Perencanaan layar GUI APLIKASI GRUP KRISTALOGRAFI UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF BATIK YANG DIIMPLEMENTASIKAN DENGAN GRAPHICAL USER INTERFACE (GUI).

33 Elemen identitas untuk � 1 � adalah � 1 dan untuk � 2 � adalah � 2 c. Setiap elemen mempunyai invers � 1 � � 1 −� = � 1 � 2 � � 2 −� = � 2 Jadi invers untuk � 1 � adalah � 1 −� dan untuk � 2 � adalah � 2 −� Ide dari grup kristalografi bermula dari sebuah masalah bagaimana mengisi sebuah bidang dengan poligon-poligon yang kongruen sehingga setiap sisi dari poligon-poligon tersebut tidak saling tumpang tindih. Kemudian didapat bahwa poligon poligon yang memenuhi bidang tersebut hanyalah segi empat, segitiga, dan heksagonal segi enam seperti pada Gambar 4.1. Gambar 4.1 Poligon-poligon yang memenuhi bidang Sebuah bidang yang luas dapat diisi dengan poligon-poligon yang kongruen ini sehingga seluruh bidang terisi dengan melakukan isometri pada poligon-poligon tersebut. Untuk mengisi bidang dengan menggunakan segi empat dapat dilakukan dengan translasi sebuah segi empat ke atas, ke bawah, ke kanan dan ke kiri seperti pada Gambar 4.1 c. Pada kasus segi enam, maka pengisisan bidang dapat dilakukan dengan translasi ke arah sudut 60 derajat. Pada Gambar 4.1 a Pengisian bidang menggunakan segitiga dilakukan dengan cara yang sama dan ditambahkan 34 dengan rotasi atau refleksi. Rotasi dengan sudut 60 derajat akan membentuk segienam dan translasi akan memenuhi seluruh bidang. Dengan cara tersebut akan didapatkan pola-pola simetri tertentu. Pola pola tersebut akan membentuk suatu grup simetri. Menurut Scattschneider, 1978 terdapat tepat 17 grup yang memenuhi kriteria tersebut. Ke-17 grup tersebut sering disebut dengan grup kristalografi dua dimensi atau juga wallpaper group.

B. Kisi Satuan

Definisi 4.2 Umble, 2015 hal. 157 Misalkan � adalah grup krstalografi dengan translasi dasar � � , � � . Diberikan sebarang titik �, misalkan � � � = �, � � � = �, dan � � � = �. Kisi satuan pada � adalah daerah yang dibatasi oleh segiempat ����. Sebuah kisi satuan dapat memiliki lebih dari satu pusat rotasi lipat- n. Sebuah kisi satuan dikatakan mempunyai orde- � jika mempunyai pusat rotasi lipat- � yang tertinggi. Nilai � yang memenuhi orde tersebut adalah 2, 3, 4, atau 6. Hal ini dikarenakan poligon kongruen yang dapat digunakan hanyalah segitiga, segiempat dan segi enam. Jika sebuah pola tidak mengandung rotasi, tetapi terdapat refleksi dan glide dalam grup simetri tersebut maka kisi satuan harus mempunyai barisan titik titik yang saling sejajar. Hal ini mengakibatkan hanya terdapat 5 tipe kisi satuan yang berbeda Schattschneider, 1978. Kelima kisi tersebut adalah jajar genjang, persegipanjang, belah ketupat, persegi, dan segi enam yang tersusun dari dua segitiga sama sisi, seperti pada Gambar 4.2. 35 Gambar 4.2 Kisi-kisi satuan Setiap jenis kisi satuan dapat membentuk pola dengan bantuan suatu isometri tertentu. Pola pola tersebut membentuk 17 grup kristalografi yang berbeda Schattschneider, 1978. Ketujuh belas grup kristalografi tersebut adalah : 1. Grup �1 Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� dan � 2 = � �,� , sehingga dapat dituliskan sebagai �1 = {� 1 � , � 2 � | �, � ∈ ℤ}. Kisi satuan dalam grup �1 adalah jajargenjang seperti pada Gambar 4.3.