Sifat – Sifat Statistik Penduga

= [ ] [ ] 2 1 1 , 0, 2 n n k n n EN s k h s k h n N h s k τ τ τ ∞ = + − + + ∩ + ∑ [ ] [ ] 2 1 1 , 0, 2 n n k n n N s k h s k h n N h s k τ τ τ ∞ = ≈ + − + + ∩ + ∑ [ ] [ ] 2 1 , 0, 2 n n k n N s k h s k h n n h s k τ τ τ τ ∞ = ≈ + − + + ∩ + ∑ 3.9 dimana I menyatakan fungsi indikator. Agar pendekatan ≈ pertama pada 3.9 berlaku, diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi c λ dan asumsi 3.6 terpenuhi. Dengan demikian dari 3.9 dapat disimpulkan [ ] [ ] . 2 1 ˆ , 0, 2 c n n n k n s N s k h s k h n n h s k τ λ τ τ τ ∞ = = + − + + ∩ + ∑ 3.10 adalah penduga untuk c s λ . Penduga , ˆ c n s λ dapat ditulis kembali sebagai berikut: [ ] [ ] , 1,1 2 1 1 ˆ , . 2 n c n n n k n s I s k h s k h N d x n h s k τ λ τ τ τ ∞ − = = + − + + + ∑ ∫ 3.11 Dengan mengganti fungsi [ ] 1,1 1 . 2 − Ι pada 3.11 dengan kernel umum K , maka kita dapatkan penduga pada 3.7.

3.1 Sifat – Sifat Statistik Penduga

Teorema 3.1 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi sifat K1,K2,K3, n h ↓ , c λ memiliki turunan kedua c λ′′ berhingga pada s dan 2 n nh → ∞ maka 1 2 2 2 , , 1 ˆ 2 c c n K c n n s E s s h x K x dx o h λ λ λ − ′′ = + + ∫ 3.12 untuk n → ∞ Bukti Teorema 1: E , , ˆ c n K s λ =E 2 1 n k n n x s k K N dx n h h s k τ τ τ ∞ =   − +         +     ∑ ∫ = 2 1 n k n n x s k K EN dx n h h s k τ τ τ ∞ = − +     +   ∑ ∫ . 3.13 Persamaan 3.13 dapat ditulis menjadi [ ] 2 1 0, R k n n x s k K x I x n dx n h h s k τ τ λ τ ∞ =  − +  ∈   +   ∑ ∫ . 3.14 Persamaan 3.14 dapat ditulis = [ ] 2 1 0, R k n n x K x s k x s k n d x n h h s k τ λ τ τ τ ∞ =   + + Ι + + ∈   +   ∑ ∫ = [ ] 2 2 1 0, . c R k n n x K x s x s k x s k n d x n h h s k τ λ τ τ τ ∞ =   + + + Ι + + ∈   +   ∑ ∫ 3.15 Dengan mengganti variabel, maka persamaan 3.15 dapat ditulis menjadi [ ] 2 2 0, n c n n R k n xh s k K x xh s xh s k n dx n h s k τ τ λ τ τ ∞ = + + + Ι + + ∈ + ∑ ∫ 3.16 Karena c λ mempunyai turunan kedua pada s, mengakibatkan c λ terbatas di sekitar s. Dengan menggunakan deret Taylor, yaitu : 2 2 2 2 n c n c c n c n x h xh s s s xh s h λ λ λ λ ο ′ ′′ + = + + + 3.17 dan fakta bahwa [ ] 2 2 0, 1 , n n k xh s k n xh s k n s k τ τ τ τ ∞ = + + Ι + + ∈ = + Ο + ∑ 3.18 untuk n → ∞ berlaku seragam untuk semua [ ] , n n x h h ∈ − maka persamaan 3.16 menjadi 2 2 1 2 1 1 2 n c c n c n x h n K x s s xh s h O n τ λ λ λ ο τ −    ′ ′′ = + + + +        ∫ 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 c c c n n n s s K x dx s h xK x dx h x K x dx h O n λ λ λ ο − − − ′′   ′ = + + + +     ∫ ∫ ∫ 3.19 Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada[-1,1], maka 1 1 1 K x dx − = ∫ . Karena kernel K adalah simetrik, maka 1 1 xK x dx − = ∫ dan berdasarkan asumsi 2 n nh → ∞ , maka suku ke lima dari ruas kanan persamaan 3.19, yaitu 1 O n       sama dengan 2 n o h , untuk n → ∞ . Sehingga persamaan 3.19 dapat ditulis menjadi , , ˆ c n K E s λ = 1 2 2 2 1 2 c c n n s s h x K x dx o h λ λ − ′′ + + ∫ untuk n → ∞ . Jadi Teorema 3.1 terbukti. Teorema 3.2 Aproksimasi asimtotik bagi ragam Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat K1, K2, K3, 0, n h ↓ untuk n → ∞ , maka 2 1 2 , , 2 2 1 1 6 c c n K n n s Var s K x dx n h n h π λ λ ο −   = +     ∫  3.20 untuk n → ∞ , asalkan s adalah titik Lebesgue bagi c λ . Bukti Teorema 3.2 : Untuk nilai n yang besar dan , k j ≠ interval [ ] , n n s k h s k h τ τ + − + + dan [ ] , n n s j h s j h τ τ + − + + tidak overlap sehingga untuk semua , k j ≠ n x s k K N dx h τ  − +      dan n x s j K N dx h τ  − +      adalah bebas. Sehingga Var , , c n K s λ  dapat ditentukan sebagai berikut: , , c n K Var s λ  = 2 2 n τ Var 2 1 n k n n x s k K N dx h h s k τ τ ∞ =   − +         +     ∑ ∫ = 2 2 2 2 2 2 1 . n k n n x s k K Var N dx n h h s k τ τ τ ∞ = − +       + ∑ ∫ 3.21 Karena N adalah peubah acak Poisson, maka Var N = EN sehingga 3.21 menjadi 2 2 4 2 2 1 . n k n n x s k K E N dx n h h s k τ τ τ ∞ = − +     +   ∑ ∫ = 2 2 2 2 2 2 1 . n k n n x s k K x dx n h h s k τ τ λ τ ∞ = − +       + ∑ ∫ 3.22 Dengan penggantian variabel, serta menggunakan persamaan 3.3 dan 3.4, maka persamaan 3.22 dapat ditulis [ 2 2 4 2 2 1 0, k n n R x K x s k I x s k n d x n h h s k τ λ τ τ τ ∞ =   + + + + ∈   +   ∑ ∫ [ 2 2 2 4 2 2 1 0, c k n n R x K x s x s k I x s k n d x n h h s k τ λ τ τ τ ∞ =   = + + + + + ∈   +   ∑ ∫ = [ 2 2 2 4 2 2 0, . c k n n R x s k x K x s I x s k n d x n h h s k τ τ λ τ τ ∞ = + +   + + + ∈   +   ∑ ∫ 3.23 Dapat diperhatikan bahwa [ 2 4 0, k x s k I x s k n dx s k τ τ τ ∞ =−∞ + + + + ∈ + ∑ = 2 2 6 π τ + o1 3.24 untuk n → ∞ berlaku seragam untuk semua [ ] , n n x h h ∈ − . Dengan menyubstitusikan persamaan 3.24 ke 3.23 diperoleh Var , , c n K s λ  = 2 2 2 2 2 2 1 6 c n n R x K x s dx o n h h τ π λ τ     + +         ∫ 3.25 untuk n → ∞ . Dengan penggantian variabel, maka persamaan 3.25 dapat ditulis menjadi 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . 6 6 c n c n n n n n R R K x xh s dx o K x xh s dx n h h n h h π π λ λ     + + +         ∫ ∫ 3.26 Selanjutnya, dari suku pertama 3.26 kita mempunyai 1 2 n n h c n h n xh s dx h λ − + ∫ = 1 2 n n h c n c c h n xh s s s dx h λ λ λ − + − + ∫ = 1 1 2 2 n n n n h h c n c c h h n n xh s s dx s dx h h λ λ λ − − + − + ∫ ∫ . 3.27 Untuk menunjukkan bahwa suku pertama 3.27 adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar , yaitu 1 2 n n h c n c h n xh s s dx h λ λ − + − ∫ . 3.28 Dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi c λ , maka kuatitas 3.28 konvergen ke nol jika n → ∞ , atau dapat juga ditulis 1 o . Sedangkan suku kedua persamaan 3.27 adalah 1 2 n n h c h n s dx h λ − ∫ = c λ s. Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka 1 2 n n h c n h n xh s dx h λ − + ∫ = c λ s + 1 o . untuk n → ∞ . Dengan demikian 3.26 dapat ditulis menjadi 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 s 1 s 1 6 6 c c n n K x dx o o K x dx o n h n h π π λ λ − −   + + +     ∫ ∫ = 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 s s 1 1 6 6 c c n n n n K x dx o K x dx o K x dx o n h n h n h n h π λ λ π − − −     + + +         ∫ ∫ ∫ untuk n → ∞ . Akhirnya didapatkan 2 1 2 , , 2 2 1 1 6 c c n K n n s Var s K x dx n h n h π λ λ ο −   = +     ∫  3.29 untuk n → ∞ . Jadi Teorema 3.2 terbukti. Akibat 3.1 Aproksimasi asimtotik bagi MSE Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi sifat K1, K2, K3, 2 0, n n h nh ↓ → ∞ dan c λ memiliki turunan kedua c λ ′′ berhingga pada s maka , , ˆ c n K MSE s λ 2 2 1 1 2 4 2 4 2 2 1 1 1 1 , 4 6 c c n n n n s s x K x dx h K x dx o h n h n h π λ λ ο − −   ′′ = + + +     ∫ ∫ untuk n → ∞ . 3.30 Bukti Akibat 3.1 : 2 , , , , , , ˆ ˆ ˆ c n K c n K c n K MSE s Bias s Var s λ λ λ = + 3.31 dengan , , ˆ c n K Bias s λ = , , ˆ c n K c E s s λ λ − . Dengan menggunakan Teorema 3.1 dan 3.2 kita peroleh 1 2 2 2 , , 1 ˆ 2 c c n K n n s Bias s h x K x dx o h λ λ − ′′ = + ∫ dan 2 1 2 , , 2 2 1 1 , 6 c c n K n n s Var s K x dx n h n h π λ λ ο −   = +     ∫  untuk n → ∞ . Sehingga persamaan 3.31 dapat ditulis menjadi: 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 6 c c n n n n s s h x K x dx o h K x dx n h n h π λ λ ο − − ′′     = + + +         ∫ ∫ 2 2 1 1 2 4 2 4 2 2 1 1 1 1 , 4 6 c c n n n n s s x K x dx h K x dx o h n h n h π λ λ ο − −   ′′ = + + +     ∫ ∫ 3.32 untuk n → ∞ Dengan demikian Akibat 3.1 terbukti.

BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA