Proses Poisson Periodik Definisi Proses stokastik

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 Proses stokastik Proses stokastik X = {Xt, t ∈ T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Ross, 2007 Dengan demikian, Xt adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering diinterpretasikan sebagai satuan waktu walaupun tidak harus merupakan waktu. Xt dapat dibaca sebagai state keadaan dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya. Definisi 2.2 Proses stokastik dengan waktu kontinu Suatu proses stokastik X ={Xt, t ∈ T}disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval. Ross, 2007 Definisi 2.3 Inkremen bebas Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt , t ∈ T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t t 1 t 2 ... t n , peubah acak Xt 1 – X t , Xt 2 – Xt 1 , Xt 3 – Xt 2 , ... , Xt n – Xt n –1 Ross, 2007 , adalah saling bebas. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih tidak overlap adalah saling bebas. Definisi 2.4 Inkremen stasioner Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt , t ∈ T} disebut memiliki inkremen stasioner jika Xt + s – Xt memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. Ross, 2007 Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0, ∞. Definisi 2.5 Proses pencacahan Suatu proses stokastik {Nt, t 0} disebut proses pencacahan jika Nt menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan Nt harus memenuhi syarat- syarat sebagai beriku: 1. Nt ≥ 0 untuk setiap t ∈ [0,∞. 2. Nilai Nt adalah integer. 3. Jika s t maka Ns ≤ Nt, s, t ∈ [0,∞. 4. Untuk s t maka Nt - Ns, sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang s,t]. Ross, 2007 Definisi 2.6 Proses Poisson Suatu proses pencacahan {Nt, t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ , λ 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: 1. N0 = 0 2. Proses tersebut mempunyai inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi ; 0,1, 2.... k t e t P N t s N s k k k λ λ − + − = = = Ross, 2007 Dari syarat 3 dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa: E Nt = λt yang juga menjelaskan mengapa λ disebut laju dari proses Poisson tersebut. Definisi 2.7 Proses Poisson homogen Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk setiap waktu t. Ross, 2007 Definisi 2.8 Proses Poisson tak homogen Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju λ pada sembarang waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu λt. Ross, 2007 Definisi 2.9 Fungsi intensitas Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {Nt, t ≥ 0} yaitu λt, disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t. Ross, 2007 Definisi 2.10 Intensitas lokal Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik s ∈ Ρ adalah λs, yaitu nilai fungsi λ di s. Cressie, 1993 Definisi 2.11 Fungsi intensitas global Misalkan N[0,n] adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: [ ] 0, lim n EN n n θ →∞ = jika limit di atas ada. Cressie, 1993 Definisi 2.12 Fungsi periodik Suatu fungsi λ disebut periodik jika: λs + kτ = λs untuk semua s ∈ ฀ dan k ∈ Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas λ tersebut. Browder, 1996 Definisi 2.13 Proses Poisson periodik Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. Ross, 2007 Definisi 2.14 Fungsi terintegralkan lokal Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh . B B s ds µ λ = ∞ ∫ Dudley,1989

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik