Tujuan Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus
yang merupakan fungsi dari waktu ̂. Aliran
fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida
sepanjang waktu ̂. Peubah ̂ dan ̂ masing-
masing menyatakan komponen kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal
yang bergantung pada peubah ̂, ̂ dan ̂.
Rapat massa fluida dinyatakan oleh .
Gambar 2 Kesetimbangan Massa. Menurut hukum kekekalan massa, laju
perubahan massa dalam elemen luas pada Gambar 2 adalah selisih antara massa yang
masuk dan massa yang keluar. Laju perubahan massa pada arah sumbu-
adalah : ̂
�̂
̂ ̂
�̂ �̂
̂ dan pada arah sumbu-
adalah : ̂
̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ sehingga laju perubahan massa fluida adalah :
̂ ̂
�̂
̂
�̂ �̂
̂ ̂
̂
̂
̂ ̂
̂ Untuk
̂ dan ̂ , diperoleh : ̂
̂ ̂
̂ ̂
yang dikenal dengan persamaan kontinuitas. Persamaan
tersebut menggambarkan
perubahan rapat massa pada suatu titik tetap, sebagai hasil dari perubahan pada vektor
kecepatan massa ̅.
Didefinisikan turunan total dari terhadap
waktu ̂, yaitu :
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ Dalam notasi vektor, turunan total dari
terhadap waktu ̂ dapat ditulis sebagai
berikut: ̂
̅ dengan
̅ ̂ ̂ . Jika diasumsikan bahwa aliran terjadi pada fluida taktermampatkan
incompressible, yaitu :
̂ maka persamaan 2.5 memberikan persamaan
berikut :
̂
�̂
̂
̂
atau ̅ 2.6
[Faber, 1995]. Persamaan kontinuitas dapat digunakan
sesuai dengan sistem koordinat silinder
. Persamaan kontinuitas pada koordinat silinder
dapat dinyatakan sebagai berikut [Acheson, 1990] :
Jika fluida dengan kerapatan konstan di
seluruh medan aliran, maka persamaan di atas menjadi :
2.7 Hukum kekekalan momentum diturunkan
dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navie-Stokes adalah serangkaian persamaan
yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida baik
cairan maupun
gas. Persamaan-
persamaan ini menyatakan bahwa perubahan momentum partikel-partikel fluida bergantung
hanya pada gaya gesekan viskositas yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu,
persamaan
Navier-Stokes menjelaskan
kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan Navier-
Stokes adalah :
2.8
̂
̂ ̂
̂
̂
�̂ �̂
̂
̂ ̂ ̂
̂
�̂
̂ ̂
̂ ̂
̂
̂
̂