Bebas Linier Rank Matriks Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan

2.1.8 Bebas Linier

Kolom matriks ; dapat ditulis sebagai vektor kolom. Juga, baris matriks dapat di tulis sebagai vektor baris. Vektor kolom adalah bebas linier jika persamaan memenuhi hanya untuk semua . Sama halnya dengan vektor baris adalah bebas linier jika hanya nilai nol untuk skalar memenuhi persamaan Jika beberapa memenuhi , vektor kolom adalah bebas linier. Jika beberapa memenuhi , vektor baris adalah bebas linier. Hal ini mungkin menunjukkan satu atau lebih vektor kolom vektor baris sebagai kombinasi linier lainnya. Jika vektor kolom vektor baris matriks adalah bebas linier, maka determinan adalah nol.

2.1.9 Rank Matriks

Definisi 2.6: Rank matriks ; adalah sama pada maksimum bilangan kolom tidak bebas linier atau maksimum bilangan baris tidak linier . Bentuknya disebut rank kolom dan selanjutnya rank baris. Rank kolom adalah sama dengan rank baris. Rank matriks adalah sama dengan order determinan non-vanishing terbesar di , Stagg dan El- Abiad, 1968. Contoh 2.4: Anggap matriks Baris adalah bebas linier karena persamaan memenuhi untuk Sama halnya dengan kolom adalah bebas linier karena persamaan memenuhi untuk Bagaimanapun, tidak dua kolom adalah bebas linier dan, oleh karena itu, rank matriks adalah . Rank dari matriks , ditulis rank , juga dapat diselesaikan dengan metode matriks eselon yaitu sama dengan banyaknya pivot pada bentuk eselon dari . Contoh 2.5: Sesuai dengan Contoh maka diperoleh rank .2

2.1.10 Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan

Subbagian ini membahas mengenai syarat-syarat teoretis bagi eksistensi dan keunikan dari solusi sistem persamaan linier dengan menggunakan pengertian rank dari suatu matriks. Teorema 2.2: Diberikan sistem persamaan linier dengan variabel tidak diketahui dan matriks yang diperbesar . Maka: a Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika rank rank . b Solusinya unik jika dan hanya jika rank rank . Bukti: a Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika bentuk eselon dari tidak memiliki baris berbentuk , dengan Jika bentuk eselon dari memiliki baris, maka adalah pivot dari tetapi bukan pivot dari , dan oleh karena itu rank rank . Jika sebaliknya, bentuk eselon dari dan memiliki pivot-pivot yang sama, dan oleh karena itu rank rank . Ini membuktikan kebenaran . b Sistem memiliki solusi unik jika dan hanya jika bentuk eselon tidak memiliki variabel bebas. Ini berarti bahwa ada satu pivot untuk setiap variabel tidak diketahui. Sehingga rank rank . Ini membuktikan kebenaran .

2.1.11 Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linier Bujursangkar