BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan
diberikan terlebih dahulu pengertian-pengertian dasar berikut:
2.1 Matriks
Definisi 2.1:
Anggap menyatakan baris dan menyatakan kolom maka matriks adalah susunan
segiempat angka-angka berdasarkan baris dan kolom yang dibatasi oleh kurung siku maupun kurung biasa dan
Selanjutnya akan dibahas tipe-tipe matriks dan operasi aljabarnya.
2.1.1 Matriks Bujursangkar
Definisi 2.1:
Matriks bujursangkar adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama disimbolkan sebagai
. Anggap matriks bujursangkar maka .
2.1.2 Matriks Transpos
Definisi 2.2: Anggap matriks berukuran
, maka transpose matriks disimbolkan dengan adalah matriks berukuran
.
Teorema 2.1:
Anggap dan B adalah matriks-matriks dan
adalah suatu skalar. Maka, penjumlahan dan perkalian matriks-matriks ini selalu didefinisikan sebagai berikut:
a b
c d
2.1.3 Matriks Simetris
Definisi 2.3:
Jika matriks sama dengan matriks transposenya atau disimbolkan dengan maka matriks simetris. Demikian juga,
dikatakan simetris jika elemen- elemen simetrisnya elemen-elemen cermin terhadap diagonal sama, yaitu, jika setiap
.
2.1.4 Determinan
Algoritma mereduksi penghitungan determinan berorde menjadi penghitungan
determinan berorde .
Algoritma 2.1:
Reduksi orde determinan. Inputnya adalah matriks bujursangkar- bukan-nol, dengan
.
Langkah . Memilih elemen atau, jika tidak ada,
.
Langkah . Dengan menggunakan sebagai pivot, lakukan operasi baris kolom
elementer sehingga diperoleh di semua posisi selain posisi kolom baris yang mengandung
.
Langkah . Memperluas determinan dengan kolom baris yang mengandung .
Contoh 2.1:
Gunakan algoritma di atas untuk menentukan determinan dari
Gunakan sebagai pivot sehingga diperoleh bilangan-bilangan di
posisi-posisi selain kolom ke- , yaitu dengan melakukan operasi baris b “Mengganti
dengan ”, “Mengganti dengan
”, dan “Mengganti dengan ”, Menurut Teorema “Anggap diperoleh dari melalui operasi baris
kolom elementer. Jika kelipatan suatu baris kolom ditambahkan ke baris kolom yang lain dari
, maka ”, nilai determinan tidak berubah oleh operasi-
operasi ini. Jadi
Selanjutnya sederhanakan dengan menggunakan kolom ketiga. Secara spesifik, abaikan semua suku yang mengandung dan gunakan fakta bahwa tanda dari minor
adalah . Jadi
2.1.5 Matriks yang Dapat-Dibalik Non-Singular
