Nilai Harapan dan Variansi Gambaran Contoh Kasus

Slope Biaya = Biaya Dipercepat −Biaya Normal Waktu Normal −Waktu Dipercepat = Rp 50.000,00 −Rp40.000,00 3 −2 = Rp 10.000,00 .

2.5 Nilai Harapan dan Variansi

Tiga estimasi waktu kegiatan dalam menyelesaikan permasalahan yang memiliki waktu probabilistik yaitu waktu kegiatan optimis o, waktu kegiatan yang paling mungkin m dan waktu kegiatan pesimis p. Dua asumsi yang dipakai untuk mengubah o, m dan p menjadi taksiran nilai harapan dan variansi � 2 dari waktu yang dibutuhkan suatu kegiatan yaitu bahwa standar deviasi sama dengan seperenam dari rentang kebutuhan waktu yang mungkin, sehingga untuk variansinya dapat dituliskan menjadi � 2 = − 6 2 sedangkan nilai harapan suatu proyek dapat ditentukan dengan rumus = + +4 6 .

2.6 Program Linier

Program Linier Linear Programming merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika. Asumsi-asumsi yang terkandung dalam formulasi program linier untuk masalah optimasi sebagai model program linier adalah sebagai berikut: a. Propertionality Asumsi ini menyatakan bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas, akan berubah secara proposianal dengan perubahan tingkat kegiatan. Universitas Sumatera Utara Misalnya: = 1 � 1 + 2 � 2 + + � Setiap pertambahan pengurangan 1 unit � 1 akan menaikkan menurunkan nilai Z dengan 1 , demikian juga untuk yang lain mempunyai sifat yang sama. b. Additivity Asumsi ini menyatakan bahwa nilai fungsi tujuan setiap kegiatan tidak saling mempengaruhi atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikkan nilai fungsi tujuan Z yang diakibatkan oleh kenaikkan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain atau dapat dikatakan bahwa tidak ada korelasi antara satu kegiatan dengan kegiatan lain. Misalnya: = 8 � 1 + 10 � 2 Untuk � 1 = 6 dan � 2 = 8 = 8.6 + 10.8 = 128 Jika � 1 bertambah berkurang, penambahan pengurangan � 1 dapat langsung ditambahkan dikurangkan pada nilai Z, tanpa mempengaruhi bagian Z yang diperoleh dari � 2 . c. Disibility Asumsi ini menyatakan bahwa nilai keluaran output yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pacahan. d. Deterministic Certainty Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program linier , , dapat diperkirakan dengan pasti. Dalam kenyataannya, parameter model jarang bersifat deterministic, karena keadaan masa depan jarang diketahui dengan pasti. Untuk mengatasi ketidakpastian parameter, dikembangkan suatu teknik analisis, guna menguji nilai solusi, bagaimana kepekaannya terhadap perubahan-perubahan parameter. Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka dibutuhkan lima syarat yang harus dipenuhi yaitu: Universitas Sumatera Utara a. Tujuan Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan. Fungsi tujuan ini dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungan, dan kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimalkan, atau dampak negatif, kerugian- kerugian risiko, biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin diminimumkan. b. Alternatif Perbandingan Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan; misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah; atau antara alternatif terpadat modal dengan padat karya; atau antara kebijakan A dengan B; atau antara proyeksi permintaan tinggi dengan rendah; dan seterusnya. c. Sumber Daya Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. Misalnya, keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga, keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai kendala atau syarat ikatan. d. Perumusan Kuantitatif Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika. e. Keterkaitaan Peubah Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal-balik, saling menunjang, dan sebagainya Fungsi tujuan: Maksimumkan atau minimumkan = 1 � 1 + 2 � 2 + + � Universitas Sumatera Utara Sumber daya yang membatasi: 11 � 1 + 12 � 2 + + 1 � = 1 21 � 1 + 22 � 2 + + 2 � = 2 1 � 1 + 2 � 2 + + � = � 1 , � 2 , … , � Bentuk di atas juga dapat ditulis sebagai berikut: Fungsi tujuan: Maksimum dan minimumkan: = � =1 Kendala: � =1 = 1,2, … , Dan � 0, = 1,2, … , Simbol � 1 , � 2 , … , � menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol 1 , 2 , … , merupakan konstribusi masing- masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematikanya. Simbol 11 , … , 1 , … merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematikanya. Simbol 1 , 2 , … , menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas. Pertidaksamaan terakhir � 1 , � 2 , … , � 0 menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematika dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematika tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan membuat pemodelan lebih mudah dan menarik. Contoh: Universitas Sumatera Utara : = 170 � 1 + 190 � 2 Dengan kendala: 15 � 2 1050 20 � 1 + 16 � 2 1600 24 � 1 + 30 � 2 2400 � 1 , � 2 Untuk menggambarkan masing-masing persamaan garis adalah dengan menetapkan salah satu variabel dalam suatu persamaan sama dengan nol dan kemudian mencari nilai variabel yang lain. 1 15 � 2 = 1050 � 2 = 70 2 20 � 1 + 16 � 2 = 1600 � 1 = 0 16 � 2 = 1600 � 2 = 100 � 2 = 0 20 � 1 = 1600 � 1 = 80 3 24 � 1 + 30 � 2 = 2400 � 1 = 0 30 � 2 = 2400 � 2 = 80 � 2 = 0 24 � 1 = 2400 � 1 = 100 Universitas Sumatera Utara � 2 120 100 F 80 E A B G 1 60 C 40 20 2 3 D H 20 40 60 80 100 � 1 Gambar 2.6 Grafik Fungsi Tujuan Daerah yang bersamaan memenuhi ketiga kendala, ditunjukkan oleh area yang diarsir yaitu OABCD pada gambar. Bagian yang di arsir ini disebut daerah fisibel fisible solution. Untuk mencari titik yang paling menguntungkan adalah dengan menggambarkan garis fungsi tujuan. Untuk menggambarkan garis fungsi tujuan dalam grafik adalah dengan menggambarkan perbandingan nilai � 1 dan � 2 . Perbandungan nilai � 1 dan � 2 merupakan perbandingan 1 dan 2 . Geser grafik fungsi tujuan tersebut kesemua daerah fisibel. Sebagai pedoman bahwa titik fisibel optimal telah ditemukan adalah ditentukan oleh titik singgung garis fungsi tujuan dengan area yang fisibel, yang terjauh dari origin 0 untuk kasus maksimasi sedangkan untuk kasus minimasi adalah yang paling dekat dengan titik original 0. Universitas Sumatera Utara Solusi optimum untuk kasus diatas adalah pada titik C perpotongan antara kendala 2 dan kendala 3. 20 � 1 + 16 � 2 = 1600 × 6 120 � 1 + 96 � 2 = 9600 24 � 1 + 30 � 2 = 2400 × 5 120 � 1 + 150 � 2 = 1200 -54 � 2 = −2400 � 2 = 4009 20 � 1 + 16 ∙ 4009 = 1600 � 1 = 4009 Z=1704009+19040090=16000

2.6.1 Beberapa Pengertian dalam Program Linier

a. Feasible Solution Feasible Solution adalah suatu solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang ada pada persoalan tersebut. b. In Feasible Solution In Feasible Solution berarti tidak ada titik-titik yang secara serentak memenuhi semua kendala dalam masalah tersebut. Contoh: : = 10 � 1 + 8 � 2 Dengan kendala: 8 � 1 + 10 � 2 40 2 � 1 12 � 2 5 � 1 , � 2 Model di atas dapat ditunjukkan dengan grafik pada gambar 2.6 Universitas Sumatera Utara � 2 6 2 5 3 4 3 2 1 1 � 1 1 2 3 4 5 6 Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution Daerah yang diarsir merupakan daerah hasil. Berdasarkan gambar terlihat bahwa tidak ada daerah yang tidak melanggar salah satu dari tiga batasan tersebut. Sehingga tidak ada daerah yang layak. c. Optimal Solution Optimal Solution adalah feasible solution yang memberikan nilai terbaik bagi fungsi tujuannya. Terbaik diartikan sebagai nilai terbesar apabila fungsi tujuannya maksimasi, dan diartikan sebagai nilai terkecil apabila fungsi tujuannya minimasi. Pada gambar 2.5 titik C memberikan nilai terbesar dibandingkan titik O, A, B dan C. d. Multiple Optimal Solution Multiple Operation Solution terjadi jika fungsi tujuan pada lebih satu titik optimal. Misalnya bila contoh pada Gambar 2.5 fungsi tujuannya semula : = 170 � 1 + 190 � 2 berubah menjadi = 100 � 1 + 80 � 2 , maka akan terdapat Multiple Optimal Solution yang akan ditunjukkan oleh grafik pada gambar 2.7. Universitas Sumatera Utara � 2 120 100 F 80 E A B G 1 60 C 40 20 2 3 D H 20 40 60 80 100 � 1 Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution Daerah feasible dan optimal berimpit dengan batasan dua. Hal ini berarti bahwa titik B dan titik C serta titik-titik yang ada di sepanjang garis tersebut mempunyai nilai Z yang sama dan optimal. Multiple optimal solution akan memberikan keluwesan dalam memilih solusi bagi pengambil keputusan. e. Boundary Equation Boundary Equation terjadi apabila ada kendala dengan tanda sama dengan. f. Corner Point Feasible Solution Corner Point Feasible Solution adalah solusi layak yang terletak pada perpotongan antara dua garis. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah titik O, A, B, C dan D. g. Corner Point Infeasible Solution Corner Point Infeasible Solution adalah titik pada perpotongan dua garis diluar daerah layak. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah E, F, G dan H. h. No Optimal Solution No Optimal Solution terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai penyelesaian optimal. Universitas Sumatera Utara Hal tersebut disebabkan oleh : 1. Tidak ada feasible solution lihat gambar 2.6. 2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z. Contoh yang disebabkan faktor ke-2 adalah sebagai berikut: : = 10 � 1 + 8 � 2 Dengan kendala � 1 4 2 � 1 10 � 1 , � 2 Batasan tersebut dapat ditunjukkan dengan grafik berikut: � 1 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution Pengambilan waktu percepatan crash yang optimal dengan pendekatan Program Linier. Jika � = waktu untuk kejadian i � = waktu untuk kejadian j � = waktu untuk kejadian pada simpul terakhir m = waktu normal untuk aktivitas → = waktu chrashing aktivitas → � = kemungkinan maksimum pengurangan waktu untuk aktivitas → karena crashing maksimum Universitas Sumatera Utara = biaya untuk aktivitas normal → = untuk aktivitas normal → dengan crashing = slope biaya untuk aktivitas → Model umum program linier untuk jaringan ini adalah = � . Untuk kendala yang menjelaskan struktur jaringan dimulai dari event i dengan asumsi bahwa � = 0. Untuk event berikutnya � − � + � � − � + � � − � + � −1 Selanjutnya dengan menggunakan metode simpleks dapat diperoleh jawaban optimalnya. Pendekatan program linier terhadap jaringan kerja dapat dimodelkan kedalam bentuk program linier. Jika dianggap � adalah waktu kejadian simpul terakhir dalam jaringan diatas, yaitu pada simpul m, maka fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai Min Z = � . Selanjutnya dikembangkan hambatan model tersebut. Maka ditentukan waktu untuk aktivitas → sebagai . Kumpulan hambatan yang menyatakan kondisi ini adalah � − � . Maka model umum program linier untuk jaringan ini dapat dirangkum sebagai = � . Dengan kendala: � − � untuk seluruh aktivitas → � , � Diketahui: � = waktu kejadian pada simpul i � = waktu kejadian pada simpul j = waktu aktivitas → = simpul terakhir dalam jaringan Universitas Sumatera Utara 2.5.2 Metode Simpleks Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan variabel- variabel keputusan saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih. Masalah program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel- tabel. Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks 1 … … Jawab Basis Variabel Basis Harga Basis � 1 … � … � � 1 1 11 … 1 … 1 1 � 1 … … � 1 … … − = imbalan 1 − 1 … − … − Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematika persamaan linier, dengan cara mengkonversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan. Agar persamaan garis memenuhi persyaratan pada daerah kelayakan feasible maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan Universitas Sumatera Utara artificial variable pada tiap batasan constraint serta member harga nol pada setiap koefisien c. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut: 1. Untuk batasan bernotasi dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack kedalamnya. 2. Untuk batasan bernotasi dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan mengurangi variabel suplus dan kemudian menambahkan variabel buatan artificial variable kedalamnya. 3. Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan artificial variable kedalamnya. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat –M sebagai harga, dan jika persoalan minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar Big M Method. Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk umum . = 7 � 1 + 3 � 2 Kendala: 4 � 1 + 6 � 2 36 7 � 1 + 5 � 2 = 35 8 � 1 + 4 � 2 32 � 1 , � 2 Bentuk standar persoalan di atas menjadi: . = 7 � 1 + 3 � 2 Kendala: 4 � 1 + 6 � 2 + 1 = 36 7 � 1 + 5 � 2 + 1 = 35 8 � 1 + 4 � 2 − 2 + 2 = 32 � 1 , � 2 Dengan teknik M persamaan di atas menjadi . = 7 � 1 + 3 � 2 + 1 + 2 Kendala: 4 � 1 + 6 � 2 + 1 = 36 Universitas Sumatera Utara 7 � 1 + 5 � 2 + 1 = 35 8 � 1 + 4 � 2 − 2 + 2 = 32 � 1 , � 2 , 1 , 2 , 1 , 2 1. Nilai 1 digantikan dari fungsi kendala kedua. 1 = 35 − 7� 1 − 5� 2 1 berubah menjadi 35 − 7� 1 − 5� 2 = 35 − 7 � 1 − 5 � 2 2. Nilai 2 digantikan dari fungsi kendala kedua. 2 = 32 −8� 1 − 4� 2 + 2 2 berubah menjadi 32−8� 1 − 4� 2 + 2 = 32 − 8 � 1 − 4 � 2 + 2 3. Fungsi tujuan berubah menjadi . = 7 � 1 + 3 � 2 + 35 − 7 � 1 − 5 � 2 + 32 − 8 � 1 − 4 � 2 + 2 = 7 − 15 � 1 + 3 − 9 � 2 + 2 + 67 Lakukan langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks. Tabel awal hingga tabel optimal persoalan dapat dilihat pada tabel berikut: Fungsi tujuan berubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua � kekiri. = 7 − 15 � 1 + 3 − 9 � 2 + 2 + 67 berubah menjadi − 7 − 15 � 1 − 3 − 9 � 2 − 1 = 67 Universitas Sumatera Utara Tabel 2.3 Simpleks Awal Basis Z � 1 � 2 1 1 2 2 Solusi Z 1 15M-7 9M-3 -M 67M 1 4 6 1 36 1 7 5 1 35 2 8 4 -1 1 32 Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, nilai Z dapat diperbaiki dengan meningkatkan nilai � 1 dan � 2 pada persamaan Z menjadi tidak negatif. Untuk itu pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar, gunakan kolom ini sebagai entering variabel. Jika ditemukan lebih dari satu nilai negatif angka terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi sudah optimal. Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan yang nilainya positif terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi telah optimal. Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel yang sebaris. = Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci, maka persoalan tidak memiliki pemecahan. Tabel 2.4 Iterasi 0 Entering Coloumn Basis Z � 2 1 1 2 2 Solusi Rasio Z 1 15M-7 9M-3 -M 67M - 1 4 6 1 36 9 1 7 5 1 35 7 8 4 -1 1 32 4 Persamaan pivot Elemen Pivot Universitas Sumatera Utara Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan element pivot. Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot Karena leaving variablenya 2 dan entering variablenya � 1 , maka gantilah basis 2 dengan � 1 . Persamaan baru = persamaan lama – koefisien kolom entering × persamaan pivot baru. Persamaan dapat diperoleh sebagai berikut: Tabel 2.5 Iterasi 1 Basis Z � 1 1 1 2 2 Solusi Rasio Z 1 3M+12 7M-78 -15M-78 7M+28 - 1 4 1 ½ -12 20 3 32 1 78 -78 7 65 � 1 1 ½ -18 18 4 95 Langkah selanjutnya dapat dilakukan seperti di atas hingga diperoleh hasil optimal. Tabel 2.6 Iterasi 2 Basis Z � 1 � 2 1 1 2 2 Solusi Rasio Z 1 -M-13 -76 -M+76 773 - 1 1 -83 -116 116 43 253 � 2 1 23 712 712 143 - � 2 1 -13 -512 512 53 1 Pada iterasi 2 nilai Z telah tercapai kondisi optimal karena nilai pada garis fungsi tujuan tidak ada yang negatif. Diperoleh nilai � 1 = 5 3 ; � 2 = 14 3 ; 1 = 4 3 = 773 Universitas Sumatera Utara

2.5.3 LINDO

Cara lain yang dapat digunakan dalam mencari solusi dalam program linier adalah dengan menggunakan software. Ada banyak software yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier seperti TORA, LINGO, EXCEL dan banyak lagi yang lainnya. Adapun salah satu software yang sangat mudah digunakan untuk masalah pemrograman linier adalah dengan menggunakan Lindo. Lindo Linear Interaktive Discrete Optimizer adalah software yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Prinsip kerja utama Lindo adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Model Lindo minimal memiliki 3 syarat: 1. Menentukan fungsi objektif. Ada dua jenis tujuan yaitu maksimasi MAX dan minimasi MIN. 2. Variabel. Lindo tidak dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam formula. 3. Batasan fungsi kendala. Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya diketikkan Subject to atau ST untuk mengawali pengetikan batasan. Pada akhir batasan diketik kata END. Setelah formula diketikkan dapat dicari solusinya dengan mimilih perintah solve atau mengklik tombol solve pada toolbar. Universitas Sumatera Utara BAB 3 PEMBAHASAN

3.1 Gambaran Contoh Kasus

Sebuah perusahaan konstruksi baru memenangkan tawaran 5.400.000 untuk membangun pabrik baru untuk produksi besar. Proses produksi membutuhkan pabrik untuk operasi selama setahun. Oleh karena itu, kontrak mencakup ketentuan-ketentuan berikut:  Hukuman 300.000 jika pembangunan belum selesai dalam tenggang waktu 47 minggu dari sekarang.  Memberikan tambahan insentif untuk konstruksi cepat, bonus 150.000 akan dibayar jika pabrik selesai dalam 40 minggu. Pemegang proyek menetapkan manajer konstruksi yang terbaik untuk membantu memastikan bahwa setiap kegiatan tetap pada jadwal. Manajer konstruksi melihat jauh kedepan terhadap tantangan untuk membawa proyek tetap pada jadwal, bahkan mungkin menyelesaikan lebih awal. Manajer konstruksi akan mengatur jumlah pengawai-pengawai untuk melaksanakan aktivitas kontruksi yang berbeda pada waktu yang berbeda pula. Tabel 3.1 menunjukkan daftar dari aktivitas-aktivitas berbeda yang disusun. Universitas Sumatera Utara Tabel 3.1 Nama, Waktu dan Kegiatan yang Mendahului Simbol Nama Kegiatan Perkiraan Waktu normal minggu Kegiatan yang mendahului A Penggalian 2 - B Meletakkan Fondasi 4 A C Mendirikan dinding kasar 10 B D Mendirikan atap 6 C E Memasang pipa bagian luar 4 C F Memasang pipa bagian dalam 5 E G Mendirikan dinding luar 7 D H Pengecetan 9 E, G I Pemasangan alat-alat listrik 7 C J Membentuk papan gypsum 8 F, I K Pemasangan lantai 4 J L Pengecetan bagian dalam 5 J M Pemasangan perlengkapan luar 2 H N Pemasangan perlengkapan dalam 6 K, L Kegiatan yang mendahului adalah kegiatan yang harus diselesaikan paling lambat saat awal kegiatan tertentu dari setiap aktivitas yang diberikan demikian pula, kegiatan tertentu disebut penerus dari setiap pendahulu terdekatnya. Sebagai contoh, penggalian tidak perlu menunggu untuk aktivitas lainnya, penggalian harus diselesaikan sebelum mulai meletakkan dasar, fondasi harus benar-benar diletakkan sebelum mulai memasang dinding kasar, dll. Ketika sebuah aktivitas memiliki lebih dari satu pendahulu, semua kegiatan pendahulu harus selesai. Dalam kasus ini jaringan memainkan peran kunci dalam menangani proyek. Jaringan kerja dapat menunjukkan hubungan antara kegiatan dan menampilkan rencana keseluruhan dalam proyek tersebut. Universitas Sumatera Utara

3.2 Penyelesaian Jaringan Kerja