IV.5 Penurunan Matriks Kekakuan Bila Sumbu Tidak Rigid Sendi
Matriks kekakuan adalah matriks yang memenuhi hubungkan antara gaya yang
diberikan F dengan perpindahandisplacement yang dihasilkan d melalui persamaan F= k.d dimana pada tiap elementbatang akan terdapat 2 buah titik simpul yaitu simpul awal dan
simpul akhir.Dimana pada setiap jenis struktur masing-masing memiliki matriks kekakuan yang berbeda tergantung dari sifat struktur tersebut merespon beban yang ada.Dalam hal ini
pada tiap simpul elemenbatang memiliki sifat yang sama dengan sendi hubungan tiap titik buhul berupa sendi hal ini akan mempengaruhi DOF dari struktur tersebut.DOFDegree Of
Freedom yaitu jumlah derajat kebebasan suatu titik nodal untuk mengalami deformasi yang dapat berupa translasiperpindahan maupun rotasi perputaran terhadap tiga sumbu pada
orientasi ruang3D.Elemen batang ini dianggap ekiuvalen dengan sebuah sistem pegas linear dalam merespon gaya luar yang diberikan kepadanya.
Kekakuan dari elemen dipengaruhi oleh kekakuan materialnya yang ditentukan oleh property material atau elastisitas bahan pembentuk elemen tersebut.untuk property material
material besarnya elastisitas bahan ditentukan oleh suatu parameter yaitu modulus Elastis E
Universitas Sumatera Utara
atau Modulus Geser G. Untuk property penampang dipengaruhi oleh luas penampang A dan inersia penampang yang terdiri dari inersia Lentur I dan inersia Torsi J. Hasil perkalian antara
properti material dengan property penampang akan membentuk suatu akan membentuk suatu kekakuan material dan selanjutnya dengan memperhitungkan panjang Elemen L,maka hasil
bagi antara kekakuan material dengan panjang elemen akan membentuk suatu kekakuan Elemen yang besarnya ditentukan oleh suatu koefisien tertentu.
Kondisi Keseimbangan
Elemen tersebut memiliki dua nodal dan dua derajat kebebasan pada tiap nodalnya yaitu peralihan vertical arah y yaitu v dan rotasi sudut arah sumbu z yaitu
Dimana dan dengan demikian keempat derajat kebebasan elemen terkait satu sama lain.Pada setiap
derajat kebebasan nodal i yaitu vi dan berturut-turut bekerja gaya geser f yi dan gaya
momen f mi dimana keduanya dinamakan gaya nodal.
Universitas Sumatera Utara
Fungsi peralihan
Perilaku defleksi pada balok dinyatakan dalam fungsi peralihan vx yang harus memenuhi persamaan difrensial keseimbangan dari dari elemen balok tampa beban.
= 0
vx merupakan defleksi balok yang dinyatakan dalam fungsi polynomial pangkat tiga dari x, yaitu:
vx = a1 + a2x + a3x
2
+ a4x
3
………………………… i
= =
Dimana Konstanta a1,a2,a3 dan a4 akan ditentukan dari kondisi batas dari setiap node yang dinyatakan sebagai berikut:
Pada x = 0 diperoleh v = v1 dan =
Pada x = L diperoleh v = v2 dan =
Difrensialkan vx terhadap x diperoleh:
= a2 +2 a3x + 3a4x
2 ……………………………
ii
Subsitusi harga batas yang ada ke persamaan i dan ii X = 0
v = v1 maka v1 = a1
dari persamaan i X = 0
= maka
= a2 dari persamaan ii
X = L v = v2
maka v2 = a1 + a2L + a3L
2
+ a4L
3
dari persamaan i X = L
= maka
= a2 +2 a3L + 3a4L
2
dari persamaan ii
Universitas Sumatera Utara
Dari keempat persamaan di atas diperoleh persamaan-persamaan vi, ,v2 dan
yang menghasilkan
………………………………………
iii
Bila persaman iii dinyatakan dalam bentuk symbol:
Maka =
-1
dimana
-1
adalah invers dari diperoleh:
atau =
-1
Subsitusi ke vx = a1 + a2x + a3x
2
+ a4x
3
diperoleh:
vx = v1 + x -
v1- +
v2 - +
v1 + -
v2 + vx = v1{1- 3
+2 } + 1 {x- 2
+ }+ v2{3
2
-2
3
}+ {- +
} vx =
v1
{N x} +
1
{N x}+
v2
{N x}+ {N x } Dimana:
N
v1
x = 1- 3 +2
N
1
x = x- 2 +
N
v2
x = 3
2
-2
3
N
2
x = - + dimana:
Nx adalah shape function untuk interval 0-L
Universitas Sumatera Utara
Setiap fungsi bentuk merupakan suatu kurva defleksi dari elemen balok yang diperoleh dengan cara memberikan nilai satu pada derajat kebebasan yang
bersesuaiaan dengan fungsi tersebut dan nilai nol pada nilai nol pada derajat kebebasan yang lain.
v1=1dan = v2 =
=0 untuk Nv1x dan v2=1dan v1= =
=0 untuk Nv2x =1dan v1 = v2 =
=0 untuk N 1xdan 2=1dan v1= =
=0 untuk N 2x
Gambar : Fungsi bentuk Yang terkait v1, ,v2.
Persamaan Kekakuaan
Persamaan kekakuan untuk balok dapat diturunkan dari teorema Castigliano sebagai berikut:
dimana: =
- adalah variable nodal :
= adalah energi ekstenal elemen:
= dan
= adalah energy internal elemen atau energy regangan elemenstrain Energy.
Universitas Sumatera Utara
Energi internal lentur untuk balok model Bernouli dengan penampang uniform adalah:
= dx =
dx Kurvatur dapat diperoleh dengan memasukkan persamaan peralihan vertikal
vx = {N1x}v1 + {N2x} 1+ {N3x} v2+ {N4x } dihasilkan:
= - =
2
= -
2
= Dimana :
= dimana
N”x diperoleh dari diferensial dua kali terhadap x Nv1x = -
+12 N
x = - + 6 Nv2x = - 12
N x = - + 6
Dengan memasukkan nilai-nilai di atas ke persamaan =
dx = dx diperoleh:
= =
Dimana: = EI
dx =
=
Universitas Sumatera Utara
Dari Persamaan =
- diperoleh:
= secara detail akan dihasilkan:
=
Dari sifat khusus yang ditentukan dimana nodal 1 dan nodal 2 menjadi simpul sendi sehingga momen pada kedua simpul tersebut memiliki nilai nol, sehingga diperoleh:
= v1 + - v2 +
= 0 = v1 +
- v2 + = 0
Sehingga diperoleh:
=
=
= Atau secara simbolik dapat ditulis:
= Dari fungsi awal
vx = a1 + a2x + a3x
2
+ a4x
3
= 2a3 + 6a4x
Universitas Sumatera Utara
Dengan mensubsitusikan
= 2a3 + 6a4x
ke dalam persamaan energy regangan =
dx = dx diperoleh:
=
2
dx
= =
[k”]
Subsitusikan
ke dalam persamaan
= menghasilkan:
= [A]
T
[A]
[A] =
Maka dengan memasukkan semua nilai diatas diperoleh kesimpulan: = v1 +
- v2 + = 0
= v1 + - v2 +
= 0
=
Maka matriks kekakuan untuk balok khusus dengan sendi pada kedua nodalnya adalah: adalah:
=
Universitas Sumatera Utara
IV.6 Pemodelan dengan SAP Sumbu Rigid Dengan Tingkat Rigid 25,50,75 dan 100Rigid Penuh
Kategori