Refleksi APLIKASI GRUP KRISTALOGRAFI UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF BATIK YANG DIIMPLEMENTASIKAN DENGAN GRAPHICAL USER INTERFACE (GUI).

17

F. Rotasi

Definisi 2.12 Umble, 2015 hal. 53. Diberikan titik �, �,di ℝ 2 dan � di ℝ. Rotasi terhadap titik � dengan sudut �° adalah suatu fungsi � �,� ∶ ℝ 2 → ℝ 2 yang memenuhi: i. � �,� � = �. ii. Jika � ≠ � dan � �,� � = �′ dengan �� ′ ����� = �� ���� dan �∠��� ′ = �. Sudut putar � bernilai positif jika arah putaran berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, sebaliknya sudut putar � bernilai negatif jika arah perputarannya searah dengan arah perputaran jarum jam. Contoh 2.8 Segitiga ��� dirotasikan sebesar 90° dengan titik pusat �. ��, �� = �′, ��, �� = �′, ��, �� = �′, sehingga menghasilkan segitiga �′�′�′ seperti pada Gambar 2.6. Gambar 2.6 Rotasi segitiga ABC sebesar 90° dengan titik pusat D Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa rotasi merupakan suatu isometri. Misalkan ��, �� = �′ dan ��, �� = �′ seperti pada Gambar 2.7. 18 Gambar 2.7 Rotasi titik � dan � dengan pusat � Berdasarkan definisi, maka �� ′ ����� = �� ���� , �∠��� ′ = � dan �� ′ ����� = �� ���� , �∠��� ′ = �. Pandang ∆ ��� dan ∆ ��′�′ maka �� ′ ����� = �� ����, �� ′ ����� = �� ����, dan �∠��� = �∠�′��′ sehingga ∆ ��� ≅ ∆ ��′�′. Karena ∆ ��� ≅ ∆ ��′�′ maka �� ���� = � ′ �′ ������. Jadi terbukti bahwa rotasi merupakan isometri. Untuk selanjutnya penulisan lambang rotasi ��, � disederhanakan menjadi � � .

G. Glide Refleksi geser

Definisi 2.13 Umble, 2015 hal. 96. Diberikan � suatu garis dan vektor �. Transformasi � �,� ∶ ℝ 2 → ℝ 2 disebut glide refleksi geser dengan sumbu � dan vektor � jika i. � �,� = � � � � . ii. � � � = �. Contoh 2.9 Glide segitiga ��� terhadap sumbu � dan vektor � menghasilkan segitiga ��� 19 Gambar 2.8 Glide segitiga ��� Pada Gambar 2.8 di atas menunjukkan proses glide dari segitiga ��� sehingga menghasilkan segitiga ���. Pertama segitiga ��� direfleksikan terhadap garis � sehingga menghasilkan segitiga �′�′�′. Kemudian segitiga �′�′�′ ditranslasikan menggunakan vektor � sehingga menghasilkan segitiga ���. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa glide refleksi geser merupakan suatu isometri. Misalkan terdapat garis �, vektor �, �� = �, dan �� = �. Berdasarkan definisi � = � � � �� , maka didapatkan Persamaan berikut: �� = � � � ′ � �� � 2.5 �� = � � � ′ � �� � 2.6 Misalkan � �� � = �′ dan � �� � = �′, maka jarak �� ���� sama dengan �′�′ ������ karena � �� adalah suatu isometri dan diperoleh Persamaan 2.7. �� ���� = �′�′ ������ 2.7 20 Selanjutnya jika � � � ′ = � dan � � � ′ = �, maka jarak �′�′ ������ sama dengan �� ������ karena � � adalah suatu isometri dan diperoleh Persamaan 2.8. �′�′ ������ = �� ������ 2.8 Berdasarkan Persamaan 2.7 dan 2.8, maka dapat diperoleh Persamaan 2.9 yaitu: �� ���� = �� ������ 2.9 Dengan demikian maka jarak �� ���� sama dengan jarak �� ������ sehingga gliderefleksi geser merupakan suatu isometri.

H. Grup simetri

Definisi 2.14 Grup simetri pada ℝ � Gallian, 2006 hal. 435. Misalkan F adalah himpunan titik-titik pada ℝ � . Grup simetri untuk F pada ℝ � adalah himpunan semua isometri pada ℝ � yang memuat F ke dirinya sendiri. Dengan kata lain misalkan � adalah suatu bangun dan � 1 , � 2 , � 3 , � 4 , � 5 adalah suatu transformasi isometri, dimana � 1 � = �, � 2 � = �, � 3 � = �, � 4 � = �, � 5 � = � maka � 1 , � 2 , � 3 , � 4 , � 5 membentuk grup simetri bangun �. Contoh 2.10 Grup � 2 : { � � , � � , � 180° , � 360° = �} adalah grup simetri.