I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Seiring berkembangnya jaman, sektor industri dan teknologi semakin berkembang
pesat dengan digunakannya fluida berbentuk cairan
liquid dalam
proses industri.
Misalnya dalam bidang industri, fluida cair digunakan sebagai bahan pembuat plastik,
cairan pelumas,
pembuatan lilin
dan sebagainya. Secara umum fluida yang
memenuhi hukum Newton disebut fluida Newtonian di mana terdapat hubungan antara
gaya yang bekerja dengan gerak yang disebabkannya. Banyak jenis fluida yang
bersifat Newtonian seperti air, beberapa jenis minyak dan berbagai jenis gas di mana
kekentalannya
tidak berubah
seiring perubahan
waktu. Namun
kemajuan teknologi telah membawa dampak terhadap
fluida dengan
ditandainya berbagai
penyimpangan terhadap hukum Newton yang mengakibatkan fluida Newtonian jarang
digunakan dalam proses industri. Fluida non Newtonian
merupakan bentuk
dari penyimpangan
fluida terhadap
hukum Newton. Kebanyakan fluida yang terdapat di
alam tidak bersifat Newtonian tetapi bersifat non Newtonian seperti cat, tinta, minyak
pelumas, lumpur, dan sebagainya yang banyak digunakan pada bidang industri. Pembahasan
lebih rinci mengenai dinamika fluida terdapat dalam ilmu yang memelajari perilaku fluida
yaitu mekanika fluida.
Mekanika fluida adalah suatu ilmu yang memelajari perilaku fluida baik dalam
keadaan diam static maupun bergerak dynamic. Fluida memiliki sifat tidak
menolak terhadap perubahan bentuk dan mengambil
bentuk dari
wadah yang
ditempatinya. Sifat ini biasanya dikarenakan ketidakmampuan fluida mengadakan tegangan
geser shear stress dalam pusat massa sehingga keberadaan tekanan menjadi sangat
penting dalam mengarakterisasi bentuk fluida. Dapat disimpulkan bahwa fluida
adalah zat atau entitas yang terdeformasi secara berkesinambungan apabila diberi
tegangan geser sekecil apapun. Berdasarkan definisi, fluida dapat dibagi menjadi dua jenis
yaitu zat cair dan gas. Perbedaan antara keduanya
juga bersifat
teknis, yaitu
berhubungan dengan akibat gaya kohesif [Munson, Young, Okiishi, 2004].
Model matematika
dapat digunakan
sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena alam yang sering muncul dalam permasalahan
di bidang biologi, fisika, ekonomi, teknik, dan lainnya. Salah satu model matematika yang
akan dibahas dalam karya ilmiah ini didasarkan pada jenis mekanika fluida
bergerak dynamic. Model cairan non Newtonian
dalam aliran
mampat menimbulkan
persamaan differensial
taklinear. Secara analitik masalah taklinear sulit untuk dicari solusinya. Fluida Sisko
merupakan salah satu jenis dari fluida non Newtonian
karena perilakunya
yang menyimpang dari hukum Newton membuat
fluida tersebut sulit mengalir dalam pipa tanpa adanya kerja yang diberikan. Permasalahan
yang timbul akibat perilaku fluida Sisko tersebut akan menjadi penghambat bagi kerja
industri. Oleh karena itu model matematika dibuat berdasarkan persamaan fluida Sisko
yang telah ditentukan dan persamaan yang berlaku terhadap fluida secara umum seperti
hukum
kekekalan massa
dan hukum
kekekalan momentum. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai perilaku fluida Sisko dalam
pipa lurus dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang diperkenalkan oleh
He 2000.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model aliran fluida Sisko melalui pipa lurus.
2. Mengetahui
profil kecepatan
dan tegangan geser fluida Sisko berdasarkan
nilai viskositas fluida dan parameter pencampuran fluida.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, dan
sistematika penulisan.
Bab kedua
merupakan landasan teori yang berisi sistem koordinat silinder, aliran fluida pada pipa
lurus, persamaan aliran fluida serta konsep metode
perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan masalah taklinear. Bab ketiga
merupakan pembahasan yang berisi asumsi dan model Sisko, analisis metode perturbasi
homotopi yang
digunakan untuk
menyelesaikan model Sisko, aplikasi metode untuk persamaan differensial umum, dan
penyelesaian model
Sisko dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan
dari keseluruhan penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi sistem koordinat silinder, aliran fluida pada pipa
lurus, persamaan dasar aliran fluida, serta metode perturbasi homotopi yang disarikan
dari [He, 2000]. 2.1 Sistem Koordinat Silinder
Beberapa persamaan differensial dapat dijelaskan dalam koordinat silinder. Dengan
koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat
, dan
. Koordinat adalah jarak radial dari sumbu-
, adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu-
dengan arah yang berlawanan jarum jam dianggap
positif dan adalah koordinat sepanjang
sumbu- . Hubungan antara koordinat
kartesian dengan koordinat silinder dapat dilihat pada Gambar 1 berikut :
Gambar 1 Sistem Koordinat Silinder. Berdasarkan Gambar 1 diperoleh hubungan
berikut :
. Komponen-komponen
kecepatan pada
sistem koordinat silinder adalah kecepatan radial
, kecepatan tangensial dan
kecepatan aksial . Selanjutnya, kecepatan
pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai :
̂ ̂
̂ di mana
̂ ,
̂ dan
̂ masing-masing adalah
vektor-vektor satuan dalam arah , dan .
Misalkan adalah suatu fungsi skalar,
maka turunan
vektor kecepatan
dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan merupakan suatu operator turunan
yang didefinisikan sebagai berikut :
2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus
Berbagai karakteristik aliran fluida pada umumnya merupakan fungsi ruang dan waktu.
Dalam aliran tiga dimensi karakteristik aliran fluida dapat berubah pada koordinat
, dan yang merupakan fungsi dari waktu. Secara
matematis kecepatan aliran fluida dapat dituliskan sebagai berikut :
Beberapa karakteristik umum dari aliran fluida adalah aliran dapat merupakan aliran
tunak atau taktunak, termampatkan atau taktermampatkan dan aliran kental atau
takkental.
Jika kecepatan partikel yang diberikan konstan terhadap waktu, maka aliran fluida
dikatakan tunak. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut [Faber, 1995] :
dengan
Aliran fluida
dapat pula
dikatakan taktermampatkan incompressible, jika fluida
yang mengalir tidak mengalami perubahan volume atau massa jenis ketika ditekan.
Secara matematis
aliran fluida
taktermampatkan dapat
ditulis sebagai
berikut:
Selanjutnya, jika terdapat aliran fluida di mana tegangan geser diabaikan, maka aliran
disebut takkental inviscid. Fluida yang memiliki
karakteristik aliran
fluida
taktermampatkan dan takkental disebut fluida ideal.
Dalam banyak hal, fluida memiliki beberapa
sifat untuk
penyederhanaan matematis seperti aliran fluida bersifat
seragam dan laminar. Suatu aliran dikatakan seragam apabila kecepatan fluida baik arah
maupun besarnya tidak berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat,
sehingga bentuk persamaan suatu aliran seragam dapat ditulis sebagai berikut :
dengan merupakan vektor arah. Aliran
fluida dikatakan sebagai aliran laminar apabila partikel fluida bergerak berlapis-lapis seperti
bentuk lembaran-lembaran tipis. Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang
alirannya berupa garis lurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida. Oleh karena itu
garis-garis laluannya tidak akan berpotongan satu sama lain. Hal ini terjadi pada kecepatan
aliran yang rendah sehingga menyebabkan gaya yang ditimbulkan akibat kekentalan
viscosity fluida ini menjadi sangat menonjol. Kekentalan
suatu fluida
menyebabkan terjadinya gerakan relatif antar lapisan fluida
yang bergerak sesuai kecepatan masing- masing sehingga timbul tegangan geser.
Besarnya tegangan
geser yang
terjadi bervariasi dari titik ke titik pada penampang
aliran. Tegangan geser mencapai maksimum saat batasan fluida terpenuhi dan perlahan-
lahan menurun dengan bertambahnya jarak lapisan. Tegangan geser dapat menghambat
aliran suatu fluida sehingga menyebabkan terjadinya penurunan tekanan sepanjang
penampang aliran.
Sebagaimana diketahui, fluida terdiri atas aliran fluida Newtonian dan fluida non
Newtonian. Untuk fluida pada umumnya, tegangan geser dan kecepatan dikaitkan dalam
hubungan berikut :
dengan merupakan tegangan geser pada
fluida dan merupakan kekentalan fluida
viscosity [Munson, Young, Okiishi, 2004]. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida
non Newtonian yang sangat langka sehingga untuk mendapatkannya pun sangat sulit.
Fluida Sisko merupakan salah satu fluida yang memiliki karakteristik plastik Bingham dan
bentukknya berupa plastik padat. Tegangan geser dan regangan geser fluida Sisko
memiliki hubungan linier. Hal ini berarti bahwa fluida Sisko akan mengalir seperti air
pada saat mencapai regangan geser tertentu. Contoh nyata dari fluida Sisko adalah lumpur.
Pada beberapa kasus fluida ini digunakan dalam proses pengeboran yang diedarkan atau
dipompakan dari permukaan melalui pipa bor menuju mata bor dan kemudian kembali ke
permukaan melalui Annulus celah antara pipa bor dengan lubang sumur. Dengan demikian
untuk aliran fluida Sisko dalam pipa annulus dengan gerakan yang dimulai dari luar pipa
memiliki persamaan tegangan geser sebagai berikut [Khan, Munawar, Abbasbandy, 2010]:
2.2 dengan
tekanan, tegangan indentitas, dan merupakan tegangan geser ekstra. Tegangan
geser ekstra adalah tambahan tegangan yang terjadi pada aliran fluida Sisko yang
didefinisikan sebagai berikut :
[ √
] 2.3
di mana dalam koordinat silinder, dinyatakan oleh [Shafieenejad et.al, 2009]:
[ ]
2.4 dengan
Besaran dan merupakan parameter-
parameter yang bergantung pada jenis fluida yang ditinjau.
2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida
Gerak partikel fluida dikendalikan oleh dua hukum, yaitu hukum kekekalan massa dan
hukum kekekalan momentum. Persamaan dasar fluida didapatkan dari kedua hukum
tersebut. Dalam hal ini diasumsikan sifat fisis dari gerak partikel fluida berupa elemen luas
dalam dua dimensi, sehingga untuk setiap partikelnya akan diberikan koordinat
̂ dan ̂
