Definisi 2.13 Proses Poisson periodik
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Ross, 2007 Definisi 2.14 Fungsi terintegralkan lokal
Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan
Borel terbatas B diperoleh .
B
B s ds
µ λ
= ∞
∫
Dudley,1989
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson Periodik merupakan laju dari Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua yaitu fungsi intensitas lokal dan
intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata – rata laju dari proses
Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Untuk menduga fungsi intensitas dapat digunakan pendekatan non
parametrik Diggle, 1985. Salah satu pendekatan non parametrik yang dapat digunakan adalah pendekatan fungsi kernel. Adapun hal ini karena fungsi
intensitasnya tidak diketahui, sehingga untuk menduga bentuk fungsinya dapat didekati dengan fungsi penduga kernel Hardle, 1993.
Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian
proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan
n
h ↓
dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh
[ ]
1 ,
. 2
n n
n
N s
h s h
h −
+
Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian
proses Poisson tersebut pada selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan
[ ]
1 0,
. N
n n
Pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan
periode yang tidak diketahui. Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas
dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al. 2003, 2005 telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk
menjelaskan kekonsistenan dan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut.
Pada Mangku 2006 telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. Kemudian penduga
sebaran asimtotik pada turunan pertama dan kedua proses Poisson periodik dibahas pada Arifin 2008 dan sifat-sifat statistika orde kedua penduga proses
Poisson periodik dengan tren linear telah dibahas pada Marliana 2008. Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson berkembang dengan
menyertakan suatu komponen tren linear Helmers dan Mangku 2009, maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya Helmers et al.2007.
Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku 2005.
Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat dengan
menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu 2008, sifat – sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan kernel seragam telah
dikaji pada Rachmawati 2008, pendugaan fungsi intensitas global dari komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati 2008.
Sedangkan sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji pada Farida 2008, sebaran asimtotik penduga
komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat telah dikaji pada Rachmawati 2010 dan kekonsistenan penduga fungsi
distribusi dan kepekatan waktu tunggu pada proses Poisson siklik dengan tren linear telah dikaji pada Mangku 2010.
BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT – SIFAT STATISTIKNYA
