II.3 Finite Element Method
Dalam pembahasan ini, persamaan-persamaan metode elemen hingga akan diturunkan dengan menggunakan prinsip usaha virtual. Sebuah elemen hingga tiga dimensi yang terletak
pada salib sumbu cartesius dengan koordinat x, y, dan z.
Peralihan umum general displacement yang terjadi pada sembarang titik dalam
elemen dinyatakan dengan vektor kolom u:
u = ……………………………………………………...
2.3 – 1
dimana u, v, dan w berturut-turut merupakan translasi dalam arah x, y, dan z.
Gaya tubuh body forces yang bekerja pada elemen, gaya-gaya ini akan dimasukkan
ke dalam vektor b, seperti berikut:
b = ……………………………………………………...
2.3 – 2
Notasi b
x
, b
y
, dan b
z
mewakili komponen-komponen gaya persatuan voume, luas atau panjang yang bekerja pada sembarang titik sesuai dengan arah x, y, dan z.
Peralihan titik nodal nodal displacement q yang diperhitungkan hanyalah berupa
translasi dalam arah x, y, dan z. Bila n
en
= jumlah titik nodal elemen, maka:
q = {q
i
} i = 1,2,...,n
en
……………………………………... 2.3 – 3
dimana: q
i
= =
…………………………………… a
Universitas Sumatera Utara
Gaya titik nodal nodal actions p diambil dalam arah x, y, dan z: p = {p
i
} i = 1,2,...,n
en
……………………………………... 2.3 – 4
dimana:
pi = ………………………………………… b
Hubungan antara peralihan umum dan peralihan titik nodal dinyatakan oleh fungsi bentuk peralihan displacement shape function sebagai berikut:
u = f q…………………………………………………………. 2.3 – 5
Dalam persamaan ini notasi f adalah matriks segiempat yang menunjukkan bahwa u sepenuhnya tergantung pada q.
Hubungan regangan-peralihan diperoleh dengan menurunkan matriks peralihan
umum. Proses ini ditunjukkan dalam pembentukan matriks d yang disebut operator
diferensial linier dan dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks:
ε = d u………………………………………………………….
2.3 – 6
Dalam persamaan ini operator d
menyatakan hubungan antara vektor regangan ε dengan vektor peralihan umum vektor u. Dengan substitusi persamaan 2.3 – 5 ke dalam 2.3 – 6
diperoleh:
ε = B q………………………………………………………….
2.3 – 7 dimana:
B = d f…………………………………………………………. 2.3 – 8
Universitas Sumatera Utara
Matriks B menunjukkan regangan yang terjadi pada sembarang titik dalam elemen akibat satu
satuan peralihan titik nodal. Dari persamaan 2.2 – 3 telah diperoleh hubungan tegangan – regangan dalam bentuk
matriks sebagai berikut:
σ = E ε…………………………………………………………
2.3 – 9
dimana E adalah matriks yang menghubungkan tegangan σ dan regangan ε. Dengan
mensubstitusikan persamaan 2.4 – 7 ke dalam 2.4 – 9 diperoleh:
σ = E B q………………………………………………………
2.3 – 10
dimana perkalian E B menunjukkan tegangan pada sembarang titik bila terjadi satu satuan
peralihan titik nodal.
Prinsip usaha virtual: Bila ada suatu struktur dalam keadaan seimbang, dikerjakan
suatu peralihan virtual yang kecil dalam batas-batas deformasi yang masih dapat diterima, maka usaha virtual dari beban luar tadi sama dengan energi regangan virtual dari tegangan
dalamnya. Bila prinsip di atas kita terapkan pada elemen hingga, akan diperoleh:
δU
e
= δW
e
…………………………………………………..... 2.3 – 11
dimana
δU
adalah energi regangan virtual dari tegangan dalam dan
δW merupakan
usaha virtual beban luar yang bekerja pada elemen. Untuk memperoleh kedua nilai tersebut, diasumsikan adanya peralihan virtual kecil yang dinyatakan dalam vektor
δq. Jadi, δq = { δq
i
}i = 1,2,...,n
en
...……………………………….. c
Universitas Sumatera Utara
Kemudian peralihan umum virtual akan menjadi:
δu = f δq………………………………………………………..
d Dengan menggunakan hubungan regangan peralihan dalam persamaan 2.2 – 7, kita
dapatkan:
δε = B δq………………………………………………….…….
e Energi regangan virtual dalam
δU
dapat dituliskan sebagai berikut:
δU
e
= ………………………………………….…..
f Usaha virtual luar dari gaya titik nodal dan gaya tubuh menjadi:
δW
e
= ………………………………….
g Dengan substitusi persamaan f dan g ke dalam persamaan 2.3 – 11 akan dihasilkan:
= ………………………...
h Kemudian substitusi persamaan 2.3 –
9 untuk mengganti σ, dan dengan menggunakan transpose dari persamaan d dan e akan diperoleh:
= ……………….
i
Selanjutnya, substitusi persamaan 2.3 – 7 untuk nilai serta bagilah ruas kiri dan kanan dengan
sehingga persamaan i akan menjadi:
= …………………………
j
Universitas Sumatera Utara
Persamaan j dapat dituliskan kembali menjadi:
K q = p + p
b
………………………………………..……… 2.3 – 12
dimana
K = …………………………………………...
2.3 – 13
dan
p
b
= ……………………………………………...
2.3 – 14
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Matriks K dalam persamaan 2.3 – 13 adalah matriks kekakuan elemen, yaitu
gaya yang terjadi pada titik nodal akibat adanya satu satuan peralihan titik nodal.
Sedangkan vektor p
b
pada persamaan 2.3 – 14 menunjukkan gaya nodal ekuivalen akibat
bekerjanya gaya tubuh dalam vektor b.
Tegangan dan regangan yang diturunkan di atas hanya bergantung pada peralihan titik nodal. Bila terjadi regangan awal
, maka regangan total dapat dituliskan sebagai berikut:
= + C ………………………………………………….
2.3 – 15 dimana C adalah matriks hubungan regangan – tegangan. Dari persamaan 2.2 – 4 telah kita
dapatkan:
C =
-1
………………………………………………………... 2.3 – 16
Dengan menyelesaikan vektor tegangan pada persamaan 2.3 – 15 akan diperoleh:
= E – ………………………………………………….
2.3 – 17
Universitas Sumatera Utara
Bila persamaan ini digunakan untuk mengganti dalam persamaan h, maka akhirnya rumus tersebut akan menghasilkan:
K q = p + p
b
+ p ……………………………………………..
2.3 – 18 dimana
p =
…………………………………………. 2.3 – 19
Kita dapat menganggap vektor p merupakan beban titik nodal ekuivalen akibat regangan
awal, sama halnya dengan yang ditimbulkan oleh perubahan temperatur.
II.4 Fungsi Bentuk Dan Peralihan Umum Dalam Bentuk Operasi Matriks
Asumsikan bahwa fungsi peralihan dinyatakan sebagai perkalian antara matriks
geometri q dengan vektor dari konstanta sembarang c sebagai berikut: u = g c…………………………………………………………
2.4 – 1 Kemudian dicari operator g untuk setiap titik nodal sehingga:
q = h c………………………………………………………… 2.4 – 2
Di mana, h = { g
i
}i = 1,2,...,n
en
…………………………………………. a
dan g
1
menunjukkan matriks g yang dihitung pada titik nodal ke i. Dengan mengasumsikan bahwa matriks h adalah matriks bujur sangkar dan nonsingular, carilah konstanta c dalam
persamaan 2.4 – 2:
c = h
-1
q………………………………………………………... 2.4 – 3
Substitusikan persamaan 2.4 – 3 ke dalam 2.4 – 1 untuk memperoleh:
u = g h
-1
q.................................................................................... b
Universitas Sumatera Utara
f = g h
-1
………………………………………………………... 2.4 – 4
Sebagai contoh, untuk elemen aksial 1 dimensi asumsikan bahwa peralihan u di sembarang titik pada elemen merupakan fungsi linier dari x, seperti berikut ini:
u = c
1
+ c
2
x fungsi peralihan………………………….… c
Gambar 2.2 Elemen aksial
dalam bentuk matriks:
u = [1 x] ………………………………………………….
d
dari persamaan 2.4 – 1 diperoleh:
g = [1 x]......................................................................... e
L
x q2
q1 x
1 2
1
1
f1
f2
a
b
c
q
1
q
2
u x
L
Universitas Sumatera Utara
fungsi peralihan ini dapat dinyatakan dalam fungsi bentuk peralihan dengan mencari kedua konstantanya, yaitu c
1
dan c
2
. Pada x = 0, didapat c
1
= q
1
; untuk x = L akan diperoleh q
2
= c
1
+ c
2
L Jadi c
2
= q
2
– q
1
L. Bila konstanta ini disubstitusikan ke dalam persamaan c akan diperoleh:
u = q
1
+ x………………………………………………...
f Persamaan ini bukan lagi merupakan fungsi konstanta, melainkan fungsi dari peralihan titik
nodal. Bila persamaan f digabungkan dengan 2.3 – 5 maka akan dapat dituliskan kembali menjadi:
u = = f q……………………………….….
g
dimana fungsi bentuk yang didapat dalam bentuk matriks sebagai berikut:
f = [ f
1
f
2
] =
Kedua fungsi bentuk peralihan ini diperlihatkan dalam Gambar 2.6 b dan c.
Fungsi bentuk peralihan shape function bisa juga diperoleh dengan menghitung matriks g
pada titik nodal 1 dan 2 [lihat persamaan 2.4 – 2]:
= ……………………………………..…….
h
sehingga diperoleh:
h = =
……………………………………………. i
Universitas Sumatera Utara
invers dari matriks h adalah:
h
-1
= …………………………………………….……
j
kemudian dari persamaan 2.4 – 4 diperoleh:
f = g h
-1
=
,
yang sama dengan persamaan g. Hubungan regangan peralihan untuk elemen aksial hanya terdiri dari satu turunan saja sesuai
persamaan b dalam sub-bab 2.2:
ε =
ε
x
= d u = =
= B q
maka: B =
=
[-1 1]
Dengan cara yang sama, didapat hubungan tegangan – regangan [persamaan 2.3 – 9 dan 2.3 – 10] sebagai berikut:
σ = σ
x
= E ε = E ε
x
= EB q
Jadi: E = E dan E B =
[-1 1]
………………………… k
Dengan mengasumsikan luas penampang A besarnya konstan, maka kekakuan elemen dapat
dihitung dari persamaan 2.3. – 13 seperti berikut ini:
K = =
[-1 1]
K =
Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr
Universitas Sumatera Utara
II.5 Grid Element
Kategori