II.5.3 Transformasi pada sistem koordinat
Seperti halnya elemen rangka dan portal, kita harus mentransformasikan matriks kekakuan elemen yang mengacu pada koordinat elemen ke dalam sistem koordinat global.
Sumbu X dan Y global akan terletak pada bidang struktur dan karenanya berada pada bidang yang sama dengan sumbu x dan y lokal elemen. Sumbu z lokal dan global paralel
satu sama lain. Pada Gambar 2.10, kita harus mentransformasi peralihan dengan memutar terhadap
sumbu z. Bila α adalah sudut antara sumbu x elemen dan sumbu global, Sumbu global berimpit dengan sumbu z lokal, maka translasi tegak lurus bidang -
maupun x-y adalah W
i
= w
i.
1
Gambar 2.10 Transformasi koordinat lokal ke koordinat global
Σ M
x
= 0 = M
x2
Cos α + M
y2
Sin α + 0
Σ M
y
= 0 =
Sin α + M
y2
Cos α + 0
sin α
x y
α
2
cos α cos α
sin α
Universitas Sumatera Utara
Σ F
z
= 0 =
+ + w
z2
{ } =
=
Analog:
{ } =
=
Pada titik simpul 1 berlaku juga seperti simpul 2, maka untuk satu elemen berlaku : { } = [
] { } { } = =
……… a
Sumber: Bahan Kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan
Untuk displacement vektor berlaku juga : = [
] …………………………………………………
b
Analog : = [
]
{ } = =
-1
{ }
= [ ]
-1
dari persamaan a dan b : [
] { } = [
] ………………………………..
c
-1 -1
Universitas Sumatera Utara
{ } = [ ]
[ ]
= …………..…….
d dimana :
= [ ]
[ ] = [
] [
]…………………... e
Keterangan : [ ] = [
] karena [ ] matriks Orthogonal.
Matriks transformasi:
[ ] =
[ ] =
Matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat lokal adalah:
=
-1 -1
T -1
T
T
Universitas Sumatera Utara
Jika: Sin α = S
Cos α = C, maka: =[
] [
]
=
=
Dengan menyelesaikan persamaan diatas, diperoleh matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat global:
=
Sumber: Bahan Kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan
Universitas Sumatera Utara
II.5.4 Keseimbangan dan Menentuan dari Matriks Kekakuan.
Kondisi kompatibilitas mensyaratkan bahwa peralihan untuk semua titik pada suatu struktur yang terbebani harus kompatibel dengan seluruh peralihan pada struktur.Dengan
demikian, pada saat struktur dibagi-bagi menjadi elemen-elemen, kondisi kompatibilitas memerlukan beberapa persyaratan sebagai berikut:
Peralihan nodal yang merupakan pertemuan beberapa elemen haruslah kontinu dan
pergerakannya selalu bersama.
Peralihan nodal struktur harus konsisten dengan perilaku nodal yang telah ditetapkan.
Peralihan nodal pada tumpuan harus memenuhi kondisi batas dari peralihan yang telah ditentukan sebelumnya.
Sebagai contoh, diketahui konstruksi seperti Gambar 2.11. Tujuannya adalah untuk mencari matriks kekakuan dari konstruksi tersebut.
Ket:
arah positif
Gambar 2.11 Penomoran untuk nodal dan batang
1 2
5 4
a b
d
e c
Z Y
X 6
3
Universitas Sumatera Utara
Elemen Simpul 1 awal
Simpul 2 akhir a
1 2
b 2
3 c
2 5
d 4
5 e
5 6
, ,
, sesuai dengan persamaan di atas
dengan =
= =
=
dengan = 0
Sumber: Bahan Kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan
2
Universitas Sumatera Utara
Untuk system Koordinat X – Y berlaku :
= =
= ……..…
f
Untuk menjamin kompatibilitas dari perubahan bentuk maka harus ditetapkan :
=
+ +
=
=
=
+ +
=
=
Untuk keseragaman maka perlu dibuat definisi arah positif dari gaya-gaya dalam .
= ……………………………………………..…..
h
Sumber: Bahan Kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan
……….…… g
Universitas Sumatera Utara
Sebagai contoh titik simpul 2 Gambar 2.11
=
Ket:
arah positif
arah negatif
Gambar 2.12 Freebody gaya-gaya dalam
{ } = { }
{ } = { } + {
} + { }
{ } = { }
{ } = { }
{ } = { } + {
} + { }
{ } = { }
Sumber: Bahan Kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan
Gaya luar Gaya dalam
Gaya dalam
c
b
………………………..…… i Y
X Z
2
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan f dan g didapat : { } =
{ } +
{ }
{ } = {
} + {
} + {
} + {
} +
{ } +
{ }
{ } = {
} + {
}
{ } = {
} + {
}
{ } = {
} + {
} + {
} + {
} +
{ } +
{ }
{ } = {
} + {
}
Persamaan j diatas jika disusun dalam bentuk matriks menjadi: { } =
{ }………………………………………………….… k
dimana : { } = vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul
{ } = vektor dari perpindahan displacement
= matriks kekakuan simetris ..… j
Universitas Sumatera Utara
=
…………………………………………………………………………….…. m
II.5.5 Syarat keseimbangan
Kategori