3
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model ARIMA dan model ARCH-GARCH
Model deret waktu satu peubah adalah suatu spesifikasi model yang digunakan untuk memprediksi peubah tersebut di masa yang akan datang dengan
menggunakan informasi dirinya sendiri dan pola sisaan dari periode waktu sebelumnya. Seperti yang sudah dijelaskan di bagian pendahuluan, model deret
waktu satu peubah terdiri dari dua model, yaitu: model ARIMA dan model ARCH-GARCH. Model ARIMA membutuhkan 3 tahapan, yaitu: spesifikasi
model, pendugaan parameter dan pemeriksaan diagnostik. Model ARCH-GARCH membutuhkan 3 tahapan, yaitu: pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik
dan uji keberadaan heteroskedasitas. Model ARCH-GARCH dibutuhkan jika syarat ragam sisaan pada model ARIMA tidak konstan.
2.1.1 Model ARIMA
Metode Box dan Jenkins 1976 digunakan untuk membangun model ARIMA. Model ARIMA melalui tiga langkah dalam pembentukannya Brooks, 2002,
yaitu: 1.
Spesifikasi model 2.
Pendugaan parameter. 3.
Pemeriksaan model secara diagnostik.
Spesifikasi model
Spesifikasi model adalah pemilihan suatu model yang mengikuti bentuk dinamika data. Penelitian empiris biasanya merupakan proses yang saling
berinteraksi. Suatu proses yang dimulai dengan spesifikasi model berhubungan langsung dengan pendugaan parameter. Suatu proses pemilihan spesifikasi model
biasanya melibatkan beberapa pilihan, yaitu: peubah yang harus dimasukkan kedalam model, fungsi tertentu yang berhubungan dengan peubah, dan
menganalisis struktur dinamik dari peubah-peubah yang saling berhubungan. Sebelum melakukan spesifikasi model, data peubah harus terlebih dahulu
stasioner.
4 Misalkan Yt adalah peubah acak yang mewakili data deret waktu pada periode
ke-t, t = 1,2,3,... dan Yt disebut stasioner jika memiliki rataan konstan, ragam konstan dan struktur autokoragam konstan. Ketiga parameter tersebut dinyatakan
sebagai berikut: 1.
Rataan konstan,
... 2
1 t
y E
y E
y E
2. Ragam konstan,
2 2
... 2
2 2
1
t y
E y
E y
E 3.
Autokoragam konstan, s
s t
y E
s t
y t
y E
t y
E
]
][ [
0,1,2,... t
s,
Data yang stasioner sangat kuat mempengaruhi perilaku pembentukan model.
Di sisi lain, jika data tidak stasioner berakibat model menjadi semu cocok dengan data Brooks, 2002.
Alat ukur untuk mengetahui apakah data sudah memenuhi asumsi kestasioneran adalah dengan menganalisis plot ACF Autocorrelation Function
dan plot PACF Partial Autocorrelation Function. Data stasioner dapat diketahui dari 3 kemungkinan pola plot dari ACF dan PACF, yaitu:
1. Plot ACF mengalami perilaku menurun perlahan, sedangkan plot PACF
mengalami penurunan drastis pada suatu lag. 2.
Plot ACF mengalami penurunan drastis pada suatu lag, sedangkan plot PACF mengalami perilaku menurun perlahan.
3. Plot ACF maupun plot PACF mengalami perilaku menurun perlahan secara
bersamaan. Plot ACF
Koefisien Autocorrelation antara Y
t
dan Y
t-1
saat lag-1 adalah 1 dan
dinyatakan sebagai berikut
n t
Y t
Y n
t Y
t Y
Y t
Y
1 2
_ 2
_ 1
_ 1
1
Bentuk umum koefisien Autocorrelation dari lag- 1,2,3, … ,k dinyatakan sebagai
berikut
5
n
t Y
t Y
n k
t Y
k t
Y Y
t Y
k k
1 2
_ 1
_ _
dengan n adalah banyaknya data selama waktu t.
k = 0,1,…,K Plot antara k
dan k menghasilkan suatu grafik yang dikenal dengan nama ACF. Pada umumnya, contoh autocorrelation diambil dengan:
4 n
K
Montgomery et al. 1990. Data stasioner jika pada lag-1 atau lag-2 akan drastis turun ke nol Makridakis et al., 1983.
Plot PACF PACF yang dinotasikan
kk adalah alat ukur korelasi antara data lag-k
dan y
t
, setelah mengkondisikan data tertentu sebelum lag-k. Bentuk umum persamaan PACF, yaitu:
2 ,
1 1
, 1
1
k k
i i
y i
y k
i i
k y
i k
y kk
Pada lag-1, nilai ACF dan nilai PACF adalah sama, dengan nilai PACF = 11 =
1 . Nilai PACF juga didefinisikan sebagai koefisien terakhir dari model ARp.
Untuk data yang memiliki nilai ragam relatif tidak konstan, dilakukan transformasi, misalkan dengan transformasi logaritma natural. Transformasi
logaritma natural juga dapat menghilangkan pengaruh satuan dengan persamaan
t t
t t
y y
y S
, ln
1
adalah data peubah. Dalam ilmu keuangan, transformasi ini dikenal dengan nama continuously compounding return. Untuk data yang
memiliki nilai rataan relatif tidak konstan, dilakukan selisih atau diferensiasi ordo- d Integrated, yaitu:
t d
t d
S B
S 1
6 dimana
d t
t d
S S
B
dan d adalah ordo selisih dengan nilai 1,2,3....
Pengujian data stasioner dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller ADF
Ho: Data tidak stasioner, t
u t
y
a unit root
H
1
: Data stasioner, t
u t
t y
t y
1
no unit root dengan
y
t
adalah peubah tak bebas pada saat t. 1
t y
t y
t y
adalah parameter model adalah parameter model drift
t
adalah parameter model pada saat t time trend u
t
adalah sisaan pada saat t. Statistik uji-t =
ˆ ˆ
SE
Model AR Autoregressive Pada model ini peubah tak bebas dipengaruhi oleh pengamatan itu sendiri
pada periode waktu sebelumnya. Data pengamatan pada saat awal sampai dengan pada saat p tidak bebas, namun setelah waktu p bebas. AR p dengan ordo-p,
memiliki persamaan
t p
i i
t i
t
u Y
Y
1
2.1
dengan Y
t
adalah peubah tak bebas pada saat t. model
parameter dalah
dan
i
a
p adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model AR
u
t
adalah sisaan pada saat t.
7 Model MA Moving Average
Pada model ini peubah tak bebas merupakan nilai sisaan pada periode waktu sebelumnya. Data pengamatan pada saat awal sampai dengan pada saat q tidak
bebas, namun setelah waktu q bebas. MA q dengan ordo-q, memiliki persamaan
t q
j j
t j
t
u u
Y
1
2.2 dengan
Y
t
adalah peubah tak bebas pada saat t.
model parameter
adalah dan
j
MA q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model MA
u
t
adalah sisaan pada saat t. Model ARMA Autoregressive Moving Average
Model ini merupakan campuran antara ARp dan MAq. ARMAp,q dengan ordo-p dan ordo-q, memiliki persamaan
t q
j j
t j
p i
i t
i t
u u
Y Y
1 1
2.3 dengan
Y
t
adalah peubah tak bebas pada saat t.
model parameter
adalah dan
,
j i
ARMA p dan q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARMA
u
t
adalah sisaan pada saat t. Model ARIMA p,d,q pada model deret waktu adalah
t q
j j
t j
p i
i t
i t
u u
Y d
Y d
1 1
2.4 dengan
dst. 2,
- ordo
selisih adalah
1 -
ordo selisih
adalah
1 2
1
t t
t t
t t
Y Y
Y Y
Y Y
Y
t
adalah peubah tak bebas pada saat t. model
parameter adalah
dan ,
j i
8 p dan q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARIMA
d adalah banyaknya selisih ordo yang dibutuhkan pada model ARIMA u
t
adalah sisaan pada saat t. Data yang tidak stasioner dalam rataan dapat diatasi dengan mengambil
selisih orde-1 atau orde-2 saja Box Jenkins, 1976. Jika diambil selisih dengan orde yang lebih besar lagi, akan berakibat kesulitan dalam menginterpretasi plot
autocorrelation dan ragamnya juga akan membesar. Ini menunjukkan bahwa proses selisih tidak ada gunanya Abraham Ledolter, 1983. Model ARMAp,q
yang datanya diperlakukan dengan selisih ordo-d disebut model ARIMAp,d,q. Untuk nilai d = 0 maka model ARIMAp,d,q sama dengan ARMAp,q.
Spesifikasi model ARIMA didasarkan pada rekomendasi hasil analisis terhadap plot ACF dan plot PACF, yaitu:
1. Model ARp mengalami perilaku menurun perlahan pada plot ACF dan
menurun drastis pada lag ke-p untuk plot PACF. 2.
Model MAq mengalami perilaku menurun drastis pada lag ke-q untuk plot ACF dan menurun perlahan pada plot PACF.
3. Model ARMAp,q mengalami perilaku menurun perlahan pada plot ACF
maupun plot PACF. Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, plot ACF dan plot
PACF belum tentu sama dengan hasil rekomendasi. Hal ini dikarenakan oleh karakteristik dan pola suatu data dapat berbeda dengan data yang lain, misalkan
data saham berbeda dengan data nilai tukar kurs. Oleh karena itu, model deret waktu dalam pembentukannya tidak hanya memperhatikan plot ACF dan plot
PACF pada rekomendasi saja, dan pemilihan ordo-p dan ordo-q dapat dilakukan dengan mengambil kombinasi ordo-1 dan ordo-2. Software statistik seperti E-
views yang digunakan untuk membentuk model deret waktu sudah dilengkapi dengan proses pendeteksian kestasioneran data testing for no unit root.
Pendugaan parameter model
Pendugaan parameter yang nyata berhubungan langsung dengan spesifikasi model. Pendugaan parameter model menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil Ordinary Least Square, maximum likelihood, dan algoritma Marquardt.
9 Dari berbagai model alternatif, dipilih suatu model yang memiliki parameter yang
nyata.
Diagnostik model
Pemeriksaan diagnostik melibatkan pemeriksaan model seperti apakah suatu model sudah memenuhi spesifikasi dan pendugaan parameter. Diagnostik model
dilakukan untuk menganalisis apakah model sudah layak dengan data. Dalam hal ini, Box dan Jenkins 1976 menyarankan dua metode yaitu: diagnostik sisaan dan
kecocokan model. Diagnostik sisaan terdiri dari 2 syarat, yaitu: kebebasan antar sisaan dan sisaan
berdistribusi normal dengan rataan nol serta ragam konstan. Diagnostik sisaan dilakukan dengan 3 metode, yaitu: uji statistik Box-Pierce, korelasi plot ACF dan
PACF, dan uji statistik Ljung-Box dan uji statistik Jarque-Bera. Salah satu alat menguji kelayakan model adalah uji statistik Box-Pierce atau
uji Port Manteau Cryer, 1986:
k i
i
k Q
1 2
Sisaan, u
t
~ N0,
2
dan saling bebas jika 2
q p
k Q
diinginkan yang
lag maksimum
adalah k
i -
ke lag
pada sisaan
si autokorela
adalah dengan
2 i
p dan q adalah lag pada ARIMA Kelayakan model dapat dilihat dari korelasi plot ACF dan plot PACF. Model
layak jika tidak ada korelasi plot tadi secara nyata B owerman O’Connell,
1987. Uji statistik Ljung-Box berguna untuk menguji sisaan saling bebas,
sedangkan uji statistik Jarque Bera berguna untuk menguji kenormalan sisaan. Sisaan saling bebas, Eu
t
,u
s
= 0, s
t
Statistik uji Ljung-Box diformulasikan sebagai
k
i k
n i
n n
Q 1
2 2
10 ARIM A
pada lag
adalah q
dan p
pengamatan banyaknya
adalah n
diinginkan yang
lag maksimum
adalah k
i -
ke lag
pada sisaan
si autokorela
adalah 2
dengan 1994
Hamilton, 2
q -
p -
k Q
jika bebas
saling Sisaan
i
Uji kenormalan sisaan Statistik uji Jarque Bera diformulasikan sebagai
JB = 16n-KS
2
+14p-3
2
Sisaan berdistribusi normal jika 2
2
JB
Tagliafichi, 2003 dengan
S adalah parameter kemenjuluran K adalah parameter keruncingan
p adalah banyaknya parameter model n adalah banyaknya pengamatan
Jika persamaan rataan sudah memenuhi persyarat yang ditentukan, maka langkah terakhir adalah kecocokan model. Kecocokan model dilakukan dengan
proses overfitting, yaitu: melakukan analisis respon data terhadap model dan mengevaluasi dampak dari grafik model terhadap data, kemudian hasilnya
digunakan untuk melihat faktor-faktor mana saja yang dapat dikurangi.
2.1.2 Model ARCH-GARCH
Kategori