2 2
,
6
c c n
c n
n
s s
s h
o h
λ λ
λ
= +
+ E
4.6 untuk
. n
→ ∞ Berdasarkan Teorema 3.2, nilai ragam penduga dengan kernel seragam adalah
2 ,
2 2
1 ˆ
, 12
c c n
n n
s Var
s o
n h n h
π λ λ
= +
4.7
untuk .
n → ∞
4.2 Sebaran Asimtotik Penduga dengan Kernel Seragam Teorema 4.1 Sebaran asimtotik penduga
, ,
ˆ
c n
s
λ Misalkan fungsi intensitas
λ
memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal, serta
2
0,
n n
h nh
↓ → ∞
dan
c
λ
memiliki turunan kedua
c
λ
′′
berhingga pada titik s. i
Jika
2 5
n
n h →
, maka
2 2
, ,
ˆ 0,
d n
c n K c
n h s
s Normal
λ λ
σ −
→
4.8
untuk n → ∞ dengan
2 2
12
c
s π λ
σ = .
iiJika
2 5
1
n
n h →
maka
2 2
, ,
ˆ ,
d n
c n K c
n h s
s Normal
λ λ
µ σ −
→
4.9
untuk n → ∞ , dengan
1 6
c
s
µ λ
′′ =
dan
2 2
12
c
s π λ
σ = .
Bukti : Ruas kiri 4.8 dan 4.9 dapat ditulis sebagai berikut:
2 ,
ˆ
n c n
c
n h s
s λ
λ −
=
2 2
, ,
,
ˆ ˆ
ˆ
n c n
c n n
c n c
n h s
E s
n h E
s s
λ λ
λ λ
− +
− .
4.10 Sehingga untuk membuktikan Teorema 4.1, cukup dibuktikan
2 2
, ,
ˆ ˆ
0,
d n
c n c n
n h s
E s
Normal λ
λ σ
−
→ 4.11
untuk n → ∞ dan jika
2 5
n
n h →
maka
2 , ,
ˆ
n c n K
c
n h E
s s
λ λ
− → 4.12
untuk n → ∞ dan jika
2 5
1
n
n h →
maka
2 , ,
1 ˆ
, 6
n c n K
c c
n h E
s s
λ λ
λ
′′ −
→
4.13 untuk n
→ ∞ . Berdasarkan Lema 4.1 kita peroleh 4.12 dan 4.13, dan berdasarkan Lema 4.2
kita peroleh 4.11. Jadi Teorema 4.1 terbukti.
Lema 4.1
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3.1 dan terintegralkan lokal.
Misalkan pula
n
h ↓
dan
2 n
nh → ∞
untuk
n → ∞
. i Jika
2 5
n
n h →
maka
2 ,
ˆ
n c n
c
n h E
s s
λ λ
− →
4.14 untuk n
→ ∞ . ii Jika
2 5
1
n
n h →
maka
2 ,
1 ˆ
6
n c n
c c
n h E
s s
s
λ λ
λ
′′ −
→
4.15 untuk
n → ∞
.
Bukti :
Untuk membuktikan Lema 4.1 dapat digunakan persamaan 4.6 sehingga diperoleh
2 ,
ˆ
n c n
c
n h E
s s
λ λ
−
=
2 2
2
6
c n
n n
s n h
h h
λ ο
′′
+
=
2 2
1 6
c n
n
s n h h
λ ο
′′
+
=
2 5
1 6
c n
s n h
λ ο
′′
+
. 4.16
Karena
2 5
n
n h →
dan
1 1
6
c
s O
λ ο
′′
+
=
maka diperoleh bagian i dari Lema 4.1.
Jika
2 5
1
n
n h →
untuk n → ∞ maka diperoleh bagian ii dari Lema 4.1. Dengan
demikian Lema 4.1 terbukti.
Lema 4.2
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3.1 dan terintegralkan lokal.
n
h ↓
dan
2 n
n h → ∞
untuk
n → ∞
maka
2 2
, ,
ˆ ˆ
0,
d n
c n c n
n h s
E s
Normal λ
λ σ
−
→
4.17 untuk
, n
→ ∞ dengan
2 2
. 12
c
s π λ
σ = Bukti :
Perhatikan bahwa ruas kiri pernyataan Lema 4.2 dapat ditulis sebagai
, ,
2 ,
,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
c n c n
n c n
c n
s E
s n h
Var s
Var s
λ λ
λ λ
−
. 4.18
Untuk membuktikan Lema 4.2 cukup dibuktikan
2 2
, ,
ˆ 12
c n
c n K
s n h
Var s
π λ λ
→
4.19 dan
, ,
,
ˆ ˆ
0,1 ˆ
c n c n
d c n
s E
s Normal
E s
λ λ
λ
−
→
4.20 untuk n
→ ∞ Pertama dibuktikan pernyataan 4.19.
Dengan menyubstitusikan 4.7 ke ruas kiri 4.19 diperoleh
2 , ,
ˆ
n c n K
n h Var
s λ
=
2 2
2 2
1 12
c n
n n
s n h
o n h
n h π λ
+
=
2 2
2 2
1 12
c n
n n
s n h
o n h
n h π λ
+
=
2
1 12
c
s
π λ ο
+
4.21 untuk
. n
→ ∞
Misalkan
2
1 12
c
s u
π λ ο
= +
dan
, f u
u =
dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
2 2
2
12 12
12
c c
c
s s
f u f
s f
u π λ
π λ π λ
′
= +
−
2 2
2
1 ...
12 12
2
c c
s s
f u
π λ π λ
′′
+ −
+
=
2 2
2 2
1 1
1 ...
12 2
4 12
12
c c
c
s s
s ο
ο π λ
π λ π λ
+ −
+ =
2
1 12
c
s π λ
ο +
untuk .
n → ∞ Maka diperoleh 4.19.
Berdasarkan Lema 4.3 diperoleh 4.20. Dengan demikian Lema 4.2 terbukti.
Lema 4.3
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan 3.1 dan terintegralkan lokal,
0,
n
h ↓
dan s adalah titik Lebesgue maka
, ,
,
ˆ ˆ
0,1 ˆ
c n c n
d c n
s E
s Normal
E s
λ λ
λ
−
→
4.22
untuk .
n → ∞
Bukti : Misalkan
[ ]
2
, 1
2
n n
n n
k n
N s
k h s
k h
X s
k h
τ
τ τ
τ
=
+ −
+ +
= +
∑
4.23 dan
,
n n
E X µ =
dengan n
τ
menyatakan banyaknya bilangan k sehingga
[ ]
0, .
s k
n
τ
+ ∈
Karena
n
h ↓
jika n → ∞ , maka untuk nilai n yang cukup besar, peubah
acak
[ ]
,
n n
N s
j h s
j h
τ τ
+ −
+ +
dan
[ ]
,
n n
N s
k h s
k h
τ τ
+ −
+ +
, dengan
k j
≠
, adalah saling bebas. Perhatikan bahwa jumlah peubah acak Poisson yang saling
bebas juga merupakan peubah acak Poisson. Sehingga
,
ˆ
c n
s
λ dapat ditulis
,
ˆ
c n n
s X
n τ
λ =
yang merupakan peubah acak Poisson dikalikan suatu konstanta. Sehingga, berdasarkan Lema 4.4 untuk membuktikan 4.22 cukup ditunjukkan
n
µ → ∞ 4.24
untuk n → ∞
Untuk sembarang nilai n diperoleh nilai harapan peubah acak
n
X adalah
[ ]
2
, 1
2
n n
n n
k n
N s
k h s
k h
E s
k h
τ
τ τ
µ τ
=
+ −
+ +
=
+
∑
[ ]
2
, 1
2
n n
n k
n
N s
k h s
k h
E dx
s k
h
τ
τ τ
τ
=
+ −
+ +
= +
∑
[ ]
2
, 1
2
n n
n k
n
EN s
k h s
k h
dx s
k h
τ
τ τ
τ
=
+ −
+ +
= +
∑
4.25 Kemudian komponen
[ ]
,
n n
N s
k h s
k h
τ τ
+ −
+ +
E
pada persamaan 4.25 dapat diuraikan menjadi
[ ]
[ ]
, 0,
.
n n
s k h
n n
s k h
N s
k h s
k h
x I x n d
x
τ τ
τ τ
λ
+ + + −
+ −
+ +
= ∈
∫
E
4.26 Dengan melakukan penggantian peubah
y x
s k τ
= − + , persamaan 4.26 dapat
ditulis menjadi
[ ]
[ ]
, 0,
.
n n
h n
n h
N s
k h s
k h
y s
k I y
s k
n d y
τ τ
λ τ
τ
−
+ −
+ +
= + +
+ + ∈
∫
E
Dengan menggunakan persamaan 3.3 , maka persamaan 4.26 dapat ditulis menjadi
[ ]
,
n n
N s
k h s
k h
τ τ
+ −
+ +
E
[ ]
2
0, .
n n
h c
h
y s
k y
s k
I y s
k n d
y λ
τ τ
τ
−
= + +
+ + + +
∈
∫
4.27 Berdasarkan sifat keperiodikan , maka persamaan 4.27 dapat ditulis menjadi
[ ]
[ ]
2
, 0,
.
n n
n n
h c
h
N s
k h s
k h
y s
y s
k I y
s k
n d y
τ τ
λ τ
τ
−
+ −
+ +
= +
+ + + +
∈
∫
E
4.28 Kemudian kembalikan persamaan 4.28 ke persamaan 4.25 sehingga menjadi
[ ]
2 2
1 1
0, .
2
n n
h n
c k
n h
y s
y s
k I y
s k
n d y
h s
k µ
λ τ
τ τ
∞ =
−
= +
+ + + +
∈ +
∑ ∫
4.29 Persamaan 4.29 bisa ditulis menjadi
Perhatikan bahwa
[ ]
2 2
0, 1
k
y s k
n I y
s k n
O s k
τ τ
τ τ
∞ =
+ + + +
∈ = +
+
∑
4.31 untuk
n → ∞
. Jadi persamaan 4.30 dapat ditulis menjadi 1
1 1
1 2
2
n n
n n
h h
n c
c n
n h
h
n n
y s
O dy
O y
s dy h
h µ
λ λ
τ τ
− −
= +
+ =
+ +
∫ ∫
4.32 Dilakukan operasi perkalian pada ruas kanan persamaan 4.32 sehingga
didapat 1
1 2
n n
h n
c n
h
n y
s dy O
h µ
λ τ
−
= +
+
∫
4.33 Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan 4.33 dapat ditulis menjadi
1 2
1 1
. 2
2
n n
n n
n n
h c
c c
n h
h h
c c
c n
n h
h
n y
s s
s dy h
n y
s s dy
s dy h
n h λ
λ λ
τ τ
λ λ
λ τ
−
− −
= + +
−
= + −
+
∫
∫ ∫
4.34
[ ]
2 2
1 0,
. 4.30
2
n n
h n
c k
n h
y s
k y
s I y
s k
n d y
h s
k τ
µ λ
τ τ
∞ =
−
+ + =
+ + +
∈ +
∑ ∫
Perhatikan suku pertama dari persamaan 4.34. Karena s adalah titik Lebesgue
c
λ digunakan nilai yang lebih besar, yaitu 1
2
n n
h c
c n
h
n y
s s dy
h λ
λ τ
−
= + −
∫
1 n
ο τ
=
n ο
= 4.35
untuk
n → ∞
. Sedangkan suku kedua persamaan 4.34 adalah
1 .
2
n n
h c
c n
h
n n
s dy s
h λ
λ τ
τ
−
= =
∫
4.36 Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka
1 1
2 2
n n
n n
h h
c c
c n
n h
h c
n n
y s
s dy s dy
h h
n s
o n λ
λ λ
τ τ
λ τ
− −
+ − +
= +
∫ ∫
untuk
n → ∞
. Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama ruas kanan persamaan 4.33
adalah
1 2
n n
h c
c n
h
n n
y s dy
s o n
h λ
λ τ
τ
−
+ =
+
∫
untuk
n → ∞
. Akhirnya diperoleh dari ruas kanan persamaan 4.33, adalah
1
n c
n s
o n
µ λ
τ
= +
+ Ο
c
n s
o n
λ τ
= +
→ ∞
untuk
n → ∞
. Dengan demikian Lema 4.3 terbukti.
Lema 4.4
Misalkan
n
X
adalah barisan peubah acak Poisson dengan
.
n n
EX
µ
=
Jika
n
µ
→ ∞
untuk
, n
→ ∞
maka
0,1
d n
n n
X N
µ µ
−
→
untuk
n → ∞
. Bukti : Lihat Cheng 1949
BAB V KESIMPULAN