4
1. Grup kristalografi yang digunakan pada penelitian ini adalah grup
kristalografi dimensi dua. 2.
Graphical User Interface GUI yang digunakan pada penelitian ini adalah Graphical User Interface GUI pada program MATLAB versi
R2011b.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini berdasarkan pada rumusan masalah adalah membentuk motif batik menggunakan aplikasi grup kristalografi yang
diimplementasikan dengan Graphical User Interface GUI.
E. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagi dunia seni batik, hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan
untuk mengembangkan motif-motif batik. 2.
Bagi mahasiswa, menambah pengetahuan tentang grup kristalografi yang diaplikasikan pada penelitian ini sehingga dapat dijadikan acuan
untuk penelitian tentang grup kristalografi lebih lanjut. 3.
Bagi institusi, diharapkan dapat menambah referensi mengenai aplikasi grup kristalografi.
5
BAB II KAJIAN PUSTAKA
Secara umum, pada bab ini membahas mengenai kajian teori yang digunakan dalam penelitian yaitu, grup, transformasi, translasi, refleksi, rotasi,
gliderefleksi geser, grup simetri, frieze group, graphical user interface GUI pada MATLAB versi R2011b.
A. Definisi dan Sifat-sifat Sederhana Grup
Sebelum dijelaskan mengenai definisi grup terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai operasi biner.
Definisi 2.1 Grillet, 2007 hal. 1 Operasi
∗ pada himpunan � adalah suatu operasi biner jika operasi
∗ merupakan fungsi � � � → �. Dengan kata lain operasi
∗ pada anggota himpunan � adalah operasi biner jika untuk setiap dua anggota
�, � di � maka � ∗ � juga di �.
Contoh 2.1 Sukirman, 2014 hal.60 Operasi
+ pada himpunan bilangan bulat
ℤ merupakan operasi biner, sebab operasi + dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi dari
ℤ × ℤ → ℤ, yaitu untuk setiap �, � di ℤ × ℤ maka � + � juga di ℤ. Jumlah dari dua bilangan bulat adalah
bilangan bulat pula.
Definisi 2.2 Anderson, 2015 hal. 207. Jika
� adalah himpunan tidak kosong dan didefinisikan operasi biner
∗ ,maka �, ∗ disebut grup jika memenuhi semua aksioma berikut ini:
i. Bersifat asosiatif, yaitu
� ∗ � ∗ � = � ∗ � ∗ �, untuk setiap �, �, � di �.
ii. Terdapat elemen identitas, yaitu elemen
� disebut elemen identitas pada
� sedemikian sehingga � ∗ � = � ∗ � = � untuk setiap � di �. iii.
Setiap elemen mempunyai invers, yaitu untuk setiap elemen � ∊ �,
terdapat elemen � di � disebut invers dari � sedemikian sehingga
� ∗ � = � ∗ � = �.
6
Contoh 2.2 Sukirman, 2014 hal. 72
1. Himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan
ℤ, +, merupakan suatu grup.
Bukti: a.
Himpunan ℤ bersifat asosiatif.
Ambil sebarang �, �, � di ℤ maka,
� + � + � = � + � + � =
� + � + � b.
Terdapat elemen identitas yaitu 0, sebab
� + 0 = 0 + � = � c.
Setiap elemen mempunyai invers Ambil sebarang
� di ℤ terdapat � = 0 yaitu elemen identitas misalkan
� invers dari � maka, � + � = � + � = 0
� = −� Jadi invers untuk setiap
� di ℤ adalah −� 2.
Himpunan � dengan operasi ∗ didefinisikan oleh � ∗ � = � + � − 5 ,
untuk setiap �, � di � adalah suatu grup.
Bukti: a.
Himpunan � bersifat asosiatif
Ambil sebarang �, �, � di � maka,
� ∗ � ∗ � = � + � − 5 + � − 5 =
� + � − 5 + � − 5
