BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA
DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM
4.1 Penduga dengan Kernel Seragam
Pada bab ini digunakan penduga dengan kernel seragam. Hal ini karena saya belum berhasil memperoleh sebaran asimtotik dari penduga dengan kernel
umum. Untuk itu bab ini menggunakan kernel seragam. Penduga bagi
c
s λ
pada
[
0, s
τ ∈
menggunakan kernel seragam dapat didefinisikan sebagai berikut lihat 3.10
[ ] [ ]
, 2
, 0,
1 ˆ
2
n n
c n k
n
N s
k h s
k h
n s
n s
k h
τ τ
τ λ
τ
∞ =
+ −
+ +
∩ =
+
∑
4.1 dengan N
[ ]
0, n menyatakan banyaknya kejadian pada interval
[ ]
0, n dan
n
h adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu
n
h ↓
4.2 untuk
n → ∞
. Pada penduga di atas,
n
h disebut bandwidth. Untuk menyusun penduga diperlukan data
[ ]
0, N
n
, yaitu data realisasi proses Poisson pada interval
[ ]
0, n , dengan n bilangan real dan n harus relatif besar dibandingkan periode τ. Fungsi intensitas
s λ
dapat didekati dengan rata- rata banyaknya kejadian di sekitar s atau pada interval
[ ]
,
n n
s h s h
− +
. Oleh karena itu, penduga bagi
s λ
, dinotasikan dengan
ˆ s
λ , diperoleh dengan menentukan
rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s. Secara matematis dapat ditulis menjadi
[ ]
, ˆ
2
n n
n
N s
h s h
s h
λ −
+ =
. 4.3
Berdasarkan sifat keperiodikan
c
λ pada persamaan 3.4, maka didapatkan penduga komponen periodik fungsi intensitas λ di sekitar
s k
τ
+
, yaitu
ˆ
c
s
λ yang menyatakan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar
s k
τ
+
dibagi
2
s k
τ
+
. Secara matematis dapat ditulis menjadi
[ ]
2
, ˆ
2
n n
c n
N s k
h s k h
s s k
h τ
τ λ
τ +
− +
+ =
+ .
4.4
Data yang diamati pada interval
[ ]
0, n . Dinotasikan
n n
τ
τ
≈
menyatakan banyaknya bilangan bulat k sehingga
[ ]
0, s k
n τ
+ ∈
. Sehingga didapatkan suatu penduga bagi
c
λ untuk
[ ]
0, s k
n τ
+ ∈
, yaitu
[ ]
2
, 0,
1 1
ˆ .
2
n n
c k
n
N s k
h s k h
n s
n h
s k
τ
τ τ
λ τ
∞ =
+ −
+ +
∩ =
+
∑
4.5
Dengan mengganti n
τ
dengan
n
τ , maka diperoleh penduga komponen
periodik
c
s λ
, yaitu
[ ] [ ]
, 2
, 0,
1 ˆ
2
n n
c n k
n
N s
k h s
k h
n s
n s
k h
τ τ
τ λ
τ
∞ =
+ −
+ +
∩ =
+
∑
seperti pada persamaan 4.1. Berdasarkan Teorema 3.1 diperoleh nilai harapan untuk penduga dengan kernel
seragam sebagai berikut:
2 2
,
6
c c n
c n
n
s s
s h
o h
λ λ
λ
= +
+ E
4.6 untuk
. n
→ ∞ Berdasarkan Teorema 3.2, nilai ragam penduga dengan kernel seragam adalah
2 ,
2 2
1 ˆ
, 12
c c n
n n
s Var
s o
n h n h
π λ λ
= +
4.7
untuk .
n → ∞
4.2 Sebaran Asimtotik Penduga dengan Kernel Seragam Teorema 4.1 Sebaran asimtotik penduga