Solusi optimum untuk kasus diatas adalah pada titik C perpotongan antara kendala 2 dan kendala 3.
20 �
1
+ 16 �
2
= 1600 × 6
120 �
1
+ 96 �
2
= 9600 24
�
1
+ 30 �
2
= 2400 × 5
120 �
1
+ 150 �
2
= 1200 -54
�
2
= −2400
�
2
= 4009 20
�
1
+ 16 ∙ 4009 = 1600
�
1
= 4009 Z=1704009+19040090=16000
2.6.1 Beberapa Pengertian dalam Program Linier
a. Feasible Solution
Feasible Solution adalah suatu solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang ada pada persoalan tersebut.
b. In Feasible Solution
In Feasible Solution berarti tidak ada titik-titik yang secara serentak memenuhi semua kendala dalam masalah tersebut.
Contoh: : = 10
�
1
+ 8 �
2
Dengan kendala: 8
�
1
+ 10 �
2
40 2
�
1
12 �
2
5 �
1
, �
2
Model di atas dapat ditunjukkan dengan grafik pada gambar 2.6
Universitas Sumatera Utara
�
2
6 2
5 3
4 3
2 1
1 �
1
1 2
3 4 5 6
Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution
Daerah yang diarsir merupakan daerah hasil. Berdasarkan gambar terlihat bahwa tidak ada daerah yang tidak melanggar salah satu dari tiga batasan
tersebut. Sehingga tidak ada daerah yang layak. c.
Optimal Solution Optimal Solution adalah feasible solution yang memberikan nilai terbaik bagi
fungsi tujuannya. Terbaik diartikan sebagai nilai terbesar apabila fungsi tujuannya maksimasi, dan diartikan sebagai nilai terkecil apabila fungsi
tujuannya minimasi. Pada gambar 2.5 titik C memberikan nilai terbesar dibandingkan titik O, A, B dan C.
d. Multiple Optimal Solution
Multiple Operation Solution terjadi jika fungsi tujuan pada lebih satu titik optimal. Misalnya bila contoh pada Gambar 2.5 fungsi tujuannya semula :
= 170 �
1
+ 190 �
2
berubah menjadi = 100
�
1
+ 80 �
2
, maka akan terdapat Multiple Optimal Solution yang akan ditunjukkan oleh grafik pada
gambar 2.7.
Universitas Sumatera Utara
�
2
120 100 F
80 E A B G
1 60
C 40
20 2 3
D H
20 40
60 80 100 �
1
Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution
Daerah feasible dan optimal berimpit dengan batasan dua. Hal ini berarti bahwa titik B dan titik C serta titik-titik yang ada di sepanjang garis tersebut
mempunyai nilai Z yang sama dan optimal. Multiple optimal solution akan memberikan keluwesan dalam memilih solusi bagi pengambil keputusan.
e. Boundary Equation
Boundary Equation terjadi apabila ada kendala dengan tanda sama dengan. f.
Corner Point Feasible Solution Corner Point Feasible Solution adalah solusi layak yang terletak pada
perpotongan antara dua garis. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah titik O, A, B, C dan D.
g. Corner Point Infeasible Solution
Corner Point Infeasible Solution adalah titik pada perpotongan dua garis diluar daerah layak. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah E, F, G dan H.
h. No Optimal Solution
No Optimal Solution terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai penyelesaian optimal.
Universitas Sumatera Utara
Hal tersebut disebabkan oleh : 1.
Tidak ada feasible solution lihat gambar 2.6. 2.
Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z. Contoh yang disebabkan faktor ke-2 adalah sebagai berikut:
: = 10 �
1
+ 8 �
2
Dengan kendala �
1
4 2
�
1
10 �
1
, �
2
Batasan tersebut dapat ditunjukkan dengan grafik berikut: �
1
6 5
4 3
2 1
0 1 2
3 4 5
6
Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution
Pengambilan waktu percepatan crash yang optimal dengan pendekatan Program Linier.
Jika �
= waktu untuk kejadian i �
= waktu untuk kejadian j � = waktu untuk kejadian pada simpul terakhir m
= waktu normal untuk aktivitas →
= waktu chrashing aktivitas →
� = kemungkinan maksimum pengurangan waktu untuk aktivitas
→ karena crashing maksimum
Universitas Sumatera Utara
= biaya untuk aktivitas normal →
= untuk aktivitas normal → dengan crashing
= slope biaya untuk aktivitas →
Model umum program linier untuk jaringan ini adalah =
� . Untuk kendala yang menjelaskan struktur jaringan dimulai dari event i dengan asumsi bahwa
� = 0. Untuk event berikutnya
� − � + �
� − � + �
� − � + �
−1
Selanjutnya dengan menggunakan metode simpleks dapat diperoleh jawaban optimalnya. Pendekatan program linier terhadap jaringan kerja dapat dimodelkan
kedalam bentuk program linier.
Jika dianggap � adalah waktu kejadian simpul terakhir dalam jaringan diatas,
yaitu pada simpul m, maka fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai Min Z = � .
Selanjutnya dikembangkan hambatan model tersebut. Maka ditentukan waktu untuk aktivitas
→ sebagai . Kumpulan hambatan yang menyatakan kondisi ini adalah � − �
. Maka model umum program linier untuk jaringan ini dapat dirangkum sebagai
= � .
Dengan kendala: � − �
untuk seluruh aktivitas →
� , � Diketahui:
� = waktu kejadian pada simpul i
� = waktu kejadian pada simpul j
= waktu aktivitas →
= simpul terakhir dalam jaringan
Universitas Sumatera Utara
2.5.2 Metode Simpleks
Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan variabel- variabel keputusan saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat
lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi
dari tiga variabel atau lebih.
Masalah program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang
dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian
karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel- tabel.
Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks
1
… …
Jawab Basis
Variabel Basis
Harga Basis
�
1
… �
… �
�
1 1
11
…
1
…
1 1
�
1
… …
�
1
… …
− = imbalan
1
−
1
… −
… −
Sebelum menyelesaikan
suatu tabel
simpleks terlebih
dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model
matematika persamaan linier, dengan cara mengkonversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan. Agar persamaan garis memenuhi persyaratan pada daerah
kelayakan feasible maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan
Universitas Sumatera Utara
artificial variable pada tiap batasan constraint serta member harga nol pada setiap koefisien c. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
1. Untuk batasan bernotasi
dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack kedalamnya.
2. Untuk batasan bernotasi
dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan mengurangi variabel suplus dan kemudian menambahkan variabel
buatan artificial variable kedalamnya. 3.
Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan artificial variable kedalamnya.
Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel
buatan dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat –M sebagai harga,
dan jika persoalan minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar Big M Method.
Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk umum
. = 7
�
1
+ 3 �
2
Kendala: 4 �
1
+ 6 �
2
36 7
�
1
+ 5 �
2
= 35 8
�
1
+ 4 �
2
32 �
1
, �
2
Bentuk standar persoalan di atas menjadi: .
= 7 �
1
+ 3 �
2
Kendala: 4 �
1
+ 6 �
2
+
1
= 36 7
�
1
+ 5 �
2
+
1
= 35 8
�
1
+ 4 �
2
−
2
+
2
= 32 �
1
, �
2
Dengan teknik M persamaan di atas menjadi .
= 7 �
1
+ 3 �
2
+
1
+
2
Kendala: 4 �
1
+ 6 �
2
+
1
= 36
Universitas Sumatera Utara
7 �
1
+ 5 �
2
+
1
= 35 8
�
1
+ 4 �
2
−
2
+
2
= 32 �
1
, �
2
,
1
,
2
,
1
,
2
1. Nilai
1
digantikan dari fungsi kendala kedua.
1
= 35 − 7�
1
− 5�
2 1
berubah menjadi 35 − 7�
1
− 5�
2
= 35 − 7 �
1
− 5 �
2
2. Nilai
2
digantikan dari fungsi kendala kedua.
2
= 32 −8�
1
− 4�
2
+
2 2
berubah menjadi 32−8�
1
− 4�
2
+
2
= 32 − 8 �
1
− 4 �
2
+
2
3. Fungsi tujuan berubah menjadi
. = 7
�
1
+ 3 �
2
+ 35 − 7 �
1
− 5 �
2
+ 32 − 8 �
1
− 4 �
2
+
2
= 7 − 15 �
1
+ 3 − 9 �
2
+
2
+ 67
Lakukan langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks. Tabel awal hingga tabel optimal persoalan dapat dilihat pada tabel berikut:
Fungsi tujuan berubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua �
kekiri. =
7 − 15 �
1
+ 3 − 9 �
2
+
2
+ 67 berubah menjadi
− 7 − 15 �
1
− 3 − 9 �
2
−
1
= 67
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.3 Simpleks Awal
Basis Z
�
1
�
2 1
1 2
2
Solusi Z
1 15M-7
9M-3 -M
67M
1
4 6
1 36
1
7 5
1 35
2
8 4
-1 1
32
Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, nilai Z dapat diperbaiki dengan meningkatkan nilai
�
1
dan �
2
pada persamaan Z menjadi tidak negatif. Untuk itu pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar, gunakan kolom
ini sebagai entering variabel. Jika ditemukan lebih dari satu nilai negatif angka terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi
sudah optimal. Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan yang nilainya positif terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi
telah optimal.
Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel
yang sebaris. =
Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci, maka persoalan tidak memiliki pemecahan.
Tabel 2.4 Iterasi 0
Entering Coloumn Basis
Z �
2 1
1 2
2
Solusi Rasio
Z 1
15M-7 9M-3
-M 67M
-
1
4 6
1 36
9
1
7
5 1
35 7
8 4
-1 1
32 4
Persamaan pivot Elemen Pivot
Universitas Sumatera Utara
Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada
perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan element pivot.
Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot Karena leaving variablenya
2
dan entering variablenya �
1
, maka gantilah basis
2
dengan �
1
.
Persamaan baru = persamaan lama – koefisien kolom entering × persamaan
pivot baru. Persamaan dapat diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.5 Iterasi 1
Basis Z
�
1 1
1 2
2
Solusi Rasio
Z 1
3M+12 7M-78
-15M-78 7M+28
-
1
4
1 ½
-12 20
3
32 1
78 -78
7 65
�
1
1 ½
-18 18
4 95
Langkah selanjutnya dapat dilakukan seperti di atas hingga diperoleh hasil
optimal.
Tabel 2.6 Iterasi 2
Basis Z
�
1
�
2 1
1 2
2
Solusi Rasio
Z 1
-M-13 -76
-M+76 773
-
1
1 -83
-116 116
43 253
�
2
1 23
712 712
143 -
�
2
1 -13
-512 512
53 1
Pada iterasi 2 nilai Z telah tercapai kondisi optimal karena nilai pada garis fungsi tujuan tidak ada yang negatif.
Diperoleh nilai �
1
=
5 3
; �
2
=
14 3
;
1
=
4 3
= 773
Universitas Sumatera Utara
2.5.3 LINDO
