Asumsi dan Model Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus
Dengan demikian model matematika bagi kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus
dinyatakan oleh masalah nilai batas berikut :
dengan syarat batas :
3.10 Tegangan geser aliran fluida Sisko yang
dinyatakan oleh
persamaan 3.4
dan kecepatan aliran fluida Sisko yang diperoleh
dari masalah nilai batas pada persamaan 3.10 masih berupa variabel fisis. Oleh
karena itu,
perlu dilakukan
penondimensionalan. Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut :
̅ ̅
dengan ̅ didefinisikan sebagai berikut :
̅ ̅
yang menyatakan rasio antara rata-rata kecepatan fluida pada pipa
̅ dengan jari-jari pipa
. Masalah nilai batas pada persamaan 3.10 menjadi :
dengan syarat batas :
3.11 setelah tanda diabaikan.
Persamaan 3.11
merupakan model
matematika kecepatan aliran fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari
penampang pipa , tekanan
, parameter pencampuran fluida
tegangan geser fluida Sisko
dan viskositas fluida . Untuk
fluida Newtonian , sedangkan untuk
fluida Sisko yang merupakan fluida non Newtonian
. Tekanan fluida pada kondisi stabil dinyatakan oleh :
̅ dengan
tekanan dalam
kondisi kesetimbangan. Jadi berdasarkan persamaan
3.4, tegangan geser dalam variabel tak berdimensi adalah
Persamaan 3.12
merupakan model
matematika tegangan geser fluida Sisko dalam pipa
yang dipengaruhi
oleh jari-jari
penampang pipa dan viskositas
fluida. Penurunan persamaan 3.11 dan 3.12 dapat
dilihat pada lampiran 2 dan 3. 3.2
Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian masalah aliran fluida non
Newtonian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang disarikan
dari [Liao, 2004] seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi
yang tidak hanya bergantung pada
dan , tetapi juga bergantung pada parameter bantu
dan fungsi bantu . Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai
berikut :
[ ]
[ ] 3.13
Selanjutnya, misalkan fungsi merupakan penyelesaian dari persamaan
berikut :
atau [
] [ ].
Berdasarkan persamaan 3.13, maka untuk dan masing-masing memberikan
persamaan berikut :
[ ]
dan [
Berdasarkan persamaan
2.10 dan
persamaan 2.11, maka penyelesaian dari persamaan
dan masing-masing adalah
dan Kedua penyelesaian di atas bergantung pada
parameter bantu dan fungsi bantu T r.
Pemilihan pendekatan awal , dan operator
linear perlu memperhatikan validitas dari
metode homotopi. Dengan pemilihan ini terjamin adanya fungsi
dan turunan-turunannya terhadap
untuk setiap [ ]. Turunan ke dari fungsi
terhadap yang dihitung di adalah:
dan dinotasikan
Deret Taylor dari fungsi di
sekitar adalah
∑ atau
∑ Selanjutnya dengan pemilihan
, , , dan juga mengakibatkan
kekonvergenan dari deret 3.15 di . Jadi
untuk , dari persamaan 3.15 diperoleh
∑ 3.16
Karena , maka diperoleh
∑ 3.17
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan 2.10
dengan pendekatan awal dan
yang akan ditentukan. Persamaan untuk
menentukan diperoleh
dengan menggunakan
metode perturbasi,
di mana
persamaan 3.15
disubstitusikan ke dalam persamaan 3.14, kemudian
menyamakan koefisien
dari kepangkatan
.