Mekanika Fluida. Edisi Keempat Harinaldi dan Budiarso, penerjemah.
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penyelesaian Masalah Nilai Awal 2.16
Perhatikan persamaan 2.16 berikut :
dengan syarat awal dan
Jika persamaan 2.20 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.19, maka diperoleh
dengan nilai awal ,
, dan
sebagai pendekatan awal.
Setelah dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan dari , koefisien
masing- masing memberikan persamaan berikut :
Jika persamaan di atas diintegralkan dua kali terhadap , koefisien
masing- masing memberikan penyelesaian berikut :
Dengan demikian penyelesaian masalah nilai awal 2.16 dengan syarat awal dan
hingga orde keempat adalah
Lampiran 2 Penurunan Persamaan 3.11
Tinjau persamaan 3.10 yang merupakan persamaan kecepatan aliran dari fluida Sisko
Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut ̅
̅ dengan
̅ ̅
dan ̅
Karena ̅
dan ̅
̅ maka bentuk persamaan tak berdimensi dari persamaan 3.10 dapat ditulis :
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
atau ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
Jika kedua ruas pada persamaan di atas dikalikan dengan
̅
, maka diperoleh
̅ ̅
atau ̅
̅
atau
Jika tanda diabaikan, maka diperoleh persamaan berikut :
Lampiran 3 Penurunan Persamaan 3.12
Tinjau persamaan 3.4 yang merupakan persamaan tegangan geser bagi fluida Sisko berikut :
Didefinisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut ̅
̅ ̅
dengan ̅
̅ Karena
̅ maka bentuk persamaan tak berdimensi dari persamaan 3.4 dapat ditulis :
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅ sehingga diperoleh
̅ ̅
atau ̅
Jika tanda diabaikan, maka diperoleh persamaan berikut
Lampiran 4 Penurunan Persamaan 3.21
Tinjau persamaan 3.20 sebagai berikut :
Jika persamaan 3.20 diturunkan terhadap , maka diperoleh
Jika persamaan diatas diturunkan untuk yang kedua kalinya, maka diperoleh
Jika bentuk dan turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan 3.19, maka
diperoleh
atau
atau
[
] atau
[
] atau
atau
[ ]
atau
Koefisien memberikan persamaan berikut :
Koefisien memberikan persamaan berikut :
Koefisien memberikan persamaan berikut :
Berikut ini akan ditentukan bentuk syarat batasnya. Berdasarkan persamaan 3.20 dan syarat batas 3.18, maka diperoleh
koefisien
memberikan syarat batas {
koefisien memberikan syarat batas
{
koefisien memberikan syarat batas
{ Berikut ini akan ditentukan penyelesaian
, , dan
. Misalkan dipilih ,
maka diperoleh
Jika bentuk dan turunan-turunannya disuubstitusikan ke dalam masalah nilai batas untuk
berikut
dengan syarat batas berikut
maka diperoleh [
[ ]
] Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap
, maka diperoleh
Jika syarat batas di atas digunakan, maka diperoleh
sehingga
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Jika syarat batas digunakan, maka diperoleh
sehingga
Jika bentuk dan
serta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam masalah nilai batas untuk
berikut
dengan syarat batas berikut
maka diperoleh
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Jika syarat batas di atas digunakan, maka diperoleh
sehingga
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Jika syarat batas digunakan, maka diperoleh
sehingga
Maka penyelesaian persamaan 3.20 dapat ditulis
atau
Lampiran 5 Program Maple untuk Gambar 5
Lampiran 6 Program Maple untuk Gambar 6
Lampiran 7 Program Maple untuk Gambar 7
Lampiran 8 Program Maple untuk Gambar 8
.
ABSTRAK
ISNA ALDILLA
.
Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah
Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI
Fluida Sisko merupakan fluida cair yang memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari- hari dan banyak digunakan dalam proses industri. Model matematika untuk menjelaskan
kecepatan aliran dan tegangan geser fluida Sisko diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum dan dinyatakan dalam koordinat silinder. Dalam penurunan
model, diasumsikan kecepatan partikel fluida hanya bergantung pada gerak melingkar sepanjang pipa. Model matematika yang diperoleh berupa masalah nilai batas yang bentuknya taklinear.
Model ini diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Berdasarkan metode ini, penyelesaian model matematika untuk fluida Sisko dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan software Maple 13, kecepatan aliran dan
tegangan geser fluida Sisko diberikan dalam bentuk grafik. Berdasarkan grafik, diperoleh bahwa kecepatan partikel fluida meningkat pada pusat pipa dengan meningkatnya kekentalan fluida.
Kata Kunci : metode perturbasi homotopi, model fluida Sisko, masalah taklinear
ABSTRACT
ISNA ALDILLA
.
The Use of Homotopy Perturbation Method to Solve Problems of Sisko Fluid
Flow in a Straight Pipe . Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI
Sisko fluid is a liquid, which has an important role in daily life as well as in industrial processes. A mathematical model to describe the flow velocity and shear stress of Sisko fluid is
derived from the laws of mass and momentum conservations. The model can be expressed in cylindrical coordinates. In the model formulation, the velocity of fluid particle is assumed to
depend only on the circular motion along the pipe. The obtained model is a nonlinear boundary value problem. The problem can be solved by homotopy perturbation method, which is an
analytical method to solve a nonlinear problem. Using this method, the solution of Sisko fluid model is given in the form of power series. Using Maple 13 software, the flow velocity and shear
stress for Sisko fluid are graphically sketched. Based on the graphs, it can be observed that the velocity of fluid at the center of the pipe increases by increasing viscosity.
Keywords : homotopy perturbation method, Sisko fluid model, nonlinear problem
I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Seiring berkembangnya jaman, sektor industri dan teknologi semakin berkembang
pesat dengan digunakannya fluida berbentuk cairan
liquid dalam
proses industri.
Misalnya dalam bidang industri, fluida cair digunakan sebagai bahan pembuat plastik,
cairan pelumas,
pembuatan lilin
dan sebagainya. Secara umum fluida yang
memenuhi hukum Newton disebut fluida Newtonian di mana terdapat hubungan antara
gaya yang bekerja dengan gerak yang disebabkannya. Banyak jenis fluida yang
bersifat Newtonian seperti air, beberapa jenis minyak dan berbagai jenis gas di mana
kekentalannya
tidak berubah
seiring perubahan
waktu. Namun
kemajuan teknologi telah membawa dampak terhadap
fluida dengan
ditandainya berbagai
penyimpangan terhadap hukum Newton yang mengakibatkan fluida Newtonian jarang
digunakan dalam proses industri. Fluida non Newtonian
merupakan bentuk
dari penyimpangan
fluida terhadap
hukum Newton. Kebanyakan fluida yang terdapat di
alam tidak bersifat Newtonian tetapi bersifat non Newtonian seperti cat, tinta, minyak
pelumas, lumpur, dan sebagainya yang banyak digunakan pada bidang industri. Pembahasan
lebih rinci mengenai dinamika fluida terdapat dalam ilmu yang memelajari perilaku fluida
yaitu mekanika fluida.
Mekanika fluida adalah suatu ilmu yang memelajari perilaku fluida baik dalam
keadaan diam static maupun bergerak dynamic. Fluida memiliki sifat tidak
menolak terhadap perubahan bentuk dan mengambil
bentuk dari
wadah yang
ditempatinya. Sifat ini biasanya dikarenakan ketidakmampuan fluida mengadakan tegangan
geser shear stress dalam pusat massa sehingga keberadaan tekanan menjadi sangat
penting dalam mengarakterisasi bentuk fluida. Dapat disimpulkan bahwa fluida
adalah zat atau entitas yang terdeformasi secara berkesinambungan apabila diberi
tegangan geser sekecil apapun. Berdasarkan definisi, fluida dapat dibagi menjadi dua jenis
yaitu zat cair dan gas. Perbedaan antara keduanya
juga bersifat
teknis, yaitu
berhubungan dengan akibat gaya kohesif [Munson, Young, Okiishi, 2004].
Model matematika
dapat digunakan
sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena alam yang sering muncul dalam permasalahan
di bidang biologi, fisika, ekonomi, teknik, dan lainnya. Salah satu model matematika yang
akan dibahas dalam karya ilmiah ini didasarkan pada jenis mekanika fluida
bergerak dynamic. Model cairan non Newtonian
dalam aliran
mampat menimbulkan
persamaan differensial
taklinear. Secara analitik masalah taklinear sulit untuk dicari solusinya. Fluida Sisko
merupakan salah satu jenis dari fluida non Newtonian
karena perilakunya
yang menyimpang dari hukum Newton membuat
fluida tersebut sulit mengalir dalam pipa tanpa adanya kerja yang diberikan. Permasalahan
yang timbul akibat perilaku fluida Sisko tersebut akan menjadi penghambat bagi kerja
industri. Oleh karena itu model matematika dibuat berdasarkan persamaan fluida Sisko
yang telah ditentukan dan persamaan yang berlaku terhadap fluida secara umum seperti
hukum
kekekalan massa
dan hukum
kekekalan momentum. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai perilaku fluida Sisko dalam
pipa lurus dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang diperkenalkan oleh
He 2000.