BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 Proses stokastik
Proses stokastik X = {Xt, t ∈ T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.
Ross, 2007
Dengan demikian, Xt adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering diinterpretasikan sebagai satuan waktu walaupun tidak harus
merupakan waktu. Xt dapat dibaca sebagai state keadaan dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan
real atau himpunan bagiannya.
Definisi 2.2 Proses stokastik dengan waktu kontinu
Suatu proses stokastik X ={Xt, t ∈ T}disebut proses stokastik dengan waktu
kontinu jika T merupakan suatu interval.
Ross, 2007 Definisi 2.3 Inkremen bebas
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt , t ∈ T} disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua t t
1
t
2
... t
n
, peubah acak Xt
1
– X
t , Xt
2
– Xt
1
, Xt
3
– Xt
2
, ... , Xt
n
– Xt
n –1
Ross, 2007
, adalah saling bebas.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada
interval waktu yang tidak saling tumpang tindih tidak overlap adalah saling bebas.
Definisi 2.4 Inkremen stasioner
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt , t ∈ T} disebut memiliki
inkremen stasioner jika Xt + s – Xt memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.
Ross, 2007
Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada sembarang
suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak.
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap
bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0,
∞.
Definisi 2.5 Proses pencacahan
Suatu proses stokastik {Nt, t 0} disebut proses pencacahan jika Nt menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.
Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan Nt harus memenuhi syarat- syarat sebagai beriku:
1. Nt ≥ 0 untuk setiap t ∈ [0,∞.
2. Nilai Nt adalah integer. 3. Jika s t maka Ns
≤ Nt, s, t ∈ [0,∞. 4. Untuk s t maka Nt - Ns, sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada selang s,t].
Ross, 2007
Definisi 2.6 Proses Poisson
Suatu proses pencacahan {Nt, t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju
λ , λ 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:
1. N0 = 0 2. Proses tersebut mempunyai inkremen bebas.
3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan
λt. Jadi
; 0,1, 2....
k t
e t
P N t s
N s k
k k
λ
λ
−
+ − =
= =
Ross, 2007
Dari syarat 3 dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa:
E
Nt = λt
yang juga menjelaskan mengapa λ disebut laju dari proses Poisson tersebut.
Definisi 2.7 Proses Poisson homogen
Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan
konstanta untuk setiap waktu t.
Ross, 2007 Definisi 2.8 Proses Poisson tak homogen
Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju λ pada sembarang
waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu λt.
Ross, 2007
Definisi 2.9 Fungsi intensitas
Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {Nt, t ≥ 0} yaitu
λt, disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t.
Ross, 2007 Definisi 2.10 Intensitas lokal
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik s ∈ Ρ adalah λs, yaitu nilai fungsi λ di s.
Cressie, 1993 Definisi 2.11 Fungsi intensitas global
Misalkan N[0,n] adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global
θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:
[ ]
0, lim
n
EN n
n θ
→∞
=
jika limit di atas ada.
Cressie, 1993 Definisi 2.12 Fungsi periodik
Suatu fungsi λ disebut periodik jika:
λs + kτ = λs untuk semua s
∈ dan k ∈ Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil
τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas
λ tersebut.
Browder, 1996
Definisi 2.13 Proses Poisson periodik
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Ross, 2007 Definisi 2.14 Fungsi terintegralkan lokal
Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan
Borel terbatas B diperoleh .
B
B s ds
µ λ
= ∞
∫
Dudley,1989
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik