Asumsi dan Model Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus

Dengan demikian model matematika bagi kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus dinyatakan oleh masalah nilai batas berikut : dengan syarat batas : 3.10 Tegangan geser aliran fluida Sisko yang dinyatakan oleh persamaan 3.4 dan kecepatan aliran fluida Sisko yang diperoleh dari masalah nilai batas pada persamaan 3.10 masih berupa variabel fisis. Oleh karena itu, perlu dilakukan penondimensionalan. Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut : ̅ ̅ dengan ̅ didefinisikan sebagai berikut : ̅ ̅ yang menyatakan rasio antara rata-rata kecepatan fluida pada pipa ̅ dengan jari-jari pipa . Masalah nilai batas pada persamaan 3.10 menjadi : dengan syarat batas : 3.11 setelah tanda diabaikan. Persamaan 3.11 merupakan model matematika kecepatan aliran fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa , tekanan , parameter pencampuran fluida tegangan geser fluida Sisko dan viskositas fluida . Untuk fluida Newtonian , sedangkan untuk fluida Sisko yang merupakan fluida non Newtonian . Tekanan fluida pada kondisi stabil dinyatakan oleh : ̅ dengan tekanan dalam kondisi kesetimbangan. Jadi berdasarkan persamaan 3.4, tegangan geser dalam variabel tak berdimensi adalah Persamaan 3.12 merupakan model matematika tegangan geser fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa dan viskositas fluida. Penurunan persamaan 3.11 dan 3.12 dapat dilihat pada lampiran 2 dan 3. 3.2 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian masalah aliran fluida non Newtonian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang disarikan dari [Liao, 2004] seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi yang tidak hanya bergantung pada dan , tetapi juga bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu . Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut : [ ] [ ] 3.13 Selanjutnya, misalkan fungsi merupakan penyelesaian dari persamaan berikut : atau [ ] [ ]. Berdasarkan persamaan 3.13, maka untuk dan masing-masing memberikan persamaan berikut : [ ] dan [ Berdasarkan persamaan 2.10 dan persamaan 2.11, maka penyelesaian dari persamaan dan masing-masing adalah dan Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu T r. Pemilihan pendekatan awal , dan operator linear perlu memperhatikan validitas dari metode homotopi. Dengan pemilihan ini terjamin adanya fungsi dan turunan-turunannya terhadap untuk setiap [ ]. Turunan ke dari fungsi terhadap yang dihitung di adalah: dan dinotasikan Deret Taylor dari fungsi di sekitar adalah ∑ atau ∑ Selanjutnya dengan pemilihan , , , dan juga mengakibatkan kekonvergenan dari deret 3.15 di . Jadi untuk , dari persamaan 3.15 diperoleh ∑ 3.16 Karena , maka diperoleh ∑ 3.17 Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan 2.10 dengan pendekatan awal dan yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi, di mana persamaan 3.15 disubstitusikan ke dalam persamaan 3.14, kemudian menyamakan koefisien dari kepangkatan .

3.3 Aplikasi Metode

Pada aliran fluida Sisko dalam pipa, hubungan antara tegangan geser dan regangan gesernya bersifat linear. Oleh karena itu, perlu diketahui bagaimana profil kecepatan dan tegangan geser yang terjadi pada aliran fluida Sisko di dalam pipa. Untuk lebih memahami metode yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, tinjau persamaan 3.11 yang merupakan model matematika bagi kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus dan ditulis kembali sebagai berikut : dengan syarat batas : { 3.18 Berdasarkan persamaan 3.14 dan persamaan 3.18 diperoleh [ ] 3.19 dengan [ ] suatu parameter dan merupakan pendekatan awal. Parameter mengalami peningkatan dari 0 sampai 1. Misalkan penyelesaian dari persamaan 3.19 dinyatakan dalam deret kuasa berikut : 3.20 Jika persamaan 3.20 disubstitusi ke dalam persamaan 3.19, maka koefisien memberikan persamaan berikut dengan syarat batas : { Koefisien memberikan persamaan berikut dengan syarat batas : { Koefisien memberikan persamaan berikut [ dengan syarat batas : { Sebagai pendekatan awal di pilih sehingga diperoleh penyelesaian untuk koefisien , yaitu : Penyelesaian untuk koefisien adalah : Penyelesaian untuk koefisien adalah : Berdasarkan persamaan 3.20, maka penyelesaian dari masalah nilai batas pada persamaan 3.18 dapat ditulis : atau 3.21 Penurunan persamaan 3.21 dapat dilihat pada lampiran 4. Selanjutnya, dengan menurunkan persamaan 3.21 satu kali terhadap , maka persamaan 3.12 memberikan tegangan geser berikut : 3.22