2.1.10 Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan
Subbagian ini membahas mengenai syarat-syarat teoretis bagi eksistensi dan keunikan dari solusi sistem persamaan linier dengan menggunakan pengertian rank dari suatu
matriks.
Teorema 2.2:
Diberikan sistem persamaan linier dengan variabel tidak diketahui dan matriks yang diperbesar
. Maka: a
Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika rank rank
. b
Solusinya unik jika dan hanya jika rank rank
.
Bukti:
a Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika bentuk eselon dari
tidak memiliki baris berbentuk , dengan
Jika bentuk eselon dari memiliki baris, maka adalah pivot dari
tetapi bukan pivot dari , dan oleh karena itu rank
rank . Jika sebaliknya,
bentuk eselon dari dan memiliki pivot-pivot yang sama, dan oleh karena
itu rank rank
. Ini membuktikan kebenaran .
b Sistem memiliki solusi unik jika dan hanya jika bentuk eselon tidak memiliki
variabel bebas. Ini berarti bahwa ada satu pivot untuk setiap variabel tidak diketahui. Sehingga
rank rank
. Ini membuktikan kebenaran .
2.1.11 Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linier Bujursangkar
Sistem persamaan linier adalah bujursangkar jika dan hanya jika matriks
yang terdiri dari koefisien-koefisien adalah matriks bujursangkar.
Teorema 2.3:
Sistem persamaan linier bujursangkar memiliki suatu solusi unik, jika dan
hanya jika matriks dapat-dibalik. adalah suatu solusi unik dari sistem tersebut.
Bukti:
Jika dapat-dibalik, maka adalah suatu solusi unik. Jika dapat-dibalik, maka
dan sehingga adalah sebuah solusi. Selanjutnya, anggap adalah sebarang
solusi, maka . Maka
Jadi, solusi unik.
2.1.12 Matriks Definit Positif
Teorema 2.4:
Anggap adalah suatu matriks simetrik berorde ekuivalen dengan:
a adalah definit positif.
b Submatriks utama
semuanya mempunyai determinan-determinan positif.
c dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas dengan hanya menggunakan
operasi baris dan semua elemen poros akan positif. d
mempunyai suatu faktorisasi Cholesky di mana adalah matriks
segitiga bawah, dengan entri-entri diagonal positif. e
dapat difaktorkan ke dalam hasil kali untuk suatu matriks tak singular
.
Bukti:
Dari yang telah diketahui bahwa a mengakibatkan b, b mengakibatkan c, dan c mengakibatkan d. Untuk melihat bahwa d mengakibatkan e, asumsikan bahwa
. Jika ditetapkan , maka taksingular dan
Akhirnya, untuk menunjukkan bahwa e a, asumsikan bahwa
, di mana taksingular. Misalkan adalah sembarang vektor taknol dalam
dan tetapkan . Karena taksingular,
akan menyebabkan
Jadi adalah definit positif.
Terbukti.
Hasil-hasil analog terhadap Teroema 6.6.1 tidak berlaku untuk keadaan semidefinit positif.
Contoh 2.5:
Submatriks utama semuanya mempunyai determinan taknegatif.
namun bukan semidefinit positif karena mempunyai nilai eigen negative .
Sebenarnya, adalah suatu vektor eigen dari
dan
Sistem Waktu Diskrit
Definisi 2.7:
Sistem adalah suatu alat atau algoritma yang beroperasi pada sinyal waktu kontinudiskrit input, menurut beberapa aturan yang dibuat, untuk menghasilkan
sinyal waktu kontinudiskrit dengan bentuk lain output sistem tersebut. Secara umum dinyatakan:
,
Definisi 2.8:
Sistem waktu diskrit pada dasarnya A. Abdurrochman, 2010 adalah algoritma matematik dengan deretan masukan,
, yang menghasilkan deretan keluaran, .
Ciri sistem diskrit yang linier: Jika masukan
menghasilkan Jika masukan
menghasilkan
Sistem waktu diskrit dikatakan statik memoryless jika output pada tiap hanya tergantung pada sampel input pada waktu yang sama yaitu
.
Sistem Singular
Sistem singular adalah sistem dinamik yang prosesnya ditentukan dengan kedua persamaan differensial dan persamaan aljabar. Sistem seperti itu muncul dalam
jaringan listrik, sistem
power
, dan sebagainya. Akhir dua dekade ini, ada mempelajari sistem singular secara luas seperti mencakup persoalan sebagai
solvability
,
controllability
dan
observability
, penyelesaian
pole
dan eliminasi proses impuls, kontrol geometri kuadratik linier, regulasi output, dan
decoupling
input-output, Jie Huang dan Ji-Feng Zhang, 1998.
Anggap sistem singular diskrit berikut:
dimana adalah vektor keadaan,
adalah input kontrol, dan adalah output sistem.
adalah matriks konstanta yang berdimensi telah ditentukan. Seluruh pembahasan ini diasumsikan bahwa rank
dan dengan singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem
tampak secara lengkap dan
adalah pasangan regular, yaitu . Diturunkan
secara teratur sehingga menjamin memiliki adanya dan keunikan solusi, Dianhui Wang dan C. B. Soh, 1999.
Dengan asumsi
regulariti
bahwa terdapat dua matriks non-singular , sedemikian
hingga sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
dan adalah matriks
nilpotent
.
Definisi 2.9:
1. Sistem disebut
controllable observable
jika rank , terbatas rank
terbatas . 2.
Sistem disebut
controllable observable
jika kedua
controllable observable
dan rank rank
. 3.
Sistem disebut
controllable observable
jika terdapat sebuah matriks sedemikian hingga deg
rank atau ada sebuah
sedemikian hingga deg rank . Di
sini deg menunjukkan degree dari suatu polinomial.
Anggap kontrol umpan-balik keadaan:
dimana input baru. Menggunakan
pada sistem menghasilkan sistem
loop tertutup
Menjamin bahwa sistem loop-tertutup memiliki solusi yang unik untuk
setiap , selanjutnya menggunakan hanya yang membuat
regular. Berikut tiga lemma akan dibutuhkan untuk selanjutnya.
Lemma 1:
Terdapat matriks sedemikian hingga sistem loop tertutup tidak memiliki pole
terbatas, atau dengan perkataan lain:
dimana adalah konstanta, jika dan hanya jika sistem
adalah
controllable
dan atau
.
Bukti:
Perlu
: Dengan asumsi sebelumnya bahwa sistem adalah regular, terdapat dua
matriks non-singular sedemikian hingga
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
. Akibat teori sistem linier juga menunjukkan bahwa terdapat non-singular sedemikian hingga
dimana , dan
adalah
controllable
. Untuk setiap matriks , sistem loop tertutup memiliki
polinimial karakteristik dari
dengan .
Telah diasumsikan bahwa sistem loop tertutup adalah regular, sehingga
deg deg
. Jika terdapat memenuhi , maka
harus ditarik kesimpulan bahwa deg . Oleh sebab itu
dapat tidak ada. Ini berarti bahwa
adalah controllable, atau dengan perkataan lain sistem adalah
controllable
. Jelas bahwa atau
.
Cukup
: Bukti cukup adalah berguna. Dengan tidak menghilangkan secara umum bahwa
adalah
controllable
sebaliknya, dapat membiarkannya pada bentuk controllability standard an melanjutkan pembahasan subsistem
controllable
. Oleh karena itu, sistem
adalah
controllable
. dapat dipilih sedemikian hingga
deg rank . Hal itu dapat ditarik kesimpulan bahwa matriks
non-singular ada, sedemikian hingga sistem loop tertutup
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag ,
diag ,
Karena sistem adalah
controllable
, adalah
controllable
dan memiliki rank baris penuh , dan rank
rank . Oleh karena itu, dapat
memilih sedemikian hingga
Anggap
Maka sistem menjadi
dan adalah
controllable
. Diskusi berikut dibagi menjadi dua bagian.
1. Assumsikan bahwa terdapat bilangan ,
rank , kolom ke dari
tidak nol. Dalam kasus ini, tanpa menghilangkan secara umum, menunjukkan bahwa
. Maka dapat diketahui dengan segera bahwa matriks
ada sedemikian hingga adalah
controllable
. Anggap
Maka sistem loop tertutup dari dan
digambarkan dengan
Pemberitahuan fakta bahwa adalah
controllable
, terdapat matriks non-singular
sedemikian hingga
Menunjukkan
Hal itu mengikuti bahwa sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
Anggap
Maka secara langsung komputasi memberikan bahwa sistem loop tertutup dibentuk dengan
dan memiliki polinomial karakteristik:
konstanta, dimana
. Dan sekarang
dipilih sebagai suatu cara akan memenuhi persamaan .
2. Pada bagian yang lain, membiarkan
rank kolom dari , adalah nol. Menunjukkan
dimana kolom pertama dari tidak vektor nol. Anggap
, sistem
menjadi
Jadi, hal itu ditukar pada kasus
Akibat 2.1:
Jika sistem adalah
controllable
dan , terdapat
sedemikian hingga
ada.
Akibat 2.2:
Jika sistem adalah
observable
dan , terdapat sedemikian hingga
konstanta, .
Lemma 2.2:
Menunjukkan sistem menjadi
controllable
dan keduanya memenuhi deg
rank . Maka lanjutan subsistem dari dua sistem berikut:
memiliki indeks
observabiliti
yang sama.
Bukti:
Pertama, terdapat matriks non-singular sedemikian hingga sistem
dan adalah, berturut-turut, ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag diag
Pada bagian lain, anggap , dengan matriks
transformasi sistem
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
Karena deg rank
ada. Anggap
Sistem menjadi
dimana
Karena dan
adalah keduanya dekomposisi standar dari sistem ,
maka diketahui bahwa terdapat matriks non-singular sedemikian hingga
Jika adalah indeks observabiliti dari
berturut-turut. Dari definisi komputasi secara langsung memberikan bahwa
.
BAB 3
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas penyelesaian masalah regularisasi sistem singular linier.
Regularisasi Sistem Waktu Diskrit Singular
Diberikan sistem waktu diskrit singular:
dimana adalah vektor keadaan,
adalah input kontrol, dan adalah output sistem. Matriks
dimaksudkan menjadi sebuah matriks singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem
tampak secara lengkap dan adalah pasangan regular, yaitu
. Diturunkan secara teratur sehingga menjamin memiliki adanya dan keunikan solusi.
Dalam bab ini, akan diselidiki kondisi adanya peningkatan
controller
sedemikian hingga sistem di bawah umpan-balik
adalah ekuivalen terhadap sistem waktu-diskrit regular dari bentuk:
dimana adalah
invertible
atau sebuah matriks bujursangkar rank penuh. Dapat disebut umpan-balik
peregularan pengontrol dan
adalah input kontrol baru yang dibentuk sebelumnya. Komputasi diselesaikan melalui solusi pertidaksamaan matriks linear. Selanjutnya, berikan kondisi
pertidaksaan matriks linear yang sama bahwa terdapat adanya pengontrol peregularan dari bentuk:
dimana adalah sebuah matriks konstan dari dimensi
. Untuk kedua hal ini, diasumsikan bahwa
didapatkan untuk umpan-balik dengan
observer
yang tepat.
3.1.1 Regularisasi dengan Prediktive Umpan-Balik Statis
Kategori