Persamaan Dasar Aliran Fluida

yang merupakan fungsi dari waktu ̂. Aliran fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida sepanjang waktu ̂. Peubah ̂ dan ̂ masing- masing menyatakan komponen kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal yang bergantung pada peubah ̂, ̂ dan ̂. Rapat massa fluida dinyatakan oleh . Gambar 2 Kesetimbangan Massa. Menurut hukum kekekalan massa, laju perubahan massa dalam elemen luas pada Gambar 2 adalah selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar. Laju perubahan massa pada arah sumbu- adalah : ̂ �̂ ̂ ̂ �̂ �̂ ̂ dan pada arah sumbu- adalah : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ sehingga laju perubahan massa fluida adalah : ̂ ̂ �̂ ̂ �̂ �̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Untuk ̂ dan ̂ , diperoleh : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ yang dikenal dengan persamaan kontinuitas. Persamaan tersebut menggambarkan perubahan rapat massa pada suatu titik tetap, sebagai hasil dari perubahan pada vektor kecepatan massa ̅. Didefinisikan turunan total dari terhadap waktu ̂, yaitu : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Dalam notasi vektor, turunan total dari terhadap waktu ̂ dapat ditulis sebagai berikut: ̂ ̅ dengan ̅ ̂ ̂ . Jika diasumsikan bahwa aliran terjadi pada fluida taktermampatkan incompressible, yaitu : ̂ maka persamaan 2.5 memberikan persamaan berikut : ̂ �̂ ̂ ̂ atau ̅ 2.6 [Faber, 1995]. Persamaan kontinuitas dapat digunakan sesuai dengan sistem koordinat silinder . Persamaan kontinuitas pada koordinat silinder dapat dinyatakan sebagai berikut [Acheson, 1990] : Jika fluida dengan kerapatan konstan di seluruh medan aliran, maka persamaan di atas menjadi : 2.7 Hukum kekekalan momentum diturunkan dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navie-Stokes adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida baik cairan maupun gas. Persamaan- persamaan ini menyatakan bahwa perubahan momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya pada gaya gesekan viskositas yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan Navier- Stokes adalah : 2.8 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ �̂ �̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ �̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ dengan tekanan, menyatakan tegangan geser pada fluida dan merupakan gaya badan, yaitu sebuah gaya yang bekerja pada sistem. Gaya gravitasi dan gaya elektromagnetik merupakan contoh dari gaya badan [Batchelor, 1967]. Misalkan fluida pada pipa lurus yang dinyatakan dalam sistem koordinat silinder, perubahan tekanan hanya terjadi sepanjang sumbu- atau secara matematis dapat ditulis : dan aliran fluida hanya sepanjang sumbu- yaitu , maka persamaan 2.7 menjadi: Jika diasumsikan kecepatan dalam arah- saja, maka persamaan 2.8 menjadi : [ ] 2.9 Persamaan 2.9 merupakan persamaan Navier-Stokes. 2.4 Metode Perturbasi Homotopi Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur pada pustaka [He, 2000]. Misalkan diberikan persamaan differensial sebagai berikut : [ ] 2.10 dengan suatu operator turunan taklinear dan fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas . Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear yang memenuhi : [ ] bila 2.11 Operator secara umum dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu dan yang masing- masing merupakan operator linear dan taklinear. Jadi persamaan differensial 2.10 dapat ditulis: [ ] [ ] 2.12 Misalkan pendekatan awal yang memenuhi persamaan 2.10 dan [ ] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real [ ] , dan suatu fungsi H sebagai berikut : [ ] [ ] atau [ ] [ ] [ ] 2.13 Berdasarkan persamaan 2.13, maka untuk dan masing-masing memberikan persamaan berikut: [ ] [ ] dan [ ] Menurut persamaan 2.10 dan persamaan 2.11 diperoleh bahwa fungsi : dan masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan dan Dengan demikian peningkatan nilai dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai dari [ ] [ ] ke [ ]. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, sedangkan [ ] [ ] dan [ ] disebut homotopi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal , sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian . Untuk menentukan dilakukan sebagai berikut. Jika persamaan 2.13 diturunkan terhadap hingga kali dan dihitung pada kemudian dibagi oleh , maka diperoleh persamaan berikut : | dan dinotasikan | Deret Taylor dari fungsi terhadap disekitar adalah : ∑ | atau ∑ 2.14 Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi yang dinyatakan pada persamaan 2.14 merupakan penyelesaian dari persamaan : Berdasarkan persamaan 2.13, maka diperoleh [ ] [ ] Jadi untuk dari persamaan 2.14, diperoleh ∑ Karena , maka diperoleh ∑ 2.15 Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan 2.10 dengan pendekatan awal , dan , diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi. Jika persamaan 2.14 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.13, maka diperoleh dengan cara menyamakan koefisien perpangkatan . Selanjutnya, tinjau masalah nilai awal yang dinyatakan oleh sistem persamaan differensial berikut : 2.16 dengan syarat awal | Penyelesaian eksak masalah nilai awal 2.16 adalah . 2.18 Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan 2.16 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Selanjutnya didefinisikan operator linear sebagai berikut : [ ] dan [ ] Berdasarkan persamaan 2.13 diperoleh persamaan berikut : 2.19 Misalkan penyelesaian persamaan 2.19 dinyatakan dalam persamaan berikut: 2.20 Jika persamaan 2.20 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.19, kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan , maka koefisien memberikan persamaan berikut : Jika persamaan 2.21 diintegralkan dua kali terhadap dan memilih pendekatan awal , maka diperoleh : Penurunan dapat dilihat dalam lampiran 1. Selanjutnya, diperoleh penyelesaian dari persamaan 2.16 dengan syarat awal pada persamaan 2.17 hingga orde keempat sebagai berikut : Gambar 3 Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah nilai awal 2.16. Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa penyelesaian pendekatan dari masalah nilai awal 2.16 mendekati penyelesaian eksaknya dengan cukup baik. Hasil ini menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diffrensial dengan nilai awal atau nilai batas yang diberikan. III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan model Sisko dalam masalah aliran fluida non Newtonian melalui pipa lurus.

3.1 Asumsi dan Model

Berikut akan diturunkan suatu model matematika pada masalah aliran fluida melalui pipa lurus dalam sistem koordinat silinder. Persamaan dasar fluida yang ditinjau diberikan pada persamaan 2.6 dan 2.8 yang dituliskan sebagai berikut: 3.1 dan Penurunan persamaan dasar fluida dilakukan berdasarkan asumsi-asumsi berikut: 1. Aliran fluida pada pipa dalam keadaan tunak. 2. Aliran fluida merupakan aliran laminar dan seragam. 3. Gaya gravitasi diabaikan. 4. Aliran fluida hanya dalam arah sumbu- . Misalkan kecepatan aliran fluida dinyatakan dalam persamaan berikut : 3.3 dengan adalah kecepatan fluida dalam arah sumbu- yang hanya bergantung pada . Domain fluida yang ditinjau diberikan oleh Gambar 4 dengan dan masing-masing sumbu vertikal dan horizontal. Gambar 4 Sistem fisis dengan kecepatan hanya dalam arah- . Berikut ini akan ditentukan berdasarkan persamaan 2.2. Jika persamaan 3.3 disubstitusikan ke dalam sistem koordinat silinder yang ditinjau pada persamaan 2.4, maka diperoleh √ sehingga dari persamaan 2.3 diperoleh Jadi, berdasarkan persamaan 2.2 diperoleh 3.5 Jika persamaan 2.1 dan 3.5 disubstitusikan ke dalam persamaan 3.2 serta gaya badan diabaikan, maka diperoleh 3.6 hanya dalam arah sumbu- . Dalam arah dan , masing-masing diperoleh 3.7 dan 3.8 Dari persamaan 3.7 dan 3.8 dapat disimpulkan bahwa . Berdasarkan sistem fisis yang digambarkan pada Gambar 4 diperoleh syarat batas berikut : 3.9 dengan mensubstitusi persamaan 3.4 ke dalam syarat batas 3.9 didapatkan : Dengan demikian model matematika bagi kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus dinyatakan oleh masalah nilai batas berikut : dengan syarat batas : 3.10 Tegangan geser aliran fluida Sisko yang dinyatakan oleh persamaan 3.4 dan kecepatan aliran fluida Sisko yang diperoleh dari masalah nilai batas pada persamaan 3.10 masih berupa variabel fisis. Oleh karena itu, perlu dilakukan penondimensionalan. Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut : ̅ ̅ dengan ̅ didefinisikan sebagai berikut : ̅ ̅ yang menyatakan rasio antara rata-rata kecepatan fluida pada pipa ̅ dengan jari-jari pipa . Masalah nilai batas pada persamaan 3.10 menjadi : dengan syarat batas : 3.11 setelah tanda diabaikan. Persamaan 3.11 merupakan model matematika kecepatan aliran fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa , tekanan , parameter pencampuran fluida tegangan geser fluida Sisko dan viskositas fluida . Untuk fluida Newtonian , sedangkan untuk fluida Sisko yang merupakan fluida non Newtonian . Tekanan fluida pada kondisi stabil dinyatakan oleh : ̅ dengan tekanan dalam kondisi kesetimbangan. Jadi berdasarkan persamaan 3.4, tegangan geser dalam variabel tak berdimensi adalah Persamaan 3.12 merupakan model matematika tegangan geser fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa dan viskositas fluida. Penurunan persamaan 3.11 dan 3.12 dapat dilihat pada lampiran 2 dan 3. 3.2 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian masalah aliran fluida non Newtonian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang disarikan dari [Liao, 2004] seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi yang tidak hanya bergantung pada dan , tetapi juga bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu . Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut : [ ] [ ] 3.13 Selanjutnya, misalkan fungsi merupakan penyelesaian dari persamaan berikut : atau [ ] [ ]. Berdasarkan persamaan 3.13, maka untuk dan masing-masing memberikan persamaan berikut : [ ]