BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT – SIFAT STATISTIKNYA
3.1 Perumusan Penduga
Misalkan N adalah proses Poisson non homogen pada interval [0, ∞
dengan fungsi intensitas
λ
yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas komponen periodik atau komponen siklik
kali tren kuadratik. Dengan kata lain untuk sembarang titik
[
0, s
∈ ∞ kita dapat
menuliskan fungsi intensitas
λ
sebagai berikut
2 c
s s
as
λ λ
=
3.1
2 c
s s a s
λ λ
=
3.2
2 c
s s
s λ
λ =
3.3 dengan
c
s λ
adalah fungsi periodik dengan periode τ dan a adalah
kemiringan dari tren kuadratik serta
c
s a
s λ
λ =
. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari
c
λ kecuali bahwa
c
λ adalah periodik dengan persamaan :
c c
s k
s λ
τ λ
+ =
3.4 untuk semua s
∈ dan k ∈ Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat. Diasumsikan bahwa
τ adalah diketahui. Misalkan untuk suatu
ω ∈Ω , kita hanya memiliki sebuah realisasi N
ω dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang , , P
Ω ℑ dengan fungsi intensitas seperti 3.1 yang diamati pada interval terbatas
[ ]
0, n
[
0, ⊂
∞ . Karena
2
s
diketahui maka untuk menduga fungsi intensitas s
λ seperti pada 3.3 cukup diduga komponen periodiknya yaitu
c
s λ
. Karena
c
λ adalah fungsi periodik dengan periode
τ , maka masalah menduga
c
λ pada titik s
dengan
[
0, s
∈ ∞ dapat direduksi menjadi masalah menduga
c
λ pada titik s dengan
[
0, s
τ ∈
. Kita juga asumsikan bahwa s adalah titik Lebesque dari
λ
yaitu berlaku :
1 lim
2
h h
h
s x
s dx h
λ λ
↓ −
+ −
=
∫
. 3.5 Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesque dari
λ
adalah fungsi
λ
kontinu di s. Misalkan
[
: 0,
K →
∞
merupakan fungsi bernilai real, yang disebut kernel, yang memenuhi sifat – sifat berikut: K1 K merupakan fungsi kepekatan
peluang, K2 K terbatas, dan K3 K memiliki daerah definisi pada [-1,1] Helmers et al. 2007. Misalkan juga h
n
merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu :
n
h ↓
3.6
jika n → ∞
Dengan notasi di atas, dapat dirumuskan penduga bagi
c
λ
pada titik
[
0, s
τ ∈
sebagai berikut:
, , 2
1 .
n c n K
k n
n
x s
k s
K N dx
n h
h s k
τ τ
λ τ
∞ =
− +
=
+
∑ ∫
3.7 Ide dibalik pembentukan penduga tipe kernel di atas dapat digambarkan sebagai
berikut. Dengan menggunakan 3.3 dan 3.4, kita peroleh :
2 2
c c
s s
k s
s k
s s
k λ
λ τ
λ λ
τ τ
+ =
+ =
= +
. 3.8 Misalkan N
n
: =
[ ]
{ }
: 0,
k s k
n
τ
+ ∈
dimana menyatakan banyaknya anggota.
[ ]
{ }
1 0,
c c
k n
s s
k I s
k n
N λ
λ τ
τ
∞ =
= +
+ ∈
∑
=
[ ]
{ }
2
1 0,
k n
s k
I s k
n N
s k
λ τ
τ τ
∞ =
+ +
∈ +
∑
[ ]
2
1 1
1 0,
2
n n
s k h
s k h
k n
n
x I x n dx
N h
s k
τ τ
λ τ
∞ + +
+ − =
≈ ∈
+
∑ ∫
=
[ ] [ ]
2
1 1
, 0,
2
n n
k n
n
EN s
k h s
k h
n N
h s k
τ τ
τ
∞ =
+ −
+ +
∩ +
∑
[ ] [ ]
2
1 1
, 0,
2
n n
k n
n
N s
k h s
k h
n N
h s k
τ τ
τ
∞ =
≈ +
− +
+ ∩
+
∑
[ ] [ ]
2
1 ,
0, 2
n n
k n
N s
k h s
k h
n n
h s k
τ τ
τ τ
∞ =
≈ +
− +
+ ∩
+
∑
3.9 dimana I menyatakan fungsi indikator. Agar pendekatan
≈ pertama pada 3.9 berlaku, diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi
c
λ dan asumsi 3.6 terpenuhi. Dengan demikian dari 3.9 dapat disimpulkan
[ ] [ ]
. 2
1 ˆ
, 0,
2
c n n
n k
n
s N
s k
h s k
h n
n h s
k τ
λ τ
τ τ
∞ =
= +
− +
+ ∩
+
∑
3.10 adalah penduga untuk
c
s λ
. Penduga
,
ˆ
c n
s
λ dapat ditulis kembali sebagai
berikut:
[ ]
[ ]
, 1,1
2
1 1
ˆ ,
. 2
n c n
n n
k n
s I
s k
h s k
h N d
x n
h s k
τ λ
τ τ
τ
∞ −
=
= +
− +
+ +
∑ ∫
3.11
Dengan mengganti fungsi
[ ]
1,1
1 .
2
−
Ι
pada 3.11 dengan kernel umum K , maka kita dapatkan penduga pada 3.7.
3.1 Sifat – Sifat Statistik Penduga
Kategori