiraan waktu dan biaya untuk setiap kegiatan yang terdapat dalam jaringan. Kedua perkiraan tersebut adalah perkiraan waktu penyelesaian dan biaya yang sifatnya normal (normal estomate) dan perkiraan waktu penyelesaian dan biaya yang sifatnya dipercepat (crash estimate). Dalam menentukan perkiraan waktu penyelesaian akan dikenal istilah jalur kritis, jalur yang memiliki rangkaian-rangkaian kegiatan dengan total jumlah waktu terlama dan waktu penyelesaian proyek yang tercepat. Sehingga dapat dikatakan bahwa jalur kritis berisikan kegiatan-kegiatan kritis dari awal sampai akhir jalur.

Waktu dan biaya pada keadaan normal dan crash dapat dihubungkan sehingga umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya tenaga kerja, peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing).

Contoh bagan CPM sederhana. Tentukan jalur kritis dan waktu tercepat

1 minggu 3 minggu

2 minggu 4 minggu

4 2

(31)

Dapat dilihat bahwa jaringan diatas mempunyai dua jalur, yaitu 1-2-4 yang memerlukan 4 minggu, dan 1-3-4 yang memerlukan waktu 6 minggu. Dengan demikian waktu tercepat yang diharapkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut adalah 6 minggu. Sedangkan jalur yang membentuk jalur terpanjang ini yaitu 1-3-4 disebut sebagai jalur kritis ( Critical Path ). Bisa dikatakan bahwa waktu tercepat yang diharapkan untuk event 4 adalah 6 minggu.

Gambar 2.5 Hubungan antara Waktu dan Biaya pada Keadaan Normal dan Dipercepat

� � �� = �� − ��

�� − ��

Sebagai contoh, misalnya kegiatan B memiliki waktu normal selama 3 hari dengan total biaya Rp 40.000,00. Jika kegiatan B dipercepat menjadi 2 hari maka total biaya menjadi Rp 50.000,00. Biaya percepatan perhari kegiatan B dihitung berdasarkan ketentuan sebagai berikut:

Biaya Normal Biaya untuk

Waktu Dipercepat

Biaya

waktu A (Titik Nomal)

Waktu Normal Waktu

Dipercepat

(32)

Slope Biaya = Biaya Dipercepat −Biaya Normal Waktu Normal−Waktu Dipercepat =Rp 50.000,00−Rp 40.000,00

3−2

= Rp 10.000,00/ .

2.5 Nilai Harapan dan Variansi

Tiga estimasi waktu kegiatan dalam menyelesaikan permasalahan yang memiliki waktu probabilistik yaitu waktu kegiatan optimis (o), waktu kegiatan yang paling mungkin (m) dan waktu kegiatan pesimis (p). Dua asumsi yang dipakai untuk mengubah o, m dan p menjadi taksiran nilai harapan ( ) dan variansi (�2) dari waktu yang dibutuhkan suatu kegiatan yaitu bahwa standar deviasi sama dengan seperenam dari rentang kebutuhan waktu yang mungkin, sehingga untuk variansinya dapat dituliskan menjadi

�2 ₌ −

6 2

sedangkan nilai harapan suatu proyek dapat ditentukan dengan rumus

= + +4

6 .

2.6 Program Linier

Program Linier (Linear Programming) merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika. Asumsi-asumsi yang terkandung dalam formulasi program linier untuk masalah optimasi sebagai model program linier adalah sebagai berikut:

a. Propertionality

Asumsi ini menyatakan bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas, akan berubah secara proposianal dengan perubahan tingkat kegiatan.

(33)

Misalnya: = ₁�₁+ ₂�₂+ + �

Setiap pertambahan/ pengurangan 1 unit �1 akan menaikkan/ menurunkan nilai

Z dengan ₁, demikian juga untuk yang lain mempunyai sifat yang sama. b. Additivity

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai fungsi tujuan setiap kegiatan tidak saling mempengaruhi atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikkan nilai fungsi tujuan Z yang diakibatkan oleh kenaikkan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain atau dapat dikatakan bahwa tidak ada korelasi antara satu kegiatan dengan kegiatan lain.

Misalnya: = 8�1+ 10�2

Untuk �₁ = 6 dan �₂ = 8 = 8.6 + 10.8 = 128

Jika �₁ bertambah/ berkurang, penambahan/ pengurangan �₁ dapat langsung ditambahkan/ dikurangkan pada nilai Z, tanpa mempengaruhi bagian Z yang diperoleh dari �₂.

c. Disibility

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pacahan.

d. Deterministic ( Certainty)

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program linier ( , , ) dapat diperkirakan dengan pasti. Dalam kenyataannya, parameter model jarang bersifat deterministic, karena keadaan masa depan jarang diketahui dengan pasti. Untuk mengatasi ketidakpastian parameter, dikembangkan suatu teknik analisis, guna menguji nilai solusi, bagaimana kepekaannya terhadap perubahan-perubahan parameter.

Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka dibutuhkan lima syarat yang harus dipenuhi yaitu:

(34)

a. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan. Fungsi tujuan ini dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungan, dan kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimalkan, atau dampak negatif, kerugian-kerugian risiko, biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin diminimumkan.

b. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan; misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah; atau antara alternatif terpadat modal dengan padat karya; atau antara kebijakan A dengan B; atau antara proyeksi permintaan tinggi dengan rendah; dan seterusnya.

c. Sumber Daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. Misalnya, keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga, keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai kendala atau syarat ikatan.

d. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika.

e. Keterkaitaan Peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal-balik, saling menunjang, dan sebagainya

Fungsi tujuan:

(35)

Sumber daya yang membatasi:

11�1+ 12�2 + + 1 � = 1

21�1+ 22�2+ + 2 � = 2

1�1+ 2�2+ + � =

�1,�2,…,� 0

Bentuk di atas juga dapat ditulis sebagai berikut: Fungsi tujuan:

Maksimum dan minimumkan:

= ₌₁ �

Kendala: �

=1 = 1,2,…,

Dan � 0, = 1,2,…,

Simbol �1, �2, …,� menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel

keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol ₁, 2,…, merupakan konstribusi

masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematikanya. Simbol ₁₁,…, ₁ ,… merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematikanya. Simbol 1, 2,…,

menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (�₁,�2,…,� 0) menunjukkan batasan non negatif.

Membuat model matematika dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematika tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan membuat pemodelan lebih mudah dan menarik.

(36)

: = 170�1+ 190�2

Dengan kendala: 15�2 1050

20�1+ 16�2 1600

24�1+ 30�2 2400

�1,�2 0

Untuk menggambarkan masing-masing persamaan garis adalah dengan menetapkan salah satu variabel dalam suatu persamaan sama dengan nol dan kemudian mencari nilai variabel yang lain.

1) 15�₂ = 1050

�2 = 70

2) 20�1+ 16�2 = 1600

�1 = 0 16�2 = 1600

�2 = 100

�2 = 0 20�1 = 1600

�1 = 80

3) 24�1+ 30�2 = 2400

�1 = 0 30�2 = 2400 �2 = 80

�2 = 0 24�1 = 2400

(37)

�2

120 100 F 80 E

A B G 1

20 2 3

D H

0 20 40 60 80 100 �₁

Gambar 2.6 Grafik Fungsi Tujuan

Daerah yang bersamaan memenuhi ketiga kendala, ditunjukkan oleh area yang diarsir yaitu OABCD pada gambar. Bagian yang di arsir ini disebut daerah fisibel (fisible solution).

Untuk mencari titik yang paling menguntungkan adalah dengan menggambarkan garis fungsi tujuan. Untuk menggambarkan garis fungsi tujuan dalam grafik adalah dengan menggambarkan perbandingan nilai �₁ dan �₂. Perbandungan nilai �₁ dan �₂ merupakan perbandingan ₁ dan ₂. Geser grafik fungsi tujuan tersebut kesemua daerah fisibel. Sebagai pedoman bahwa titik fisibel optimal telah ditemukan adalah ditentukan oleh titik singgung garis fungsi tujuan dengan area yang fisibel, yang terjauh dari origin 0 untuk kasus maksimasi sedangkan untuk kasus minimasi adalah yang paling dekat dengan titik original 0.

(38)

Solusi optimum untuk kasus diatas adalah pada titik C (perpotongan antara kendala 2 dan kendala 3).

20�1+ 16�2 = 1600 × 6 120�1+ 96�2 = 9600

24�1+ 30�2 = 2400 × 5 120�1+ 150�2 = 1200

-54�₂ = −2400

�2 = 400/9

20�₁+ 16∙400/9 = 1600

�1 = 400/9

Z=170(400/9)+190(400/90=16000

2.6.1 Beberapa Pengertian dalam Program Linier

a. Feasible Solution

Feasible Solution adalah suatu solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang ada pada persoalan tersebut.

b. In Feasible Solution

In Feasible Solution berarti tidak ada titik-titik yang secara serentak memenuhi semua kendala dalam masalah tersebut.

Contoh:

: = 10�₁ + 8�₂

Dengan kendala: 8�1+ 10�2 40

2�₁ 12

�2 5

�1,�2 0

(39)

�₂

6 2

5 3

4 3

2 1

1 �₁ 0 1 2 3 4 5 6

Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution

Daerah yang diarsir merupakan daerah hasil. Berdasarkan gambar terlihat bahwa tidak ada daerah yang tidak melanggar salah satu dari tiga batasan tersebut. Sehingga tidak ada daerah yang layak.

c. Optimal Solution

Optimal Solution adalah feasible solution yang memberikan nilai terbaik bagi fungsi tujuannya. Terbaik diartikan sebagai nilai terbesar apabila fungsi tujuannya maksimasi, dan diartikan sebagai nilai terkecil apabila fungsi tujuannya minimasi. Pada gambar 2.5 titik C memberikan nilai terbesar dibandingkan titik O, A, B dan C.

d. Multiple Optimal Solution

Multiple Operation Solution terjadi jika fungsi tujuan pada lebih satu titik optimal. Misalnya bila contoh pada Gambar 2.5 fungsi tujuannya semula :

= 170�1+ 190�2 berubah menjadi = 100�1+ 80�2, maka akan

terdapat Multiple Optimal Solution yang akan ditunjukkan oleh grafik pada gambar 2.7.

(40)

�2

120 100 F 80 E

A B G 1

20 2 3

D H

0 20 40 60 80 100 �₁

Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution

Daerah feasible dan optimal berimpit dengan batasan dua. Hal ini berarti bahwa titik B dan titik C serta titik-titik yang ada di sepanjang garis tersebut mempunyai nilai Z yang sama dan optimal. Multiple optimal solution akan memberikan keluwesan dalam memilih solusi bagi pengambil keputusan. e. Boundary Equation

Boundary Equation terjadi apabila ada kendala dengan tanda sama dengan. f. Corner Point Feasible Solution

Corner Point Feasible Solution adalah solusi layak yang terletak pada perpotongan antara dua garis. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah titik O, A, B, C dan D.

g. Corner Point Infeasible Solution

Corner Point Infeasible Solution adalah titik pada perpotongan dua garis diluar daerah layak. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah E, F, G dan H.

h. No Optimal Solution

No Optimal Solution terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai penyelesaian optimal.

(41)

Hal tersebut disebabkan oleh :

1. Tidak ada feasible solution (lihat gambar 2.6). 2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z. Contoh yang disebabkan faktor ke-2 adalah sebagai berikut:

: = 10�1 + 8�2

Dengan kendala

�1 4

2�₁ 10

�1,�2 0

Batasan tersebut dapat ditunjukkan dengan grafik berikut: �1

6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6

Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution

Pengambilan waktu percepatan (crash) yang optimal dengan pendekatan Program Linier.

Jika � = waktu untuk kejadian i � = waktu untuk kejadian j

� = waktu untuk kejadian pada simpul terakhir (m) = waktu normal untuk aktivitas →

= waktu chrashing aktivitas →

� = kemungkinan maksimum pengurangan waktu untuk aktivitas → karena crashing maksimum

(42)

= biaya untuk aktivitas normal →

= untuk aktivitas normal → dengan crashing = slope biaya untuk aktivitas →

Model umum program linier untuk jaringan ini adalah = � . Untuk kendala yang menjelaskan struktur jaringan dimulai dari event i dengan asumsi bahwa � = 0.

Untuk event berikutnya

� − � +�

� − � +� ₋1

Selanjutnya dengan menggunakan metode simpleks dapat diperoleh jawaban optimalnya. Pendekatan program linier terhadap jaringan kerja dapat dimodelkan kedalam bentuk program linier.

Jika dianggap � adalah waktu kejadian simpul terakhir dalam jaringan diatas, yaitu pada simpul m, maka fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai Min Z = � . Selanjutnya dikembangkan hambatan model tersebut. Maka ditentukan waktu untuk aktivitas → sebagai . Kumpulan hambatan yang menyatakan kondisi ini adalah � − � . Maka model umum program linier untuk jaringan ini dapat dirangkum sebagai = � .

Dengan kendala: � − � untuk seluruh aktivitas → � ,� 0

Diketahui: � = waktu kejadian pada simpul i � = waktu kejadian pada simpul j

= waktu aktivitas →

(43)

2.5.2 Metode Simpleks

Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan (variabel-variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih.

Masalah program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel-tabel.

Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks

1 … …

Jawab Basis Variabel

Basis

Harga

Basis � 1 … � … �

� 1 1 11 … 1 … 1 1

� 1 … …

− = imbalan ₁− ₁ … − … −

Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematika persamaan linier, dengan cara mengkonversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan. Agar persamaan garis memenuhi persyaratan pada daerah kelayakan (feasible) maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan

(44)

(artificial variable) pada tiap batasan (constraint) serta member harga nol pada setiap koefisien c. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:

1). Untuk batasan bernotasi dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack kedalamnya.

2). Untuk batasan bernotasi dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan mengurangi variabel suplus dan kemudian menambahkan variabel buatan (artificial variable) kedalamnya.

3). Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan

(artificial variable) kedalamnya.

Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat –M sebagai harga, dan jika persoalan minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M Method).

Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk umum

. = 7�1+ 3�2

Kendala: 4�1+ 6�2 36

7�1+ 5�2 = 35 8�₁+ 4�₂ 32 �1,�2 0

Bentuk standar persoalan di atas menjadi:

. = 7�1+ 3�2

Kendala: 4�1+ 6�2+ 1 = 36

7�1+ 5�2+ 1 = 35 8�1+ 4�2− 2+ 2 = 32 �1, �2 0

Dengan teknik M persamaan di atas menjadi

. = 7�₁+ 3�₂+ ₁ + ₂

(45)

7�1+ 5�2+ 1 = 35 8�1+ 4�2− 2+ 2 = 32 �1,�2, 1, 2, 1, 2 0

1. Nilai ₁ digantikan dari fungsi kendala kedua.

1 = 35−7�1−5�2

1 berubah menjadi 35−7�1−5�2 = 35 −7 �1 −5 �2

2. Nilai ₂ digantikan dari fungsi kendala kedua.

2 =32−8�1−4�2+ 2

2 berubah menjadi 32−8�1−4�2+ 2 = 32 −8 �1 −4 �2+ 2

3. Fungsi tujuan berubah menjadi

. = 7�₁+ 3�₂ + 35 −7 �₁−5 �₂+ 32 −8 �₁−4 �₂+ 2

= 7−15 �1+ 3−9 �2 + 2+ 67

Lakukan langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks. Tabel awal hingga tabel optimal persoalan dapat dilihat pada tabel berikut:

Fungsi tujuan berubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua � kekiri.

= 7−15 �1+ 3−9 �2+ 2+ 67

berubah menjadi

(46)

Tabel 2.3 Simpleks Awal

Basis Z �₁ �₂ ₁ ₁ ₂ ₂ Solusi

Z 1 15M-7 9M-3 0 0 -M 0 67M

1 0 4 6 1 0 0 0 36

1 0 7 5 0 1 0 0 35

2 0 8 4 0 0 -1 1 32

Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, nilai Z dapat diperbaiki dengan meningkatkan nilai �₁ dan �₂ pada persamaan Z menjadi tidak negatif. Untuk itu pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar, gunakan kolom ini sebagai entering variabel. Jika ditemukan lebih dari satu nilai negatif angka terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi sudah optimal. Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan yang nilainya positif terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi telah optimal.

Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel yang sebaris.

Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci, maka persoalan tidak memiliki pemecahan.

Tabel 2.4 Iterasi 0

Entering Coloumn

Basis Z �₂ ₁ ₁ ₂ ₂ Solusi Rasio

Z 1 15M-7 9M-3 0 0 -M 0 67M -

1 0 4 6 1 0 0 0 36 9

1 0 7 5 0 1 0 0 35 7

0 8 4 0 0 -1 1 32 4

(47)

Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan element pivot.

Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot

Karena leaving variablenya ₂ dan entering variablenya �₁, maka gantilah basis ₂ dengan �₁.

Persamaan baru = (persamaan lama) – (koefisien kolom entering × persamaan pivot baru). Persamaan dapat diperoleh sebagai berikut:

Tabel 2.5 Iterasi 1

Basis Z �₁ ₁ ₁ ₂ ₂ Solusi Rasio

Z 1 0 (3M+1)/2 0 0 (7M-7)/8 -(15M-7)/8 7M+28 -

1 0 0 4 1 0 ½ -1/2 20 3

0 0 3/2 0 1 7/8 -7/8 7 6/5

�1 0 1 ½ 0 0 -1/8 1/8 4 9/5

Langkah selanjutnya dapat dilakukan seperti di atas hingga diperoleh hasil optimal.

Tabel 2.6 Iterasi 2

Basis Z �₁ �₂ ₁ ₁ ₂ ₂ Solusi Rasio

Z 1 0 0 0 -M-1/3 -7/6 -M+7/6 77/3 -

1 0 0 0 1 -8/3 -11/6 11/6 4/3 25/3

�2 0 0 1 0 2/3 7/12 7/12 14/3 -

�2 0 1 0 0 -1/3 -5/12 5/12 5/3 1

Pada iterasi 2 nilai Z telah tercapai kondisi optimal karena nilai pada garis fungsi tujuan tidak ada yang negatif.

Diperoleh nilai �₁ =5

3 ; �2 = 14

3 ; 1 = 4

(48)

2.5.3 LINDO

Cara lain yang dapat digunakan dalam mencari solusi dalam program linier adalah dengan menggunakan software. Ada banyak software yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier seperti TORA, LINGO, EXCEL dan banyak lagi yang lainnya. Adapun salah satu software yang sangat mudah digunakan untuk masalah pemrograman linier adalah dengan menggunakan Lindo.

Lindo (Linear Interaktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Prinsip kerja utama Lindo adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Model Lindo minimal memiliki 3 syarat:

1. Menentukan fungsi objektif. Ada dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan minimasi (MIN).

2. Variabel. Lindo tidak dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam formula.

3. Batasan (fungsi kendala). Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya diketikkan Subject to atau ST untuk mengawali pengetikan batasan. Pada akhir batasan diketik kata END.

Setelah formula diketikkan dapat dicari solusinya dengan mimilih perintah solve atau mengklik tombol solve pada toolbar.

(49)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Gambaran Contoh Kasus

Sebuah perusahaan konstruksi baru memenangkan tawaran $ 5.400.000 untuk membangun pabrik baru untuk produksi besar. Proses produksi membutuhkan pabrik untuk operasi selama setahun. Oleh karena itu, kontrak mencakup ketentuan-ketentuan berikut:

 Hukuman $300.000 jika pembangunan belum selesai dalam tenggang waktu 47 minggu dari sekarang.

 Memberikan tambahan insentif untuk konstruksi cepat, bonus $ 150.000 akan dibayar jika pabrik selesai dalam 40 minggu.

Pemegang proyek menetapkan manajer konstruksi yang terbaik untuk membantu memastikan bahwa setiap kegiatan tetap pada jadwal. Manajer konstruksi melihat jauh kedepan terhadap tantangan untuk membawa proyek tetap pada jadwal, bahkan mungkin menyelesaikan lebih awal.

Manajer konstruksi akan mengatur jumlah pengawai-pengawai untuk melaksanakan aktivitas kontruksi yang berbeda pada waktu yang berbeda pula. Tabel 3.1 menunjukkan daftar dari aktivitas-aktivitas berbeda yang disusun.

(50)

Tabel 3.1 Nama, Waktu dan Kegiatan yang Mendahului

Simbol Nama Kegiatan Perkiraan Waktu normal (minggu)

Kegiatan yang mendahului

A Penggalian 2 -

B Meletakkan Fondasi 4 A

C Mendirikan dinding kasar 10 B

D Mendirikan atap 6 C

E Memasang pipa bagian luar 4 C

F Memasang pipa bagian dalam 5 E

G Mendirikan dinding luar 7 D

H Pengecetan 9 E, G

I Pemasangan alat-alat listrik 7 C

J Membentuk papan gypsum 8 F, I

K Pemasangan lantai 4 J

L Pengecetan bagian dalam 5 J

M Pemasangan perlengkapan luar 2 H

N Pemasangan perlengkapan

dalam 6 K, L

Kegiatan yang mendahului adalah kegiatan yang harus diselesaikan paling lambat saat awal kegiatan tertentu dari setiap aktivitas yang diberikan (demikian pula, kegiatan tertentu disebut penerus dari setiap pendahulu terdekatnya). Sebagai contoh, penggalian tidak perlu menunggu untuk aktivitas lainnya, penggalian harus

diselesaikan sebelum mulai meletakkan dasar, fondasi harus benar-benar diletakkan sebelum mulai memasang dinding kasar, dll. Ketika sebuah aktivitas memiliki lebih dari satu pendahulu, semua kegiatan pendahulu harus selesai.

Dalam kasus ini jaringan memainkan peran kunci dalam menangani proyek. Jaringan kerja dapat menunjukkan hubungan antara kegiatan dan menampilkan rencana keseluruhan dalam proyek tersebut.

(51)

3.2 Penyelesaian Jaringan Kerja

Langkah pertama adalah memecah proyek menjadi kegiatan individu, kemudian identifikasi kegiatan yang mendahuluinya, waktu mulai paling awal untuk setiap kegiatan dan memperkirakan waktu tercepat setiap kegiatan berakhir.

Gambar jaringan kerja proyek tersebut dapat di gambarkan seperti berikut:

G 7 H 9 M 2

D 6 ₁ N

A 2 B 4 C 10 E 4 F 5 J 8 K 4

L 5

I 7 ₂ 3

Gambar 3.1 Jaringan Kerja Pabrik

3.2.1 Perhitungan dengan CPM

Hitungan maju digunakan untuk mencari nilai ES. Hitungan maju dimulai dengan menghitung simpul awal sampai dengan simpul yang akhir.

- Simpul 1

Kejadian awal ₁ = 0. - Simpul 2

Kegiatan B dapat dimulai setelah kegiatan A selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk kegiatan A adalah ₂ = ₁+A= 0+2=2. - Simpul 3

Kegiatan C dapat dimulai setelah kegiatan B selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 3 adalah 3 = 2+B=2+4=6.

1

4

1

2

9

8

5

7

6

3

4

2

1

0

1

3

(52)

- Simpul 4

Kegiatan D, E dan I dapat dimulai setelah kegiatan C selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 4 adalah

4 = 3+

= 6 + 10

= 16.

- Simpul 5

Kegiatan G dapat dimulai setelah kegiatan D selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 5 adalah

5 = 4+

= 16 + 6

= 22.

- Simpul 6

Kegiatan ₁ dan F dapat dimulai setelah kegiatan E selesai dilakukan. Kegiatan ₁ merupakan kegiatan semu yang terjadi selama kegiatan E berlangsung hingga selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 6 adalah

6 = 4+

= 16 + 4 = 20.

- Simpul 7

Kegiatan 2 merupakan kegiatan semu yang terjadi selama kegiatan I

berlangsung hingga selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 7 adalah

₇ = ₄+

= 16 + 7 = 23.

(53)

- Simpul 8

Kegiatan H dapat dimulai setelah kegiatan G dan ₁ selesai dilakukan. ₁ merupakan kegiatan semu yang terjadi selama kegiatan E berlangsung hingga selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 8 adalah ₈ = 5 + , 6+ 1

= 22 + 7 , 20 + 0

= 29 , 20 } = 29.

- Simpul 9

Kegiatan J dapat dimulai setelah kegiatan F dan 2 selesai dilakukan, sehingga

waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 9 adalah 9 = 6+ , 7+ 2

= 20 + 5 , 23 + 0

= 25 , 23 } = 25.

- Simpul 10

Kegiatan M dapat dimulai setelah kegiatan H selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 10 adalah

₁₀ = 8+

= 29 + 9

= 38.

- Simpul 11

Kegiatan K dan L dapat dimulai setelah kegiatan J selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 11 adalah

5 = 9+

= 25 + 8

(54)

- Simpul 12

Kegiatan ₃ merupakan kegiatan semu yang terjadi selama kegiatan L berlangsung hingga selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 12 adalah

₇ = 11 +

= 33 + 5 = 38.

- Simpul 13

Kegiatan N dapat dimulai setelah kegiatan K dan ₃ selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 13 adalah

₁₃ = ₁₁+ , ₁₂ + ₃

= 33 + 4 , 38 + 0

= 37 , 38 } = 38.

- Simpul 14

Simpul 14 adalah simpul terakhir dalam penyelesaian proyek ini dan merupakan waktu terlama yang di pakai dalam kegiatan M dan N, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 13 adalah

₁₄ = ₁₀+ , ₁₃+

= 38 + 2 , 38 + 6

= 40 , 44 } = 44.

Di bawah ini dapat menjelaskan hasil dari perhitungan maju yang telah di peroleh.

(55)

G 7 H 9 M 2

D N

D 6 ₁

K 4 A 2 B 4 C 10 E 4 F 5 J 8 K 4

I 7 ₂ L 5 ₃

Gambar 3.2 Jaringan Proyek dan ES

Sedangkan hitungan mundur digunakan untuk mencari nilai waktu selesai terlama (LF) . Hitungan mundur di mulai dengan menghitung dari simpul terakhir sampai ke simpul awal.

- Simpul 14

Simpul 14 adalah simpul terakhir dan besarnya waktu selesai terlama untuk simpul ini sama dengan waktu mulai tercepatnya. ₁₄ = ₁₄₌ = 44

- Simpul 13

13 = 14 − = 44−6 = 38.

- Simpul 12

12 = 13 − 3 = 38−0 = 38.

- Simpul 11

11 = min 13 − , 12−

= min 38−4 , 38−5

= min 34 , 33 = 33.

- Simpul 10

10 = 14 − = 44−2 = 42.

- Simpul 9

9= 11 − = 33−8 = 25.

- Simpul 8

(56)

- Simpul 7

7 = 9− 3 = 25−0 = 25.

- Simpul 6

6 = min 8− 1 , 9−

= min 33−0 , 25−5

= min 33 , 20

= 20.

- Simpul 5

5 = 8− = 33−7 = 26.

- Simpul 4

4 = min 5− , 6− , 7−

= min 26−6 , 20−4 , 25−7

= min 20 , 16 , (18)

= 16.

- Simpul 3

3 = 4− = 16−10 = 6.

- Simpul 2

2 = 3− = 6−4 = 2.

- Simpul 1

1 = 2 − = 2−2 = 0.

(57)

G 7 H 9 M 2

D 6 ₁ N 6

A 2 B 4 C 10 E 4 F 5 J 8 K 4

I 7 ₂ L 5

Gambar 3.3 Jaringan Proyek, ES dan LF

Jalur kritis selanjutnya dapat ditentukan dari simpul kejadian yang mempunyai waktu mulai tercepat (ES) yang sama dengan waktu selesai terlama (LF) dan ditunjukkan pada garis yang dipertebal seperti pada gambar di atas.

ES1 = LF1 ES2 = LF2 ES3 = LF3 ES₄ = LF₄ ES5 ≠LF5 ES6 = LF6 ES₇ ≠LF₇ ES8 ≠LF8 ES9= LF9 ES₁₀ ≠LF₁₀ ES11 = LF11 ES12 = LF12 ES₁₃ = LF₁₃ ES14 = LF14

(58)

yaitu pada kegiatan A, B, C, E, F, J, L, dan N dengan waktu penyelesaian 44 minggu. Peristiwa pada bagian kritis tidak memiliki waktu yang longgar dalam pengerjaannya atau dengan kata lain harus tepat waktu agar kegiatan lain tidak terganggu. Aktivitas

dummy tidak memiliki durasi dan durasi total untuk penyelesaian proyek adalah 44 minggu berdasarkan jalur kritis

3.3 Menghitung Nilai Harapan dan Variansi

Untuk lebih meyakinkan bahwa waktu pengerjaan dalam kasus ini benar-benar dapat selesai dalam 44 minggu maka manajer proyek memperkirakan tiga waktu kegiatan yaitu waktu kegiatan optimis (o), waktu kegiatan yang paling mungkin (m) dan waktu kegiatan pesimis (p). Setelah diperoleh data dari tiga estimasi waktu dalam proyek, kemudian dilakukan perhitungan nilai harapan dan variansi.Nilai harapan merupakan taksiran waktu penyelesaian dari masing-masing kegiatan. Sedangkan taksiran waktu penyelesaian kegiatan adalah nilai harapan distribusi probabilitas waktu penyelesaian kegiatan yang mengikuti distribusi Beta. Tabel 3.2 akan menunjukkan perkiraan waktu tersebut.

Tabel 3.2 Perkiraan Waktu Optimis, Paling Mungkin dan Pesimis

Kegiatan Waktu Optimis (o) Waktu Termungkin (m) Waktu Pesimis (p) Mean

�= + 4 +

Variansi

�2 ₌ −

6 2

A 1 2 3 2 1

B 2 ₃1

2 8 4 1

C 6 9 18 10 4

D 4 51

2 10 6 1

E 1 41

2 5 4

4 9

(59)

F 4 4 10 5 1

G 5 61

2 11 7 1

H 5 8 17 9 4

I 3 ₇1

2 9 7 1

J 3 9 9 8 1

K 4 4 4 4 0

L 1 ₅1

2 7 5 1

M 1 2 3 2 1

N 5 51

2 9 6

4 9

Kemudian akan ditentukan perkiraan waktu penyelesaian keseluruhan proyek dari total rata-rata yang ada pada jalur kritis.

Tabel 3.3 Perkiraan Waktu Penyelesaian Proyek pada Jalur Kritis

Kegiatan dalam Jalur

Kritis Rata-rata Variansi

A 2 1

B 4 1

C 10 4

E 4 4

F 5 1

J 8 1

(60)

N 6 4

Durasi Proyek � = 44 �2 _{= 9}

Dari tabel dapat dilihat bahwa jalur kritis pada kegiatan A,, B, C, E, F, J, L dan N mempunyai waktu penyelesain selama 44 minggu. Hal ini menyatakan bahwa kegiatan-kegiatan ini harus lebih diperhatikan. Karena jika terjadi keterlambatan pada kegiatan kritis, mengakibatkan keterlambatan pada penyelesaian keseluruhan proyek.

Jika T menyatakan lamanya penyelesaian proyek ( dalam minggu), yang mendekati distribusi normal dengan rata-rata � = 44, variansi �2 _{= 9}_dan_d_adalah

batas penyelesaian proyek = 47 minggu, maka standar deviasi � = 3.

� = −�_� = 47−₃44= 1

Dengan melihat tabel kurva normal, maka akan diperoleh nilai _� adalah 0,1587. Dengan menggunakan pendekatan probabilistik maka peluang proyek selesai kurang dari 47 minggu adalah

� = � _�

= 1− � > _� = 1−0,1587 ≈0,84.

3.4 Pertimbangan Waktu-Biaya

Di bawah ini akan ditentukan estimasi waktu percepatan dan estimasi biaya percepatan yang selayaknya dari proyek.

Tabel 3.4 Estimasi Waktu Percepatan dan Estimasi Biaya Percepatan

Nama Kegiatan

Waktu normal (minggu)

Waktu dipercepat (minggu)

Biaya normal ($)

Biaya dipercepat ($)

A 2 1 180.000 280.000

B 4 2 320.000 420.000

(61)

D 6 4 260.000 340.000

E 4 3 410.000 570.000

F 5 3 180.000 260.000

G 7 4 900.000 1.020.000

H 9 6 200.000 380.000

I 7 5 210.000 270.000

J 8 6 430.000 490.000

K 4 3 160.000 200.000

L 5 3 250.000 350.000

M 2 1 100.000 200.000

N 6 3 330.000 510.000

Masing-masing kegiatan yang telah disajikan pada tabel diatas ini dihitung untuk mencari nilai slope biaya – waktu.

Tabel 3.5 Slope Biaya-Waktu

Nama Kegiatan Waktu Percepatan

(minggu) Penambahan Biaya Percepatan ($)

A 1 100,000

B 2 50,000

C 3 80,000

D 2 40,000

E 1 160,000

F 2 40,000

G 3 40,000

H 3 60,000

I 2 30,000

J 2 30,000

K 1 40,000

L 2 50,000

M 1 100,000

(62)

3.5 Penggunaan Program Linier

Untuk mencari nilai minimum dari percepatan kegiatan di atas maka dapat dituliskan fungsi tujuannya sebagai berikut:

= �

= 100,000� + 50,000� + 80,000� + 40,000� + 160,000� +

40,000� + 40,000� + 60,000� + 30,000� + 30,000� + 40,000� + 50,000� + 100,000� + 60,000�

Kendala:

Kendala pengurangan maksimum

� 1

� 2

� 3

� 2

� 1

� 2

� 3

� 2

� 1

� 2

� 1

� 3

Kendala nonnegatif

� = 0,� 0,…, � 0

�1 = 0,�2 0 ,… ,�14 0

(63)

Kendala waktu awal

�2 �1 + 2− � atau �2+� −0 2 �3 �2 + 4− � atau �3−�2+� 4 �4 �3+ 10− � atau �4− �3+� 10 �5 �3+ 10− � atau �5− �3+� 10 �6 �5+ 4− � atau �6− �5+� 4 �7 �4+ 6− � atau �7− �4+� 6 �9 �3+ 10− � atau �9− �3+� 10 �11 �10+ 8− � atau �11− �10 +� 8 �12 �10+ 8− � atau �12− �10 +� 8 �13 �8+ 9− � atau �13− �8+� 9 �8 �7+ 7− � atau �8− �7+� 7 �8 �5+ 4− � atau �8− �5+� 4 �10 �6+ 5− � atau �10 − �6+� 5 �10 �9+ 7− � atau �10 − �9+� 7 �14 �11+ 4− � atau �14− �11+� 4 �14 �12+ 5− � atau �14 − �12 +� 5

� �13 + 2− � atau � − �13+� 2 � �14 + 6− � atau � − �14 +� 6

Kendala jangka waktu proyek X FINISH 40

(64)

Dengan menggunakan software lindo, diperoleh penyelesaian model matematika sebagai berikut:

Tabel 3.6 Solusi Model

Variable Value Reduced Cost

Z 140000 _

� 0 60000

� 0 10000

� 0 40000

� 0 120000

� 2 0

� 0 40000

� 0 60000

� 0 30000

� 2 0

� 0 40000

� 0 10000

� 0 100000

� 0 20000

�2 2 0

�3 6 0

�4 16 0

�5 16 0

�6 20 0

�7 22 0

�8 29 0

�9 16 0

�10 23 0

�11 29 0

(65)

�13 38 0

�14 34 0

X FINISH 40 0

Hasil yang diperoleh adalah :

Waktu untuk kegiatan F yaitu memasang pipa bagian dalam dapat dipercepat selama 2 minggu dan kegiatan J yaitu membentuk papan gypsum dapat dipercepat selama 2 minggu. Sedangkan untuk kegiatan lain tidak perlu dipercepat. Kegiatan-kegiatan yang tidak dipercepat yaitu penggalian, peletakan fondasi, pendirian dinding kasar, pendirian atap, pemasangan pipa bagian luar, pendirian dinding luar, pengecetan, pemasangan alat-alat listrik, pemasangan lantai, pengecetan bagian dalam, pemasangan perlengkapan luar, dan pemasangan perlengkapan dalam. Penambahan biaya yang harus dikeluarkan pemegang proyek adalah $ 140.000.

Dampak yang terjadi jika pemasangan pipa bagian dalam dipercepat adalah dapat mempercepat waktu mulai untuk pembentukan papan gypsum dari yang seharusnya dimulai hari ke-25 menjadi hari ke-23, sedangkan jika pembentukan papan gypsum dipercepat dapat mempercepat waktu mulai untuk pemasangan lantai dari yang seharusnya hari ke-33 menjadi hari ke-29.

(66)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. Melalui perhitungan maju dan perhitungan mundur penulis mendapat hasil akhir dalam penyelesaian kasus yaitu 44 minggu.

2. Dengan menggunakan pendekatan probabilistik , maka waktu yang disediakan untuk menyelesaikan keseluruhan proyek akan lebih lama.

3. Probabilitas selesainya proyek dalam 44 minggu adalah 84%.

4. Untuk mempersingkat proyek menjadi 40 minggu dilakukan dengan menyingkat 2 minggu pemasangan pipa bagian dalam dan menyingkat 2 minggu pembentukan papan gypsum.

5. Biaya percepatan minimal yang diperoleh dari perhitungan ini adalah $ 140.000. 6. Pemegang proyek berhasil mendapatkan bonus insentif.

7. Total bonus yang diterima setelah dikurangi biaya yang diperlukan untuk percepatan proyek adalah $ 10.000.

(67)

4.2 Saran

Pemegang proyek sebaiknya mempercepat kegiatan pemasangan pipa bagian dalam dan kegiatan pembentukan papan gypsum dengan mengeluarkan biaya tambahan sebesar $140.000 untuk biaya percepatan proyek . Tulisan ini berupa literatur, ada baiknya menerapkan tulisan ini dalam kehidupan nyata agar lebih bermanfaat dan mendapatkan referensi yang terbaik untuk mencari keputusan.

(1)

Dengan menggunakan software lindo, diperoleh penyelesaian model matematika sebagai berikut:

Tabel 3.6 Solusi Model

Variable Value Reduced Cost

Z 140000 _

� 0 60000

� 0 10000

� 0 40000

� 0 120000

� 2 0

� 0 40000

� 0 60000

� 0 30000

� 2 0

� 0 40000

� 0 10000

� 0 100000

� 0 20000

�2 2 0

�3 6 0

�4 16 0

�5 16 0

�6 20 0

�7 22 0

�8 29 0

�9 16 0

�10 23 0

�11 29 0

�12 29 0

(2)

�13 38 0

�14 34 0

X FINISH 40 0

Hasil yang diperoleh adalah :

(3)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. Melalui perhitungan maju dan perhitungan mundur penulis mendapat hasil akhir dalam penyelesaian kasus yaitu 44 minggu.

2. Dengan menggunakan pendekatan probabilistik , maka waktu yang disediakan untuk menyelesaikan keseluruhan proyek akan lebih lama.

3. Probabilitas selesainya proyek dalam 44 minggu adalah 84%.

4. Untuk mempersingkat proyek menjadi 40 minggu dilakukan dengan menyingkat 2 minggu pemasangan pipa bagian dalam dan menyingkat 2 minggu pembentukan papan gypsum.

5. Biaya percepatan minimal yang diperoleh dari perhitungan ini adalah $ 140.000. 6. Pemegang proyek berhasil mendapatkan bonus insentif.

7. Total bonus yang diterima setelah dikurangi biaya yang diperlukan untuk percepatan proyek adalah $ 10.000.

(4)

4.2 Saran

(5)

DAFTAR PUSTAKA

Hasbar, “Teknik Penjadwalan dengan Menggunakan Metode PERT” akses terakhir 11 Desember 2011.

http://highered.ncgraw-hill.com/sites/dl/free/0073017795/161272/hil61217_ch22.pdf. Diakses tanggal 9 Agustus 2012.

Morris, Peter.W.G dan Jeffrey K Pinto, 2007,“The wiley Guide to Project Control”, John Wiley & Sons, INC

Mustafa, Zainal EQ,MM dan Ir. Ali Parkhan,2000, “Belajar Cepat Linear Programming” , Yogyakarta: Ekonisia.

Santoso, Budi, 2003,“ Manajemen Proyek”, Surabaya: Graha Ilmu.

Setianingrum, Ginanjar,”Analisis dan Simulasi Percepatan PERT”, akses terahkir 7 Juni 2012.

Siringoringo, Hotniar, “Metode Simpleks”.

Starr, Martin K, 2002, “Operations Management; A systems Approach”, Washington: International Thomson Publishing Company.

Supranto, Johannes, 1988, “Riset Operasi”, UI-Press.

Tallor III, Bernard W, 2001,“ Sains Manajemen"Buku 2, Jakarta: Salemba Emban Patria.

(6)

Lampiran 1. Kurva dan Tabel Standar Deviasi Distribusi Normal

Cumulative from mean (0 to Z)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.1 0.03983 0.04380 0.04776 0.05172 0.05567 0.05962 0.06356 0.06749 0.07142 0.07535 0.2 0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0.11026 0.11409 0.3 0.11791 0.12172 0.12552 0.12930 0.13307 0.13683 0.14058 0.14431 0.14803 0.15173 0.4 0.15542 0.15910 0.16276 0.16640 0.17003 0.17364 0.17724 0.18082 0.18439 0.18793 0.5 0.19146 0.19497 0.19847 0.20194 0.20540 0.20884 0.21226 0.21566 0.21904 0.22240 0.6 0.22575 0.22907 0.23237 0.23565 0.23891 0.24215 0.24537 0.24857 0.25175 0.25490 0.7 0.25804 0.26115 0.26424 0.26730 0.27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.28230 0.28524 0.8 0.28814 0.29103 0.29389 0.29673 0.29955 0.30234 0.30511 0.30785 0.31057 0.31327 0.9 0.31594 0.31859 0.32121 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0.33398 0.33646 0.33891 1.0 0.34134 0.34375 0.34614 0.34849 0.35083 0.35314 0.35543 0.35769 0.35993 0.36214 1.1 0.36433 0.36650 0.36864 0.37076 0.37286 0.37493 0.37698 0.37900 0.38100 0.38298 1.2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0.39796 0.39973 0.40147 1.3 0.40320 0.40490 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41308 0.41466 0.41621 0.41774 1.4 0.41924 0.42073 0.42220 0.42364 0.42507 0.42647 0.42785 0.42922 0.43056 0.43189 1.5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.44408 1.6 0.44520 0.44630 0.44738 0.44845 0.44950 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.45449 1.7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46080 0.46164 0.46246 0.46327 1.8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46638 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.47062 1.9 0.47128 0.47193 0.47257 0.47320 0.47381 0.47441 0.47500 0.47558 0.47615 0.47670 2.0 0.47725 0.47778 0.47831 0.47882 0.47932 0.47982 0.48030 0.48077 0.48124 0.48169 2.1 0.48214 0.48257 0.48300 0.48341 0.48382 0.48422 0.48461 0.48500 0.48537 0.48574 2.2 0.48610 0.48645 0.48679 0.48713 0.48745 0.48778 0.48809 0.48840 0.48870 0.48899 2.3 0.48928 0.48956 0.48983 0.49010 0.49036 0.49061 0.49086 0.49111 0.49134 0.49158 2.4 0.49180 0.49202 0.49224 0.49245 0.49266 0.49286 0.49305 0.49324 0.49343 0.49361 2.5 0.49379 0.49396 0.49413 0.49430 0.49446 0.49461 0.49477 0.49492 0.49506 0.49520 2.6 0.49534 0.49547 0.49560 0.49573 0.49585 0.49598 0.49609 0.49621 0.49632 0.49643 2.7 0.49653 0.49664 0.49674 0.49683 0.49693 0.49702 0.49711 0.49720 0.49728 0.49736 2.8 0.49744 0.49752 0.49760 0.49767 0.49774 0.49781 0.49788 0.49795 0.49801 0.49807 2.9 0.49813 0.49819 0.49825 0.49831 0.49836 0.49841 0.49846 0.49851 0.49856 0.49861

Studi Aplikasi Cpm Dengan Program Linier Untuk Optimisasi Biaya Jaringan Kerja