=
[ ] [ ]
2
1 1
, 0,
2
n n
k n
n
EN s
k h s
k h
n N
h s k
τ τ
τ
∞ =
+ −
+ +
∩ +
∑
[ ] [ ]
2
1 1
, 0,
2
n n
k n
n
N s
k h s
k h
n N
h s k
τ τ
τ
∞ =
≈ +
− +
+ ∩
+
∑
[ ] [ ]
2
1 ,
0, 2
n n
k n
N s
k h s
k h
n n
h s k
τ τ
τ τ
∞ =
≈ +
− +
+ ∩
+
∑
3.9 dimana I menyatakan fungsi indikator. Agar pendekatan
≈ pertama pada 3.9 berlaku, diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi
c
λ dan asumsi 3.6 terpenuhi. Dengan demikian dari 3.9 dapat disimpulkan
[ ] [ ]
. 2
1 ˆ
, 0,
2
c n n
n k
n
s N
s k
h s k
h n
n h s
k τ
λ τ
τ τ
∞ =
= +
− +
+ ∩
+
∑
3.10 adalah penduga untuk
c
s λ
. Penduga
,
ˆ
c n
s
λ dapat ditulis kembali sebagai
berikut:
[ ]
[ ]
, 1,1
2
1 1
ˆ ,
. 2
n c n
n n
k n
s I
s k
h s k
h N d
x n
h s k
τ λ
τ τ
τ
∞ −
=
= +
− +
+ +
∑ ∫
3.11
Dengan mengganti fungsi
[ ]
1,1
1 .
2
−
Ι
pada 3.11 dengan kernel umum K , maka kita dapatkan penduga pada 3.7.
3.1 Sifat – Sifat Statistik Penduga
Teorema 3.1 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan
Misalkan fungsi intensitas
λ
memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi sifat K1,K2,K3,
n
h ↓
,
c
λ memiliki turunan kedua
c
λ′′ berhingga pada s dan
2 n
nh → ∞
maka
1 2
2 2
, , 1
ˆ 2
c c n K
c n
n
s E
s s
h x K x dx
o h
λ λ
λ
−
′′ =
+ +
∫
3.12 untuk n
→ ∞
Bukti Teorema 1:
E
, ,
ˆ
c n K
s λ
=E
2
1
n k
n n
x s
k K
N dx n
h h s
k τ
τ τ
∞ =
− +
+
∑ ∫
=
2
1
n k
n n
x s
k K
EN dx n
h h s
k
τ τ
τ
∞ =
− +
+
∑ ∫
. 3.13
Persamaan 3.13 dapat ditulis menjadi
[ ]
2
1 0,
R k
n n
x s
k K
x I x n
dx n
h h s
k
τ τ
λ τ
∞ =
− +
∈
+
∑ ∫
. 3.14 Persamaan 3.14 dapat ditulis
=
[ ]
2
1 0,
R k
n n
x K
x s
k x
s k
n d x
n h
h s k
τ λ
τ τ
τ
∞ =
+ + Ι + +
∈
+
∑ ∫
=
[ ]
2 2
1 0,
.
c R
k n
n
x K
x s
x s
k x
s k
n d x
n h
h s k
τ λ
τ τ
τ
∞ =
+ + +
Ι + + ∈
+
∑ ∫
3.15 Dengan mengganti variabel, maka persamaan 3.15 dapat ditulis menjadi
[ ]
2 2
0,
n c
n n
R k
n
xh s
k K x
xh s
xh s
k n dx
n h s
k τ
τ λ
τ τ
∞ =
+ + +
Ι + +
∈ +
∑ ∫
3.16
Karena
c
λ mempunyai turunan kedua pada s, mengakibatkan
c
λ terbatas di sekitar s. Dengan menggunakan deret Taylor, yaitu :
2 2
2
2
n c
n c
c n
c n
x h xh
s s
s xh s
h
λ λ
λ λ
ο
′ ′′
+ = +
+ +
3.17 dan fakta bahwa
[ ]
2 2
0, 1 ,
n n
k
xh s
k n
xh s
k n
s k
τ τ
τ τ
∞ =
+ + Ι
+ + ∈
= + Ο +
∑
3.18
untuk n → ∞ berlaku seragam untuk semua
[ ]
,
n n
x h h
∈ −
maka persamaan 3.16 menjadi
2 2
1 2
1
1 2
n c
c n
c n
x h n
K x s
s xh s
h O
n τ
λ λ
λ ο
τ
−
′
′′ =
+ +
+ +
∫
1 1
1 2
2 2
1 1
1
1 2
c c
c n
n n
s s
K x dx s h
xK x dx h
x K x dx h
O n
λ λ
λ ο
− −
−
′′
′ =
+ +
+ +
∫ ∫
∫
3.19 Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi
pada[-1,1], maka
1 1
1 K x dx
−
=
∫
. Karena kernel K adalah simetrik, maka
1 1
xK x dx
−
=
∫
dan berdasarkan asumsi
2 n
nh → ∞
, maka suku ke lima dari ruas kanan persamaan 3.19, yaitu
1 O
n
sama dengan
2 n
o h
, untuk n → ∞ .
Sehingga persamaan 3.19 dapat ditulis menjadi
, ,
ˆ
c n K
E s
λ
=
1 2
2 2
1
2
c c
n n
s s
h x K x dx
o h
λ λ
−
′′ +
+
∫
untuk n → ∞ . Jadi Teorema 3.1 terbukti.
Teorema 3.2 Aproksimasi asimtotik bagi ragam
Misalkan fungsi intensitas
λ
memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat K1, K2, K3,
0,
n
h ↓
untuk n → ∞ , maka
2 1
2 , ,
2 2
1
1 6
c c n K
n n
s Var
s K
x dx n h
n h π λ
λ ο
−
= +
∫
3.20 untuk n
→ ∞ , asalkan s adalah titik Lebesgue bagi
c
λ
. Bukti Teorema 3.2 :
Untuk nilai n yang besar dan
, k
j ≠
interval
[ ]
,
n n
s k
h s k
h τ
τ +
− +
+ dan
[ ]
,
n n
s j
h s j
h τ
τ +
− +
+ tidak
overlap sehingga untuk semua
, k
j ≠
n
x s
k K
N dx h
τ − +
dan
n
x s
j K
N dx h
τ − +
adalah bebas. Sehingga Var
, , c n K
s
λ
dapat ditentukan sebagai berikut:
, , c n K
Var s
λ
=
2 2
n
τ Var
2
1
n k
n n
x s
k K
N dx h
h s k
τ τ
∞ =
− +
+
∑ ∫
=
2 2
2 2
2 2
1 .
n k
n n
x s
k K
Var N dx n h
h s
k
τ τ
τ
∞ =
− +
+
∑ ∫
3.21
Karena N adalah peubah acak Poisson, maka Var N = EN sehingga 3.21 menjadi
2 2
4 2
2
1 .
n k
n n
x s
k K
E N dx n h
h s
k
τ τ
τ
∞ =
− +
+
∑ ∫
=
2 2
2 2
2 2
1 .
n k
n n
x s
k K
x dx n h
h s
k
τ τ
λ τ
∞ =
− +
+
∑ ∫
3.22
Dengan penggantian variabel, serta menggunakan persamaan 3.3 dan 3.4, maka persamaan 3.22 dapat ditulis
[
2 2
4 2
2
1 0,
k n
n R
x K
x s
k I x
s k
n d x
n h h
s k
τ λ
τ τ
τ
∞ =
+ + + +
∈
+
∑ ∫
[
2 2
2 4
2 2
1 0,
c k
n n
R
x K
x s
x s
k I x
s k
n d x
n h h
s k
τ λ
τ τ
τ
∞ =
= +
+ + + +
∈
+
∑ ∫
=
[
2 2
2 4
2 2
0, .
c k
n n
R
x s
k x
K x
s I x
s k
n d x
n h h
s k
τ τ
λ τ
τ
∞ =
+ +
+
+ + ∈
+
∑ ∫
3.23
Dapat diperhatikan bahwa
[
2 4
0,
k
x s
k I x
s k
n dx
s k
τ τ
τ
∞ =−∞
+ + + +
∈ +
∑
=
2 2
6
π τ
+ o1 3.24
untuk n
→ ∞ berlaku seragam untuk semua
[ ]
,
n n
x h h
∈ −
. Dengan menyubstitusikan persamaan 3.24 ke 3.23 diperoleh
Var
, , c n K
s
λ
=
2 2
2 2
2 2
1 6
c n
n R
x K
x s dx
o n h
h τ
π λ
τ
+
+
∫
3.25 untuk n
→ ∞ . Dengan penggantian variabel, maka persamaan 3.25 dapat ditulis menjadi
2 2
2 2
2 2
1 1
1 .
6 6
c n
c n
n n
n n
R R
K x
xh s dx o
K x
xh s dx
n h h
n h h
π π
λ λ
+ +
+
∫ ∫
3.26 Selanjutnya, dari suku pertama 3.26 kita mempunyai
1 2
n n
h c
n h
n
xh s dx
h λ
−
+
∫
=
1 2
n n
h c
n c
c h
n
xh s
s s dx
h λ
λ λ
−
+ − +
∫
=
1 1
2 2
n n
n n
h h
c n
c c
h h
n n
xh s
s dx s dx
h h
λ λ
λ
− −
+ − +
∫ ∫
. 3.27 Untuk menunjukkan bahwa suku pertama 3.27 adalah konvergen ke nol, akan
digunakan nilai yang lebih besar , yaitu
1 2
n n
h c
n c
h n
xh s
s dx h
λ λ
−
+ −
∫
. 3.28
Dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi
c
λ , maka kuatitas 3.28 konvergen ke nol jika n
→ ∞ , atau dapat juga ditulis 1
o . Sedangkan suku
kedua persamaan 3.27 adalah
1 2
n n
h c
h n
s dx h
λ
−
∫
=
c
λ s.
Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka
1 2
n n
h c
n h
n
xh s dx
h λ
−
+
∫
=
c
λ s + 1
o .
untuk n → ∞ .
Dengan demikian 3.26 dapat ditulis menjadi
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
s 1 s 1
6 6
c c
n n
K x dx
o o
K x dx
o n h
n h π
π λ
λ
− −
+ +
+
∫ ∫
=
2 2
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1
s s
1 1
6 6
c c
n n
n n
K x dx
o K
x dx o
K x dx
o n h
n h n h
n h π λ
λ π
− −
−
+ +
+
∫ ∫
∫
untuk n → ∞ .
Akhirnya didapatkan
2 1
2 , ,
2 2
1
1 6
c c n K
n n
s Var
s K
x dx n h
n h π λ
λ ο
−
= +
∫
3.29 untuk n
→ ∞ . Jadi Teorema 3.2 terbukti.
Akibat 3.1 Aproksimasi asimtotik bagi MSE
Misalkan fungsi intensitas
λ
memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K
adalah simetrik dan memenuhi sifat K1, K2, K3,
2
0,
n n
h nh
↓ → ∞
dan
c
λ
memiliki turunan kedua
c
λ ′′
berhingga pada s maka
, ,
ˆ
c n K
MSE s
λ
2 2
1 1
2 4
2 4
2 2
1 1
1 1
, 4
6
c c
n n
n n
s s
x K x dx h
K x dx
o h n h
n h
π λ λ
ο
− −
′′ =
+ +
+
∫ ∫
untuk n → ∞ .
3.30
Bukti Akibat 3.1 :
2 , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ
c n K c n K
c n K
MSE s
Bias s
Var s
λ λ
λ
= +
3.31 dengan
, ,
ˆ
c n K
Bias s
λ
=
, ,
ˆ
c n K c
E s
s λ
λ −
. Dengan menggunakan Teorema 3.1 dan 3.2 kita peroleh
1 2
2 2
, , 1
ˆ 2
c c n K
n n
s Bias
s h
x K x dx o h
λ λ
−
′′ =
+
∫
dan
2 1
2 , ,
2 2
1
1 ,
6
c c n K
n n
s Var
s K
x dx n h
n h π λ
λ ο
−
= +
∫
untuk n → ∞ .
Sehingga persamaan 3.31 dapat ditulis menjadi:
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
6
c c
n n
n n
s s
h x K x dx
o h K
x dx n h
n h π λ
λ ο
− −
′′
=
+ +
+
∫ ∫
2 2
1 1
2 4
2 4
2 2
1 1
1 1
, 4
6
c c
n n
n n
s s
x K x dx h
K x dx
o h n h
n h
π λ λ
ο
− −
′′ =
+ +
+
∫ ∫
3.32 untuk n
→ ∞ Dengan demikian Akibat 3.1 terbukti.
BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA