Persamaan Dasar Aliran Fluida
yang merupakan fungsi dari waktu ̂. Aliran
fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida
sepanjang waktu ̂. Peubah ̂ dan ̂ masing-
masing menyatakan komponen kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal
yang bergantung pada peubah ̂, ̂ dan ̂.
Rapat massa fluida dinyatakan oleh .
Gambar 2 Kesetimbangan Massa. Menurut hukum kekekalan massa, laju
perubahan massa dalam elemen luas pada Gambar 2 adalah selisih antara massa yang
masuk dan massa yang keluar. Laju perubahan massa pada arah sumbu-
adalah : ̂
�̂
̂ ̂
�̂ �̂
̂ dan pada arah sumbu-
adalah : ̂
̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ sehingga laju perubahan massa fluida adalah :
̂ ̂
�̂
̂
�̂ �̂
̂ ̂
̂
̂
̂ ̂
̂ Untuk
̂ dan ̂ , diperoleh : ̂
̂ ̂
̂ ̂
yang dikenal dengan persamaan kontinuitas. Persamaan
tersebut menggambarkan
perubahan rapat massa pada suatu titik tetap, sebagai hasil dari perubahan pada vektor
kecepatan massa ̅.
Didefinisikan turunan total dari terhadap
waktu ̂, yaitu :
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ Dalam notasi vektor, turunan total dari
terhadap waktu ̂ dapat ditulis sebagai
berikut: ̂
̅ dengan
̅ ̂ ̂ . Jika diasumsikan bahwa aliran terjadi pada fluida taktermampatkan
incompressible, yaitu :
̂ maka persamaan 2.5 memberikan persamaan
berikut :
̂
�̂
̂
̂
atau ̅ 2.6
[Faber, 1995]. Persamaan kontinuitas dapat digunakan
sesuai dengan sistem koordinat silinder
. Persamaan kontinuitas pada koordinat silinder
dapat dinyatakan sebagai berikut [Acheson, 1990] :
Jika fluida dengan kerapatan konstan di
seluruh medan aliran, maka persamaan di atas menjadi :
2.7 Hukum kekekalan momentum diturunkan
dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navie-Stokes adalah serangkaian persamaan
yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida baik
cairan maupun
gas. Persamaan-
persamaan ini menyatakan bahwa perubahan momentum partikel-partikel fluida bergantung
hanya pada gaya gesekan viskositas yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu,
persamaan
Navier-Stokes menjelaskan
kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan Navier-
Stokes adalah :
2.8
̂
̂ ̂
̂
̂
�̂ �̂
̂
̂ ̂ ̂
̂
�̂
̂ ̂
̂ ̂
̂
̂
̂
dengan
tekanan, menyatakan tegangan
geser pada fluida dan
merupakan gaya
badan, yaitu sebuah gaya yang bekerja pada sistem.
Gaya gravitasi
dan gaya
elektromagnetik merupakan contoh dari gaya badan [Batchelor, 1967].
Misalkan fluida pada pipa lurus yang dinyatakan dalam sistem koordinat silinder,
perubahan tekanan hanya terjadi sepanjang sumbu-
atau secara matematis dapat ditulis :
dan aliran fluida hanya sepanjang sumbu- yaitu
, maka persamaan 2.7 menjadi:
Jika diasumsikan kecepatan dalam arah- saja,
maka persamaan 2.8 menjadi : [
] 2.9
Persamaan 2.9
merupakan persamaan
Navier-Stokes. 2.4 Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur
pada pustaka [He, 2000]. Misalkan diberikan persamaan differensial sebagai berikut :
[ ] 2.10 dengan
suatu operator turunan taklinear dan
fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas
. Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear
yang memenuhi :
[ ] bila
2.11 Operator
secara umum dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu
dan yang masing- masing merupakan operator linear dan
taklinear. Jadi persamaan differensial 2.10 dapat ditulis:
[ ] [ ] 2.12 Misalkan
pendekatan awal yang memenuhi persamaan 2.10 dan
[ ] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real
[ ] , dan suatu fungsi H sebagai berikut :
[ ] [ ]
atau [ ] [ ] [
] 2.13
Berdasarkan persamaan 2.13, maka untuk dan masing-masing memberikan
persamaan berikut:
[ ] [ ]
dan [ ]
Menurut persamaan 2.10 dan persamaan 2.11 diperoleh bahwa fungsi :
dan
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
dan
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0
ke 1 menyatakan perubahan nilai dari
[ ] [ ] ke [ ]. Dalam topologi,
proses ini disebut deformasi, sedangkan [ ] [
] dan [ ] disebut homotopi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi
deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian
awal , sedangkan deformasi orde tinggi
memberikan penyelesaian
. Untuk
menentukan dilakukan sebagai berikut. Jika persamaan
2.13 diturunkan terhadap hingga kali
dan dihitung pada kemudian dibagi
oleh , maka diperoleh persamaan berikut :
|
dan dinotasikan
| Deret Taylor dari fungsi
terhadap disekitar
adalah :
∑ |
atau
∑ 2.14
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi yang dinyatakan pada persamaan
2.14 merupakan
penyelesaian dari
persamaan : Berdasarkan
persamaan 2.13,
maka diperoleh
[ ]
[ ] Jadi untuk
dari persamaan 2.14, diperoleh
∑ Karena
, maka diperoleh ∑
2.15 Hasil ini menunjukkan hubungan antara
penyelesaian eksak dari persamaan 2.10 dengan pendekatan awal
, dan ,
diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi. Jika persamaan 2.14
disubstitusikan ke dalam persamaan 2.13, maka diperoleh
dengan cara menyamakan koefisien perpangkatan
. Selanjutnya, tinjau masalah nilai awal yang dinyatakan oleh
sistem persamaan differensial berikut :
2.16 dengan syarat awal
| Penyelesaian eksak masalah nilai awal 2.16
adalah .
2.18 Berikut ini akan dicari penyelesaian dari
masalah nilai awal persamaan 2.16 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
Selanjutnya didefinisikan operator linear sebagai berikut :
[ ] dan
[ ] Berdasarkan persamaan 2.13 diperoleh
persamaan berikut :
2.19 Misalkan penyelesaian persamaan 2.19
dinyatakan dalam persamaan berikut:
2.20 Jika persamaan 2.20 disubstitusikan ke
dalam persamaan 2.19, kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan
, maka koefisien
memberikan persamaan berikut :
Jika persamaan 2.21 diintegralkan dua kali terhadap
dan memilih pendekatan awal , maka diperoleh :
Penurunan dapat dilihat dalam lampiran 1. Selanjutnya, diperoleh penyelesaian dari
persamaan 2.16 dengan syarat awal pada persamaan 2.17 hingga orde keempat
sebagai berikut :
Gambar 3 Perbandingan penyelesaian eksak dan
penyelesaian dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah
nilai awal 2.16. Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa
penyelesaian pendekatan dari masalah nilai awal 2.16 mendekati penyelesaian eksaknya
dengan cukup baik. Hasil ini menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi dapat
digunakan
untuk menyelesaikan
sistem persamaan diffrensial dengan nilai awal atau
nilai batas yang diberikan.
III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode
perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan
suatu masalah
taklinear. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan
model Sisko dalam masalah aliran fluida non Newtonian melalui pipa lurus.