7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.
8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.
9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.
II.2 Tegangan Dan Regangan Dalam Kontinum Elastis
Dalam pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinum yang dianalisis terdiri atas materal elastis dengan regangan kecil. Hubungan antara regangan dan tegangannya dapat
digambarkan dalam suatu sistem koordinat ortogonal yang mengikuti kaidah tangan kanan misalnya dalam sebuah koordinat cartesius.
Gambar 2.1 memperlihatkan sebuah elemen yang amat kecil dalam sumbu koordinat
Cartesius yang panjang sisi-sisinya dinyatakan dengan dx, dy, dan dz. Tegangan normal dan
tegangan geser digambarkan dengan anak panah pada permuakaan elemen tadi. Tegangan normal diberi notasi
x
,
y
, dan
z
, sedangkan tegangan geser diberi notasi
τ
xy
, τ
yz
, dan
seterusnya.
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan keseimbangan elemen tadi didapatkan hubungan sebagai berikut:
Gambar 2.1 Tegangan pada sebuah elemen yang sangat kecil
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
τ
xy
= τ
yx
τ
yz
= τ
zy
τ
zx
= τ
xz
…………………. a Tegangan – regangan yang dilukiskan dalam gambar akan menimbulkan regangan normal
dan regangan geser. Regangan normal ε
x
, ε
y
, dan ε
z
didefinisikan sebagai:
ε
x
=
ε
y
=
ε
z
= …………………………………. b
dimana u, v, dan w merupakan translasi dalam arah x, y, dan z . Regangan geser, γ
xy
, γ
yz
dan lain-lain dinyatakan dalam rumus berikut ini:
γ
xy
=
+
= γ
yx
; γ
yz
=
+
= γ
zy
; γ
zx
=
+
= γ
xz
.….. c
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
x
τ
xy
τ
xz
τ
zy
z
τ
yx
τ
yz y
τ
zx
z,w
y,v x,u
dz
dx dy
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa hanya ada tiga regangan geser yang bebas. Untuk mempermudah, keenam tegangan bebas beserta keenam regangannya akan dituliskan
dalam bentuk matriks kolom atau vektor seperti berikut:
σ =
=
ε
= =
……………………… d
Hubungan tegangan – regangan untuk material isotropik diturunkan dari teori elastisitas seperti berikut ini:
ε
x
= =
ε
x
= =
…….………………. e
ε
x
= =
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Dimana G =
Dalam persamaan ini E = modulus elastisitas modulus Young, G = modulus geser, dan v = rasio Poisson. Dalam bentuk matriks, hubungan yang terdapat pada persamaan dapat
dituliskan sebagai:
ε = C σ ………………………………………………………………
2.2 – 1
Universitas Sumatera Utara
dimana
C =
…………… 2.2 – 2
Matriks C
merupakan operator yang menghubungkan vektor regangan ε dengan vektor tegangan
σ. Dan dengan meng-invers persamaan 2.2 – 1 didapatkan hubungan tegangan –
regangan seperti berikut ini:
σ = E ε…………………………………………………..……………
2.2 – 3 dimana
E = C
-1
=
2.2 – 4
Matriks E adalah operator yang menghubungkan vektor tegangan σ dengan vektor regangan
ε.
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Universitas Sumatera Utara
II.3 Finite Element Method
