Contoh 2.1:
Gunakan algoritma di atas untuk menentukan determinan dari
Gunakan sebagai pivot sehingga diperoleh bilangan-bilangan di
posisi-posisi selain kolom ke- , yaitu dengan melakukan operasi baris b “Mengganti
dengan ”, “Mengganti dengan
”, dan “Mengganti dengan ”, Menurut Teorema “Anggap diperoleh dari melalui operasi baris
kolom elementer. Jika kelipatan suatu baris kolom ditambahkan ke baris kolom yang lain dari
, maka ”, nilai determinan tidak berubah oleh operasi-
operasi ini. Jadi
Selanjutnya sederhanakan dengan menggunakan kolom ketiga. Secara spesifik, abaikan semua suku yang mengandung dan gunakan fakta bahwa tanda dari minor
adalah . Jadi
2.1.5 Matriks yang Dapat-Dibalik Non-Singular
Definisi 2.4: Matriks bujursangkar dikatakan dapat-dibalik
invertible
atau
non-singular
jika terdapat matriks sedemikian rupa sehingga
di mana adalah matriks identitas yaitu matriks bujursangkar- dengan bilangan pada diagonalnya dan pada entri-entri lainnya. Matriks seperti ini bersifat unik.
Yaitu, jika dan
, maka .
Dari hubungan di atas dinamakan matriks sebagai invers dari matriks dan invers dari matriks ditulis
dan hubungan di atas bersifat simetris; yaitu, jika invers , maka invers .
2.1.6 Matriks Invers
Algoritma menentukan invers dari sebuah matriks.
Algoritma 2.2:
Inputnya adalah matriks bujursangkar . Outputnya adalah invers dari atau tidak ada invers.
Langkah . Membentuk matriks blok ,
, di mana adalah
stengah kiri dari dan matriks identitas adalah setengah kanan dari
.
Langkah . Mereduksi-baris menjadi bentuk eselon. Jika proses ini menghasilkan
sebuah baris nol di setengah dari , maka tidak mempunyai invers.
Jika tidak, berbentuk segitiga.
Langkah . Mereduksi-baris lebih jauh lagi menjadi bentuk kanonis barisnya,
, di mana matriks identitas menggantikan di setengah kiri dari .
Langkah . Menetapkan , matriks yang sekarang berada di setengah kanan
dari .
Contoh 2.2:
Menentukan invers dari matriks
Membentuk matriks blok dan mereduksi-baris
menjadi bentuk eselon:
Matriks identitas berada di setengah kiri dari matriks akhir, sehingga setengah kanannya adalah
atau dengan perkataan lain:
2.1.7 Matriks Eselon
Definisi 2.5:
Matriks disebut matriks eselon, atau dikatakan berbentuk eselon, jika dua syarat berikut berlaku dimana elemen bukan-nol utama leading non-zero element dari
suatu baris pada matriks adalah elemen bukan-nol pertama pada baris tersebut: 1
Suatu baris nol, jika ada, terletak di bagian bawah matriks. 2
Setiap entri bukan-nol utama pada suatu baris berada di sebelah kanan entri bukan-nol utama pada baris sebelumnya.
Yaitu, adalah matriks eselon jika terdapat entri-entri bukan-nol
dimana dengan sifat
untuk Entri-entri
, yang merupakan elemen-elemen bukan-nol utama pada masing-masing barisnya, disebut
pivot-pivot
dari matriks eselon.
Contoh 2.3:
Matriks eselon yang pivot-pivotnya dicetak tebal:
2.1.8 Bebas Linier
