8
Bukti : Oleh karena
� suatu grup, sehingga untuk setiap � di � berlaku bahwa ����
−1
= � dan
���
−1
�
−1
= ���
−1
�
−1
= ���
−1
= ��
−1
= �, maka ��
−1
= �
−1
�
−1
.
Teorema 2.4 Sifat kanselasi Gallian, 2006 hal. 48 . Misalkan
� suatu grup, maka
∀ �, �, � ∊ � berlaku bahwa: i.
Jika �� = �� , maka � = �.
ii. Jika
�� = ��, maka � = �. Bukti:
i. Ambil sembarang
�, �, � ∊ � dan diketahu bahwa �� = ��, maka �
−1
�� = �
−1
�� Karena � suatu grup dan � ∊ � maka �
−1
∊ � �
−1
�� = �
−1
�� asosiatif �� = �� ��
−1
= � identitas
� = � ii.
Bukti analog dengan i
Definisi 2.5 Sukirman, 2014 hal. 91. Misalkan
� suatu grup, � ∊ � dan � suatu bilangan bulat positif maka,
�
�
= � � � � … . � sebanyak � faktor.
�
−�
= �
−1 �
dengan �
−1
invers dari �.
� =
� elemen identitas.
Teorema 2.6
Sukirman, 2014 hal. 92. Jika � suatu grup, � dan �
sembarang bilangan-bilangan bulat, maka untuk setiap � di � berlaku
�
�
�
�
= �
�+�
�
� �
= �
��
Bukti:
Karena � dan � bilangan bulat maka terdapat tiga keadaan, yaitu:
Keadaan I : � dan � keduanya positif
�
�
�
�
= � � � � � … . �� � � � � … �
9
sebanyak m faktor sebanyak n faktor =
� � � � � … � sebanyak � + � faktor =
�
�+�
Keadaan II : � dan � keduanya negatif, misalnya � = −� dan � =
− � dengan � dan � bilangan bulat positif. �
�
�
�
= �
−�
�
−�
�
�
�
�
= �
−1 �
�
−1 �
= �
−1
�
−1
�
−1
… �
−1
�
−1
�
−1
�
−1
… �
−1
sebanyak k faktor sebanyak t faktor =
�
−1
�
−1
�
−1
… �
−1
sebanyak � + � faktor
= �
−1 �+�
= �
−�+�
= �
−�+−�
= �
�+�
Keadaan III : salah satu positif dan lainnya negatif, misalkan � bulat
positif dan � bulat negatif dan |�| |�|. Misalkan � = −� dengan �
suatu bilangan bulat positif. �
�
�
�
= �
�
�
−�
= �
�
�
−1 �
= � � � � � … . ��
−1
�
−1
�
−1
… �
−1
sebanyak � faktor sebanyak � faktor
= � � � … ��
−1
�
−1
�
−1
… �
−1
dan seterusnya sebanyak
� − � faktor =
� � � � �
10
= �
�−�
= �
�+−�
= �
�+�
Untuk kasus | �| ≤ |�| bukti analog.
B. Transformasi
Definisi 2.7 Rotman, 2005 hal. 88 Terdapat suatu fungsi
� ∶ ℝ
2
→ ℝ
2
, maka,
i. Fungsi
� ∶ ℝ
2
→ ℝ
2
disebut injektif jika untuk setiap �, � di ℝ
2
dengan � ≠ � maka �� ≠ ��.
ii. Fungsi
� ∶ ℝ
2
→ ℝ
2
disebut surjektif jika untuk setiap � di ℝ
2
maka terdapat
� ∈ ℝ
2
sedemikian sehingga � = ��.
Contoh 2.3 Umble, 2015 hal.35 Fungsi
� ∶ ℝ
2
→ ℝ
2
yang dinyatakan sebagai
��, � = � + 2, � − 3 adalah fungsi injektif dan surjektif. Bukti:
a. Akan dibuktikan
��, � = � + 2, � − 3 fungsi injektif. Ambil sebarang
�, � di ℝ
2
, � = �
1
, �
1
dan � = �
2
, �
2
. Dengan menggunakan kontraposisi dari definisi fungsi injektif yaitu jika untuk
setiap �, � di ℝ
2
dengan �� = �� maka � = �, didapatkan
�� = �� �
1
+ 2, �
1
− 3 = �
2
+ 2, �
2
− 3 sehingga
�
1
+ 2 = �
2
+ 2 ↔ �
1
= �
2
dan �
1
− 3 = �
2
− 3 ↔ �
1
= �
2
. Terbukti bahwa ��, � = � + 2, � − 3 suatu fungsi injektif.
b. Akan dibuktikan
��, � = � + 2, � − 3 fungsi surjektif. Ambil sebarang
� di ℝ
2
, � = �
1
, �
1
terdapat � di ℝ
2
dengan � =
�
2
, �
2
= �
1
− 2, �
1
+ 3 sehingga �� = �
1
− 2 + 2, � − 3 +
11
3 = �
1
, �
1
= �. Terbukti bahwa ��, � = � + 2, � − 3 fungsi
surjektif.
Definisi 2.8 Leonard, 2014 hal. 212. Suatu fungsi
� disebut transformasi jika:
i. Fungsi tersebut memetakan dari satu himpunan ke himpunan yang
sama. ii.
Fungsi tersebut injektif. iii.
Fungsi tersebut surjektif.
Contoh 2.4 Eccles, 1971 hal.13
1. Suatu fungsi
� ∶ ℝ
2
→ ℝ
2
dinyatakan sebagai ��, � = � + 1, �
adalah suatu transformasi. Bukti :
a. Akan dibuktikan
��, � = � + 1, � adalah suatu fungsi. ��, � = � + 1, � adalah fungsi jika � = � maka �� = ��.
Ambil sebarang �, � ∈ ℝ
2
, � = �
1
, �
1
dan � = �
2
, �
2
. Jika � = � maka �
1
= �
2
dan �
1
= �
2
. ��
1
, �
1
= �
1
+ 1, �
1
= �
2
+ 1, �
2
= ��
2
, �
2
Dapat disimpulkan bahwa ��, � = � + 1, � adalah suatu fungsi.
b. � satu-satu injektif, sebab jika ��
1
, �
1
= ��
2
, �
2
maka didapatkan Persamaan 2.1 berikut:
�
1
+ 1, �
1
= �
2
+ 1, �
2
2.1 dari Persamaan 2.1 diperoleh
�
1
+ 1 = 2 �
2
+ 1 2.2
�
1
= �
2
2.3
12
dari Persamaan 2.2 diperoleh �
1
+ 1 = �
2
+ 1 ↔ �
1
= �
2
sehingga �
1
, �
1
= �
2
, �
2
. c.
� onto surjektif, karena jika diambil sebarang �
1
, �
1
di ℝ
2
, maka ada
�
2
, �
2
di ℝ
2
yaitu �
2
, �
2
= �
1
− 1, �
1
sehingga ��
2
, �
2
= � �
2
− 1, �
2
= � �
1
− 1 + 1, �
1
= �
1
, �
1
Jadi � suatu transformasi.
C. Isometri
Definisi 2.9 Gallian, 2006 hal. 453. Suatu isometri pada dimensi-
� pada ruang
ℝ
�
adalah suatu fungsi dari ℝ
�
ke ℝ
�
yang mempertahankan jarak. Karena pembahasan dimensi pada penelitian ini adalah dimensi-
2 sehingga, dengan kata lain fungsi
�: ℝ
2
→ ℝ
2
adalah suatu isometri jika titik
� dan � pada ℝ
2
mempunyai jarak yang sama dengan titik �� dan
��. Jarak kedua titik didefinisikan sebagai berikut: �� = ��
2
− �
1 2
+ �
2
− �
1 2
2.4
Contoh 2.5 Umble, 2015 hal. 36 Suatu transformasi identitas adalah
suatu isometri karena �
′
= �� = � dan �
′
= �� = � sedemikian
sehingga �� = �’�’.
D. Translasi
Definisi 2.10 Umble, 2015 hal. 47. Diberikan titik
�, � dan vektor � = �. �. Translasi dari � ke � adalah suatu transformasi �
�,�
∶ ℝ
2
→ ℝ
2
yang memenuhi: i.
� = �
�,�
�.
13
ii. Jika
� = �, maka �
�,�
= �.
iii. Jika vektor
� = �� maka �
�
= �
�,�
.
Contoh 2.6 Titik
�1,1 ditranslasikan terhadap vektor � = 2.2 sehingga menghasilkan titik
�′3,3 seperti pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Translasi titik
� terhadap vektor �
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa translasi merupakan suatu isometri. Misalkan
�
�
adalah suatu translasi dengan �
�
� = �′ dan �
�
� = �′ maka ��′ ����� = � dan ��′
����� = � sehingga ��′ ����� = ��′
�����. Terdapat dua kondisi titik-titik
�, �
′
, �, �′, yaitu:
a. �, �
′
, �, �′ tidak segaris maka ��′
����� = ��′ ����� dan ��′
����� ∥ ��′ ����� sehingga
�, �
′
, �, �′ adalah suatu jajargenjang, sehingga �
′
�
′
������ = �� ����.
Gambar 2.2 Jajar genjang
��
′
��′ b.
�, �
′
, �, �′ segaris, maka akan ditunjukkan pada Gambar 2.3