Mekanika Fluida. Edisi Keempat Harinaldi dan Budiarso, penerjemah.

LAMPIRAN Lampiran 1 Penyelesaian Masalah Nilai Awal 2.16 Perhatikan persamaan 2.16 berikut : dengan syarat awal dan Jika persamaan 2.20 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.19, maka diperoleh dengan nilai awal , , dan sebagai pendekatan awal. Setelah dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan dari , koefisien masing- masing memberikan persamaan berikut : Jika persamaan di atas diintegralkan dua kali terhadap , koefisien masing- masing memberikan penyelesaian berikut : Dengan demikian penyelesaian masalah nilai awal 2.16 dengan syarat awal dan hingga orde keempat adalah Lampiran 2 Penurunan Persamaan 3.11 Tinjau persamaan 3.10 yang merupakan persamaan kecepatan aliran dari fluida Sisko Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut ̅ ̅ dengan ̅ ̅ dan ̅ Karena ̅ dan ̅ ̅ maka bentuk persamaan tak berdimensi dari persamaan 3.10 dapat ditulis : ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ atau ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Jika kedua ruas pada persamaan di atas dikalikan dengan ̅ , maka diperoleh ̅ ̅ atau ̅ ̅ atau Jika tanda diabaikan, maka diperoleh persamaan berikut : Lampiran 3 Penurunan Persamaan 3.12 Tinjau persamaan 3.4 yang merupakan persamaan tegangan geser bagi fluida Sisko berikut : Didefinisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut ̅ ̅ ̅ dengan ̅ ̅ Karena ̅ maka bentuk persamaan tak berdimensi dari persamaan 3.4 dapat ditulis : ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ sehingga diperoleh ̅ ̅ atau ̅ Jika tanda diabaikan, maka diperoleh persamaan berikut Lampiran 4 Penurunan Persamaan 3.21 Tinjau persamaan 3.20 sebagai berikut : Jika persamaan 3.20 diturunkan terhadap , maka diperoleh Jika persamaan diatas diturunkan untuk yang kedua kalinya, maka diperoleh Jika bentuk dan turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan 3.19, maka diperoleh atau atau [ ] atau [ ] atau atau [ ] atau Koefisien memberikan persamaan berikut : Koefisien memberikan persamaan berikut : Koefisien memberikan persamaan berikut : Berikut ini akan ditentukan bentuk syarat batasnya. Berdasarkan persamaan 3.20 dan syarat batas 3.18, maka diperoleh koefisien memberikan syarat batas { koefisien memberikan syarat batas { koefisien memberikan syarat batas { Berikut ini akan ditentukan penyelesaian , , dan . Misalkan dipilih , maka diperoleh Jika bentuk dan turunan-turunannya disuubstitusikan ke dalam masalah nilai batas untuk berikut dengan syarat batas berikut maka diperoleh [ [ ] ] Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh Jika syarat batas di atas digunakan, maka diperoleh sehingga Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh Jika syarat batas digunakan, maka diperoleh sehingga Jika bentuk dan serta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam masalah nilai batas untuk berikut dengan syarat batas berikut maka diperoleh Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh Jika syarat batas di atas digunakan, maka diperoleh sehingga Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh Jika syarat batas digunakan, maka diperoleh sehingga Maka penyelesaian persamaan 3.20 dapat ditulis atau Lampiran 5 Program Maple untuk Gambar 5                      Lampiran 6 Program Maple untuk Gambar 6                       Lampiran 7 Program Maple untuk Gambar 7                   Lampiran 8 Program Maple untuk Gambar 8                  .  ABSTRAK ISNA ALDILLA . Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI Fluida Sisko merupakan fluida cair yang memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari- hari dan banyak digunakan dalam proses industri. Model matematika untuk menjelaskan kecepatan aliran dan tegangan geser fluida Sisko diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum dan dinyatakan dalam koordinat silinder. Dalam penurunan model, diasumsikan kecepatan partikel fluida hanya bergantung pada gerak melingkar sepanjang pipa. Model matematika yang diperoleh berupa masalah nilai batas yang bentuknya taklinear. Model ini diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Berdasarkan metode ini, penyelesaian model matematika untuk fluida Sisko dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan software Maple 13, kecepatan aliran dan tegangan geser fluida Sisko diberikan dalam bentuk grafik. Berdasarkan grafik, diperoleh bahwa kecepatan partikel fluida meningkat pada pusat pipa dengan meningkatnya kekentalan fluida. Kata Kunci : metode perturbasi homotopi, model fluida Sisko, masalah taklinear ABSTRACT ISNA ALDILLA . The Use of Homotopy Perturbation Method to Solve Problems of Sisko Fluid Flow in a Straight Pipe . Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI Sisko fluid is a liquid, which has an important role in daily life as well as in industrial processes. A mathematical model to describe the flow velocity and shear stress of Sisko fluid is derived from the laws of mass and momentum conservations. The model can be expressed in cylindrical coordinates. In the model formulation, the velocity of fluid particle is assumed to depend only on the circular motion along the pipe. The obtained model is a nonlinear boundary value problem. The problem can be solved by homotopy perturbation method, which is an analytical method to solve a nonlinear problem. Using this method, the solution of Sisko fluid model is given in the form of power series. Using Maple 13 software, the flow velocity and shear stress for Sisko fluid are graphically sketched. Based on the graphs, it can be observed that the velocity of fluid at the center of the pipe increases by increasing viscosity. Keywords : homotopy perturbation method, Sisko fluid model, nonlinear problem I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Seiring berkembangnya jaman, sektor industri dan teknologi semakin berkembang pesat dengan digunakannya fluida berbentuk cairan liquid dalam proses industri. Misalnya dalam bidang industri, fluida cair digunakan sebagai bahan pembuat plastik, cairan pelumas, pembuatan lilin dan sebagainya. Secara umum fluida yang memenuhi hukum Newton disebut fluida Newtonian di mana terdapat hubungan antara gaya yang bekerja dengan gerak yang disebabkannya. Banyak jenis fluida yang bersifat Newtonian seperti air, beberapa jenis minyak dan berbagai jenis gas di mana kekentalannya tidak berubah seiring perubahan waktu. Namun kemajuan teknologi telah membawa dampak terhadap fluida dengan ditandainya berbagai penyimpangan terhadap hukum Newton yang mengakibatkan fluida Newtonian jarang digunakan dalam proses industri. Fluida non Newtonian merupakan bentuk dari penyimpangan fluida terhadap hukum Newton. Kebanyakan fluida yang terdapat di alam tidak bersifat Newtonian tetapi bersifat non Newtonian seperti cat, tinta, minyak pelumas, lumpur, dan sebagainya yang banyak digunakan pada bidang industri. Pembahasan lebih rinci mengenai dinamika fluida terdapat dalam ilmu yang memelajari perilaku fluida yaitu mekanika fluida. Mekanika fluida adalah suatu ilmu yang memelajari perilaku fluida baik dalam keadaan diam static maupun bergerak dynamic. Fluida memiliki sifat tidak menolak terhadap perubahan bentuk dan mengambil bentuk dari wadah yang ditempatinya. Sifat ini biasanya dikarenakan ketidakmampuan fluida mengadakan tegangan geser shear stress dalam pusat massa sehingga keberadaan tekanan menjadi sangat penting dalam mengarakterisasi bentuk fluida. Dapat disimpulkan bahwa fluida adalah zat atau entitas yang terdeformasi secara berkesinambungan apabila diberi tegangan geser sekecil apapun. Berdasarkan definisi, fluida dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu zat cair dan gas. Perbedaan antara keduanya juga bersifat teknis, yaitu berhubungan dengan akibat gaya kohesif [Munson, Young, Okiishi, 2004]. Model matematika dapat digunakan sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena alam yang sering muncul dalam permasalahan di bidang biologi, fisika, ekonomi, teknik, dan lainnya. Salah satu model matematika yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini didasarkan pada jenis mekanika fluida bergerak dynamic. Model cairan non Newtonian dalam aliran mampat menimbulkan persamaan differensial taklinear. Secara analitik masalah taklinear sulit untuk dicari solusinya. Fluida Sisko merupakan salah satu jenis dari fluida non Newtonian karena perilakunya yang menyimpang dari hukum Newton membuat fluida tersebut sulit mengalir dalam pipa tanpa adanya kerja yang diberikan. Permasalahan yang timbul akibat perilaku fluida Sisko tersebut akan menjadi penghambat bagi kerja industri. Oleh karena itu model matematika dibuat berdasarkan persamaan fluida Sisko yang telah ditentukan dan persamaan yang berlaku terhadap fluida secara umum seperti hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai perilaku fluida Sisko dalam pipa lurus dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang diperkenalkan oleh He 2000.

1.2 Tujuan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah: 1. Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model aliran fluida Sisko melalui pipa lurus. 2. Mengetahui profil kecepatan dan tegangan geser fluida Sisko berdasarkan nilai viskositas fluida dan parameter pencampuran fluida.

1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan. Bab kedua merupakan landasan teori yang berisi sistem koordinat silinder, aliran fluida pada pipa lurus, persamaan aliran fluida serta konsep metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan masalah taklinear. Bab ketiga merupakan pembahasan yang berisi asumsi dan model Sisko, analisis metode perturbasi homotopi yang digunakan untuk menyelesaikan model Sisko, aplikasi metode untuk persamaan differensial umum, dan penyelesaian model Sisko dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan. II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi sistem koordinat silinder, aliran fluida pada pipa lurus, persamaan dasar aliran fluida, serta metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He, 2000]. 2.1 Sistem Koordinat Silinder Beberapa persamaan differensial dapat dijelaskan dalam koordinat silinder. Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat , dan . Koordinat adalah jarak radial dari sumbu- , adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu- dengan arah yang berlawanan jarum jam dianggap positif dan adalah koordinat sepanjang sumbu- . Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder dapat dilihat pada Gambar 1 berikut : Gambar 1 Sistem Koordinat Silinder. Berdasarkan Gambar 1 diperoleh hubungan berikut : . Komponen-komponen kecepatan pada sistem koordinat silinder adalah kecepatan radial , kecepatan tangensial dan kecepatan aksial . Selanjutnya, kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai : ̂ ̂ ̂ di mana ̂ , ̂ dan ̂ masing-masing adalah vektor-vektor satuan dalam arah , dan . Misalkan adalah suatu fungsi skalar, maka turunan vektor kecepatan dapat dituliskan sebagai berikut : dengan merupakan suatu operator turunan yang didefinisikan sebagai berikut :

2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus

Berbagai karakteristik aliran fluida pada umumnya merupakan fungsi ruang dan waktu. Dalam aliran tiga dimensi karakteristik aliran fluida dapat berubah pada koordinat , dan yang merupakan fungsi dari waktu. Secara matematis kecepatan aliran fluida dapat dituliskan sebagai berikut : Beberapa karakteristik umum dari aliran fluida adalah aliran dapat merupakan aliran tunak atau taktunak, termampatkan atau taktermampatkan dan aliran kental atau takkental. Jika kecepatan partikel yang diberikan konstan terhadap waktu, maka aliran fluida dikatakan tunak. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut [Faber, 1995] : dengan Aliran fluida dapat pula dikatakan taktermampatkan incompressible, jika fluida yang mengalir tidak mengalami perubahan volume atau massa jenis ketika ditekan. Secara matematis aliran fluida taktermampatkan dapat ditulis sebagai berikut: Selanjutnya, jika terdapat aliran fluida di mana tegangan geser diabaikan, maka aliran disebut takkental inviscid. Fluida yang memiliki karakteristik aliran fluida taktermampatkan dan takkental disebut fluida ideal. Dalam banyak hal, fluida memiliki beberapa sifat untuk penyederhanaan matematis seperti aliran fluida bersifat seragam dan laminar. Suatu aliran dikatakan seragam apabila kecepatan fluida baik arah maupun besarnya tidak berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat, sehingga bentuk persamaan suatu aliran seragam dapat ditulis sebagai berikut : dengan merupakan vektor arah. Aliran fluida dikatakan sebagai aliran laminar apabila partikel fluida bergerak berlapis-lapis seperti bentuk lembaran-lembaran tipis. Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang alirannya berupa garis lurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida. Oleh karena itu garis-garis laluannya tidak akan berpotongan satu sama lain. Hal ini terjadi pada kecepatan aliran yang rendah sehingga menyebabkan gaya yang ditimbulkan akibat kekentalan viscosity fluida ini menjadi sangat menonjol. Kekentalan suatu fluida menyebabkan terjadinya gerakan relatif antar lapisan fluida yang bergerak sesuai kecepatan masing- masing sehingga timbul tegangan geser. Besarnya tegangan geser yang terjadi bervariasi dari titik ke titik pada penampang aliran. Tegangan geser mencapai maksimum saat batasan fluida terpenuhi dan perlahan- lahan menurun dengan bertambahnya jarak lapisan. Tegangan geser dapat menghambat aliran suatu fluida sehingga menyebabkan terjadinya penurunan tekanan sepanjang penampang aliran. Sebagaimana diketahui, fluida terdiri atas aliran fluida Newtonian dan fluida non Newtonian. Untuk fluida pada umumnya, tegangan geser dan kecepatan dikaitkan dalam hubungan berikut : dengan merupakan tegangan geser pada fluida dan merupakan kekentalan fluida viscosity [Munson, Young, Okiishi, 2004]. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida non Newtonian yang sangat langka sehingga untuk mendapatkannya pun sangat sulit. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida yang memiliki karakteristik plastik Bingham dan bentukknya berupa plastik padat. Tegangan geser dan regangan geser fluida Sisko memiliki hubungan linier. Hal ini berarti bahwa fluida Sisko akan mengalir seperti air pada saat mencapai regangan geser tertentu. Contoh nyata dari fluida Sisko adalah lumpur. Pada beberapa kasus fluida ini digunakan dalam proses pengeboran yang diedarkan atau dipompakan dari permukaan melalui pipa bor menuju mata bor dan kemudian kembali ke permukaan melalui Annulus celah antara pipa bor dengan lubang sumur. Dengan demikian untuk aliran fluida Sisko dalam pipa annulus dengan gerakan yang dimulai dari luar pipa memiliki persamaan tegangan geser sebagai berikut [Khan, Munawar, Abbasbandy, 2010]: 2.2 dengan tekanan, tegangan indentitas, dan merupakan tegangan geser ekstra. Tegangan geser ekstra adalah tambahan tegangan yang terjadi pada aliran fluida Sisko yang didefinisikan sebagai berikut : [ √ ] 2.3 di mana dalam koordinat silinder, dinyatakan oleh [Shafieenejad et.al, 2009]: [ ] 2.4 dengan Besaran dan merupakan parameter- parameter yang bergantung pada jenis fluida yang ditinjau.

2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida

Gerak partikel fluida dikendalikan oleh dua hukum, yaitu hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Persamaan dasar fluida didapatkan dari kedua hukum tersebut. Dalam hal ini diasumsikan sifat fisis dari gerak partikel fluida berupa elemen luas dalam dua dimensi, sehingga untuk setiap partikelnya akan diberikan koordinat ̂ dan ̂ yang merupakan fungsi dari waktu ̂. Aliran fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida sepanjang waktu ̂. Peubah ̂ dan ̂ masing- masing menyatakan komponen kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal yang bergantung pada peubah ̂, ̂ dan ̂. Rapat massa fluida dinyatakan oleh . Gambar 2 Kesetimbangan Massa. Menurut hukum kekekalan massa, laju perubahan massa dalam elemen luas pada Gambar 2 adalah selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar. Laju perubahan massa pada arah sumbu- adalah : ̂ �̂ ̂ ̂ �̂ �̂ ̂ dan pada arah sumbu- adalah : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ sehingga laju perubahan massa fluida adalah : ̂ ̂ �̂ ̂ �̂ �̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Untuk ̂ dan ̂ , diperoleh : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ yang dikenal dengan persamaan kontinuitas. Persamaan tersebut menggambarkan perubahan rapat massa pada suatu titik tetap, sebagai hasil dari perubahan pada vektor kecepatan massa ̅. Didefinisikan turunan total dari terhadap waktu ̂, yaitu : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Dalam notasi vektor, turunan total dari terhadap waktu ̂ dapat ditulis sebagai berikut: ̂ ̅ dengan ̅ ̂ ̂ . Jika diasumsikan bahwa aliran terjadi pada fluida taktermampatkan incompressible, yaitu : ̂ maka persamaan 2.5 memberikan persamaan berikut : ̂ �̂ ̂ ̂ atau ̅ 2.6 [Faber, 1995]. Persamaan kontinuitas dapat digunakan sesuai dengan sistem koordinat silinder . Persamaan kontinuitas pada koordinat silinder dapat dinyatakan sebagai berikut [Acheson, 1990] : Jika fluida dengan kerapatan konstan di seluruh medan aliran, maka persamaan di atas menjadi : 2.7 Hukum kekekalan momentum diturunkan dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navie-Stokes adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida baik cairan maupun gas. Persamaan- persamaan ini menyatakan bahwa perubahan momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya pada gaya gesekan viskositas yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan Navier- Stokes adalah : 2.8 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ �̂ �̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ �̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂