Sebaran Asimtotik Penduga dengan Kernel Seragam Teorema 4.1 Sebaran asimtotik penduga

2 2 , 6 c c n c n n s s s h o h λ λ λ = + + E 4.6 untuk . n → ∞ Berdasarkan Teorema 3.2, nilai ragam penduga dengan kernel seragam adalah 2 , 2 2 1 ˆ , 12 c c n n n s Var s o n h n h π λ λ   = +     4.7 untuk . n → ∞

4.2 Sebaran Asimtotik Penduga dengan Kernel Seragam Teorema 4.1 Sebaran asimtotik penduga

, , ˆ c n s λ Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal, serta 2 0, n n h nh ↓ → ∞ dan c λ memiliki turunan kedua c λ ′′ berhingga pada titik s. i Jika 2 5 n n h → , maka 2 2 , , ˆ 0, d n c n K c n h s s Normal λ λ σ −  → 4.8 untuk n → ∞ dengan 2 2 12 c s π λ σ = . iiJika 2 5 1 n n h → maka 2 2 , , ˆ , d n c n K c n h s s Normal λ λ µ σ −  → 4.9 untuk n → ∞ , dengan 1 6 c s µ λ ′′ = dan 2 2 12 c s π λ σ = . Bukti : Ruas kiri 4.8 dan 4.9 dapat ditulis sebagai berikut: 2 , ˆ n c n c n h s s λ λ − = 2 2 , , , ˆ ˆ ˆ n c n c n n c n c n h s E s n h E s s λ λ λ λ − + − . 4.10 Sehingga untuk membuktikan Teorema 4.1, cukup dibuktikan 2 2 , , ˆ ˆ 0, d n c n c n n h s E s Normal λ λ σ −  → 4.11 untuk n → ∞ dan jika 2 5 n n h → maka 2 , , ˆ n c n K c n h E s s λ λ − → 4.12 untuk n → ∞ dan jika 2 5 1 n n h → maka 2 , , 1 ˆ , 6 n c n K c c n h E s s λ λ λ ′′ − → 4.13 untuk n → ∞ . Berdasarkan Lema 4.1 kita peroleh 4.12 dan 4.13, dan berdasarkan Lema 4.2 kita peroleh 4.11. Jadi Teorema 4.1 terbukti. Lema 4.1 Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3.1 dan terintegralkan lokal. Misalkan pula n h ↓ dan 2 n nh → ∞ untuk n → ∞ . i Jika 2 5 n n h → maka 2 , ˆ n c n c n h E s s λ λ − → 4.14 untuk n → ∞ . ii Jika 2 5 1 n n h → maka 2 , 1 ˆ 6 n c n c c n h E s s s λ λ λ ′′ − → 4.15 untuk n → ∞ . Bukti : Untuk membuktikan Lema 4.1 dapat digunakan persamaan 4.6 sehingga diperoleh 2 , ˆ n c n c n h E s s λ λ − = 2 2 2 6 c n n n s n h h h λ ο   ′′   +     = 2 2 1 6 c n n s n h h λ ο   ′′   +     = 2 5 1 6 c n s n h λ ο   ′′   +     . 4.16 Karena 2 5 n n h → dan 1 1 6 c s O λ ο   ′′   + =     maka diperoleh bagian i dari Lema 4.1. Jika 2 5 1 n n h → untuk n → ∞ maka diperoleh bagian ii dari Lema 4.1. Dengan demikian Lema 4.1 terbukti. Lema 4.2 Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3.1 dan terintegralkan lokal. n h ↓ dan 2 n n h → ∞ untuk n → ∞ maka 2 2 , , ˆ ˆ 0, d n c n c n n h s E s Normal λ λ σ −  → 4.17 untuk , n → ∞ dengan 2 2 . 12 c s π λ σ = Bukti : Perhatikan bahwa ruas kiri pernyataan Lema 4.2 dapat ditulis sebagai , , 2 , , ˆ ˆ ˆ ˆ c n c n n c n c n s E s n h Var s Var s λ λ λ λ   −       . 4.18 Untuk membuktikan Lema 4.2 cukup dibuktikan 2 2 , , ˆ 12 c n c n K s n h Var s π λ λ → 4.19 dan , , , ˆ ˆ 0,1 ˆ c n c n d c n s E s Normal E s λ λ λ   −   →     4.20 untuk n → ∞ Pertama dibuktikan pernyataan 4.19. Dengan menyubstitusikan 4.7 ke ruas kiri 4.19 diperoleh 2 , , ˆ n c n K n h Var s λ = 2 2 2 2 1 12 c n n n s n h o n h n h π λ   +     = 2 2 2 2 1 12 c n n n s n h o n h n h π λ   +     = 2 1 12 c s π λ ο + 4.21 untuk . n → ∞ Misalkan 2 1 12 c s u π λ ο = + dan , f u u = dengan menggunakan deret Taylor diperoleh 2 2 2 12 12 12 c c c s s f u f s f u π λ π λ π λ      ′ = + −           2 2 2 1 ... 12 12 2 c c s s f u π λ π λ    ′′ + − +       = 2 2 2 2 1 1 1 ... 12 2 4 12 12 c c c s s s ο ο π λ π λ π λ + − + = 2 1 12 c s π λ ο + untuk . n → ∞ Maka diperoleh 4.19. Berdasarkan Lema 4.3 diperoleh 4.20. Dengan demikian Lema 4.2 terbukti. Lema 4.3 Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3.1 dan terintegralkan lokal, 0, n h ↓ dan s adalah titik Lebesgue maka , , , ˆ ˆ 0,1 ˆ c n c n d c n s E s Normal E s λ λ λ   −   →     4.22 untuk . n → ∞ Bukti : Misalkan [ ] 2 , 1 2 n n n n k n N s k h s k h X s k h τ τ τ τ = + − + + = + ∑ 4.23 dan , n n E X µ = dengan n τ menyatakan banyaknya bilangan k sehingga [ ] 0, . s k n τ + ∈ Karena n h ↓ jika n → ∞ , maka untuk nilai n yang cukup besar, peubah acak [ ] , n n N s j h s j h τ τ + − + + dan [ ] , n n N s k h s k h τ τ + − + + , dengan k j ≠ , adalah saling bebas. Perhatikan bahwa jumlah peubah acak Poisson yang saling bebas juga merupakan peubah acak Poisson. Sehingga , ˆ c n s λ dapat ditulis , ˆ c n n s X n τ λ = yang merupakan peubah acak Poisson dikalikan suatu konstanta. Sehingga, berdasarkan Lema 4.4 untuk membuktikan 4.22 cukup ditunjukkan n µ → ∞ 4.24 untuk n → ∞ Untuk sembarang nilai n diperoleh nilai harapan peubah acak n X adalah [ ] 2 , 1 2 n n n n k n N s k h s k h E s k h τ τ τ µ τ =   + − + + =     +   ∑ [ ] 2 , 1 2 n n n k n N s k h s k h E dx s k h τ τ τ τ = + − + + = + ∑ [ ] 2 , 1 2 n n n k n EN s k h s k h dx s k h τ τ τ τ = + − + + = + ∑ 4.25 Kemudian komponen [ ] , n n N s k h s k h τ τ + − + + E pada persamaan 4.25 dapat diuraikan menjadi [ ] [ ] , 0, . n n s k h n n s k h N s k h s k h x I x n d x τ τ τ τ λ + + + − + − + + = ∈ ∫ E 4.26 Dengan melakukan penggantian peubah y x s k τ = − + , persamaan 4.26 dapat ditulis menjadi [ ] [ ] , 0, . n n h n n h N s k h s k h y s k I y s k n d y τ τ λ τ τ − + − + + = + + + + ∈ ∫ E Dengan menggunakan persamaan 3.3 , maka persamaan 4.26 dapat ditulis menjadi [ ] , n n N s k h s k h τ τ + − + + E [ ] 2 0, . n n h c h y s k y s k I y s k n d y λ τ τ τ − = + + + + + + ∈ ∫ 4.27 Berdasarkan sifat keperiodikan , maka persamaan 4.27 dapat ditulis menjadi [ ] [ ] 2 , 0, . n n n n h c h N s k h s k h y s y s k I y s k n d y τ τ λ τ τ − + − + + = + + + + + ∈ ∫ E 4.28 Kemudian kembalikan persamaan 4.28 ke persamaan 4.25 sehingga menjadi [ ] 2 2 1 1 0, . 2 n n h n c k n h y s y s k I y s k n d y h s k µ λ τ τ τ ∞ = − = + + + + + ∈ + ∑ ∫ 4.29 Persamaan 4.29 bisa ditulis menjadi Perhatikan bahwa [ ] 2 2 0, 1 k y s k n I y s k n O s k τ τ τ τ ∞ = + + + + ∈ = + + ∑ 4.31 untuk n → ∞ . Jadi persamaan 4.30 dapat ditulis menjadi 1 1 1 1 2 2 n n n n h h n c c n n h h n n y s O dy O y s dy h h µ λ λ τ τ − −       = + + = + +             ∫ ∫ 4.32 Dilakukan operasi perkalian pada ruas kanan persamaan 4.32 sehingga didapat 1 1 2 n n h n c n h n y s dy O h µ λ τ − = + + ∫ 4.33 Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan 4.33 dapat ditulis menjadi 1 2 1 1 . 2 2 n n n n n n h c c c n h h h c c c n n h h n y s s s dy h n y s s dy s dy h n h λ λ λ τ τ λ λ λ τ − − − = + + − = + − + ∫ ∫ ∫ 4.34 [ ] 2 2 1 0, . 4.30 2 n n h n c k n h y s k y s I y s k n d y h s k τ µ λ τ τ ∞ = − + + = + + + ∈ + ∑ ∫ Perhatikan suku pertama dari persamaan 4.34. Karena s adalah titik Lebesgue c λ digunakan nilai yang lebih besar, yaitu 1 2 n n h c c n h n y s s dy h λ λ τ − = + − ∫ 1 n ο τ = n ο = 4.35 untuk n → ∞ . Sedangkan suku kedua persamaan 4.34 adalah 1 . 2 n n h c c n h n n s dy s h λ λ τ τ − = = ∫ 4.36 Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka 1 1 2 2 n n n n h h c c c n n h h c n n y s s dy s dy h h n s o n λ λ λ τ τ λ τ − − + − + = + ∫ ∫ untuk n → ∞ . Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama ruas kanan persamaan 4.33 adalah 1 2 n n h c c n h n n y s dy s o n h λ λ τ τ − + = + ∫ untuk n → ∞ . Akhirnya diperoleh dari ruas kanan persamaan 4.33, adalah 1 n c n s o n µ λ τ = + + Ο c n s o n λ τ = + → ∞ untuk n → ∞ . Dengan demikian Lema 4.3 terbukti. Lema 4.4 Misalkan n X adalah barisan peubah acak Poisson dengan . n n EX µ = Jika n µ → ∞ untuk , n → ∞ maka 0,1 d n n n X N µ µ −  → untuk n → ∞ . Bukti : Lihat Cheng 1949

BAB V KESIMPULAN