II.5.2 Efek Torsi
Gambar 2.8 melukiskan sebuah elemen torsi yang dapat berupa tongkat pada mesin atau batang pada struktur grid. Element ini juga memiliki peralihan umum tunggal
θ
x
, yaitu
rotasi kecil dalam arah x. Jadi, u
= [ θ
xi
]. Akibat adanya peralihan elastis ini rotasi kecil tadi
akan dihasilkan gaya tubuh b = M
x
berupa momen persatuan panjang yang bekerja dalam arah sumbu x positif.
Peralihan titik nodal terdiri dari rotasi aksial yang kecil pada titik nodal 1 dan 2. Maka:
q = =
……………………………………………..… n
L
x q2
q1 u
x 1
2
1
1
f1
f2
a
b
c
Gambar 2.8 Elemen Torsi dan Fungsi Bentuk
Gaya titik nodal yang dihasilkan pada titik 1 dan 2 adalah:
p = =
Universitas Sumatera Utara
Karena hanya ada dua peralihan titik nodal pada elemen torsi ini, maka dapat digunakan fungsi peralihan yang linier, yaitu:
θ
x
= c
1
+ c
2
x……………………………………………………… n
Fungsi bentuk peralihan pada elemen torsi ini sama seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 2.9 b dan c.
f = g h
-1
=
[
f
1
f
2
]
= ………………………….
o
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Kemudian turunkan hubungan regangan-peralihan untuk elemen torsi dengan penampang lingkaran seperti yang terlihat dalam Gambar 2.9. Asumsikan jari-jari penampang
tetap lurus selama terjadi deformasi torsi. Disini dapat disimpulkan bahwa regangan geser γ akan bervariasi linier terhadap panjang jari-jari r seperti berikut:
γ = r = r
ψ……………………………………………….…… p
dimana ψ adalah putaran twist, yaitu besarnya perubahan dari putaran sudut. Jadi:
ψ = …………………………………………………………..
q
Gambar 2.9 Deformasi Torsi
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
y z
x
dx d
r τ
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan dapat dibuktikan bahwa nilai maksimum regangan geser terjadi pada permukaan.
γ
max
= R ψ
dimana R adalah jari-jari penampang lihat gambar. Selanjutnya, pada persamaan jelas terlihat bahwa operator diferensial linier d yang menghubungkan γ dengan θ
x
adalah:
d = r ………………………………………………….………..
r
maka, matriks regangan-peralihan B akan menjadi:
B = d f =
[-1 1]
……………………………………………... s
yang mirip dengan matriks B pada elemen aksial, kecuali muncul nilai r.
Pada elemen torsi, hubungan antara tegangan geser τ dengan regangan gesernya γ dinyatakan dengan:
τ = G γ……………………………………………………………. t
dimana simbol G menunjukka n modulus geser material. Jadi:
E = G dan E B = G B…………………………………………… u
Kekakuan torsi sekarang bisa diperoleh dengan menurunkan persamaan 2.4 – 13 sebagai berikut:
K =
K =
[
-1 1
]
r dr dθ dx
Universitas Sumatera Utara
K =
Dengan GJ konstan. Momen inersia polar J didefinisikan sebagai:
J = =
Untuk penampang bukan lingkaransembarang, momen inersia polar J diturunkan dari rumus:
+
= -2 G v’
,
dimana: ϕ = fungsi torsi
Dengan bantuan penyelesaian memakai teori Prand’l maka:
J =
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Universitas Sumatera Utara
Dengan notasi matriks, persamaan-persamaan dalam elemen yang mengalami lentur dan torsi pada grid element dapat ditulis sebagai persamaan keseimbangan elemen pada
sistem koordinat lokal sebagai berikut:
K
lokal
=
Bila tidak ada beban nodal ekuivalen yang bekerja pada elemen grid, dan dengan mengembalikan kembali bentuk persamaan keseimbangan elemen pada persamaan 2.3 – 12,
maka:
p = K q
=
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Universitas Sumatera Utara
II.5.3 Transformasi pada sistem koordinat
Kategori