Pada elemen grid, terdapat efek lentur terhadap sumbu horizontal penampang seperti halnya balok, dan juga efek puntir terhadap sumbu batang, yang berarti dapat menahan
momen torsi. Karenanya, pada setiap nodal terdapat: peralihan vertikal wi, rotasi terhadap sumbu horizontal penampang arah y akibat momen lentur, dan rotasi terhadap sumbu
elemen akibat torsi. Tiap nodal mempunyai 3 derajat kebebasan w
i
, θ
xi
, θ
yi
.
Gambar 2.4 Sistem Koordinat Lokal Elemen
Sumber : Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili
II.5.1 Efek Lentur
Efek lentur akan terjadi terhadap sumbu y elemen, dan efek puntir terjadi terhadap sumbu x elemen. Peralihan nodal dan gaya batang dianggap positif bila bekerja pada arah
koordinat positif. Kita gunakan aturan tangan kanan unuk arah efek lentur dan torsi. Gambar 2.5
menunjukkan arah positif untuk gaya dan peralihan elemen. θ
x1
, θ
y1
, θ
x2
, dan θ
y2
adalah rotasi, sedangkan w
1
dan w
2
adalah translasi pada arah z. z
y x
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.5 Gaya dan Peralihan Elemen Positif
Sumber : Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili
Gambar 2.5 melukiskan elemen lentur flexural element lurus yang melendut pada bidang utama x-z. Dalam gambar ditentukan adanya sebuah peralihan umum w, yaitu translasi
dalam arah z. Jadi: u = w
Gaya tubuh yang ditinjau merupakan komponen tunggal b
z
gaya per satuan panjang yang bekerja dalam arah z.
Maka: b = b
z
Pada titik nodal 1 [lihat gambar 2.6 a]:
q
1
: translasi dalam arah z dan rotasi kecil dalam arah y mata panah tunggal
q
2 :
rotasi kecil dalam arah y mata panah ganda Hal yang sama juga berlaku untuk titik nodal 2 peralihan yang diberi nomor 3 dan 4
berturut-turut merupakan translasi dan rotasi yang kecil. Maka, vektor peralihan titik nodal akan menjadi:
z
f
z1
,w
1
y M
x1
,θ
x1
x M
y2
,θ
y2
M
y1
,θ
y1
M
x2
,θ
x2
f
z2
,w
2
Universitas Sumatera Utara
q = {q
1
, q
2
, q
3
, q
4
} = {w
1
, θ
y1
, w
2
, θ
y2
}………………………….... a
dimana:
θ
y1
=
θ
y2
=
Turunan putaran sudut ini dapat dianggap sebagai suatu rotasi yang kecil walaupun sebenarnya mempengaruhi perubahan translasi pada titik nodal tersebut. Aksi titik nodal yang
terjadi pada titik nodal 1 dan 2 adalah: p = {p
1
, p
2
, p
3
, p
4
} = {p
y1
, M
x1
, p
y2
, M
x2
} p
y1
dan p
y2
: gaya dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2 M
z1
dan M
z2
: momen dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2
Karena ada 4 peralihan titik nodal, fungsi peralihan lengkap untuk elemen lentur ini dapat diasumsikan sebagai berikut:
w = c
1
+ c
2
x + c
3
x
2
+ c
4
x
3
………………………………….……. a
Sumber: Bahan kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan
matriks translasi g menjadi: g = [ 1 x x
2
x
3
]………………………………………… b
Universitas Sumatera Utara
Peralihan kedua rotasi pada setiap titik nodal memiliki hubungan diferensial dengan
peralihan yang pertama translasi. Matriks rotasi turunan pertama g terhadap xadalah:
= [0 1 2x 3x
2
]…………………………………………… c
Gambar 2.6 Elemen Lentur dan Fungsi Bentuk
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
1 1
1
1 a
b
e c
d z
y x
w
Universitas Sumatera Utara
Bentuk matriks h dari kedua nodal 1 x = 0 dan nodal 2 x = L:
h = =
………………………………. d
invers dari matriks h adalah:
h
-1
= …………………………..… e
Dari mengalikan kembali h
-1
dengan g akan diperoleh matriks fungsi bentuk peralihan dalam matriks f sebagai berikut:
f = g h
-1
=
[
f
1
f
2
f
3
f
4
]
f =
[
1 x x
2
x
3
]
f =
[
2x
3
– 3x
2
L + L
3
x
3
L – 2x
2
L
2
+ xL
3
- 2x
3
+ 3x
2
L
x
3
L – x
2
L
2
]
……………………………………………….. f
dimana fungsi bentuk yang didapat adalah:
f
1
= translasi pada titik 1 terhadap sumbu-z elemen: w
z1
f
2
= rotasi pada titik 1 terhadap sumbu-
y elemen: θ
y1
f
3
= translasi pada titik 2 terhadap sumbu-z elemen: w
z2
f
4
= rotasi pada titik 2 terhadap sumbu-
y elemen: θ
y2 Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Universitas Sumatera Utara
Keempat fungsi bentuk ini dilukiskan dalam Gambar 2.6 b, c, d, dan e yaitu perubahan w sepanjang elemen akibat dari satu satuan peralihan titik nodal dari keempat arah peralihan
q
1
, q
2
, q
3
, dan q
4
. Hubungan regangan-peralihan dapat diturunkan untuk elemen lentur dengan
mengasumsikan bahwa penampang yang rata akan tetap rata selama deformasi seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.7. Translasi u dalam arah x pada setiap titik dalam penampang
adalah:
u = - y ………………………………………………………..
g
dengan menggunakan hubungan ini, kita dapat memperoleh persamaan regangan lentur:
ε
x
= = - y
= - y
ø
…………………………………...……. h
dengan
ø
adalah kelengkungan.
ø
= …………………………………………………….……
i
Dari persamaan h dapat kita lihat bahwa operator diferensial linier d yang menghubungkan
ε
x
dengan w adalah:
d = - y …………………………………………………….....
j
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.7 Deformasi Lentur Kemudian persamaan 2.3 – 8 akan memberikan matriks regangan-peralihan B seperti di
bawah ini:
B = d f =
[
12x - 6L 6xL - 4L
2
-12x + 6L 6xL - 2L
2
]
.. k
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Hubungan antara tegangan lentur σ
x
dan regangan lentur ε
x
dinyatakan dengan: σ
x
= E
ε
x
………………………………………………………….. l
Maka:
E = E dan E B = E B………………………………………….... m
Kekakuan elemen dapat diperoleh dari persamaan 2.3 – 13 dan akan memberikan hasil
seperti berikut ini:
K =
z, w
y, v x, u
dw dx
d
A σ
x
y
dx
Universitas Sumatera Utara
K =
[
12x - 6L 6xL - 4L
2
-12x + 6L 6xL - 2L
2
]dA dx
Melalui perkalian dan integrasi dengan EI konstan akan dihasilkan:
K =
.....
dx
dimana: I
x
= dA menyatakan besarnya momen inersia penampang terhadap garis
netral.
Universitas Sumatera Utara
K
=
........
K
=
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
L
Universitas Sumatera Utara
II.5.2 Efek Torsi
