Definisi dan Sifat-sifat Sederhana Grup

8 Bukti : Oleh karena � suatu grup, sehingga untuk setiap � di � berlaku bahwa ���� −1 = � dan ��� −1 � −1 = ��� −1 � −1 = ��� −1 = �� −1 = �, maka �� −1 = � −1 � −1 . Teorema 2.4 Sifat kanselasi Gallian, 2006 hal. 48 . Misalkan � suatu grup, maka ∀ �, �, � ∊ � berlaku bahwa: i. Jika �� = �� , maka � = �. ii. Jika �� = ��, maka � = �. Bukti: i. Ambil sembarang �, �, � ∊ � dan diketahu bahwa �� = ��, maka � −1 �� = � −1 �� Karena � suatu grup dan � ∊ � maka � −1 ∊ � � −1 �� = � −1 �� asosiatif �� = �� �� −1 = � identitas � = � ii. Bukti analog dengan i Definisi 2.5 Sukirman, 2014 hal. 91. Misalkan � suatu grup, � ∊ � dan � suatu bilangan bulat positif maka, � � = � � � � … . � sebanyak � faktor. � −� = � −1 � dengan � −1 invers dari �. � = � elemen identitas. Teorema 2.6 Sukirman, 2014 hal. 92. Jika � suatu grup, � dan � sembarang bilangan-bilangan bulat, maka untuk setiap � di � berlaku � � � � = � �+� � � � = � �� Bukti: Karena � dan � bilangan bulat maka terdapat tiga keadaan, yaitu: Keadaan I : � dan � keduanya positif � � � � = � � � � � … . �� � � � � … � 9 sebanyak m faktor sebanyak n faktor = � � � � � … � sebanyak � + � faktor = � �+� Keadaan II : � dan � keduanya negatif, misalnya � = −� dan � = − � dengan � dan � bilangan bulat positif. � � � � = � −� � −� � � � � = � −1 � � −1 � = � −1 � −1 � −1 … � −1 � −1 � −1 � −1 … � −1 sebanyak k faktor sebanyak t faktor = � −1 � −1 � −1 … � −1 sebanyak � + � faktor = � −1 �+� = � −�+� = � −�+−� = � �+� Keadaan III : salah satu positif dan lainnya negatif, misalkan � bulat positif dan � bulat negatif dan |�| |�|. Misalkan � = −� dengan � suatu bilangan bulat positif. � � � � = � � � −� = � � � −1 � = � � � � � … . �� −1 � −1 � −1 … � −1 sebanyak � faktor sebanyak � faktor = � � � … �� −1 � −1 � −1 … � −1 dan seterusnya sebanyak � − � faktor = � � � � � 10 = � �−� = � �+−� = � �+� Untuk kasus | �| ≤ |�| bukti analog.

B. Transformasi

Definisi 2.7 Rotman, 2005 hal. 88 Terdapat suatu fungsi � ∶ ℝ 2 → ℝ 2 , maka, i. Fungsi � ∶ ℝ 2 → ℝ 2 disebut injektif jika untuk setiap �, � di ℝ 2 dengan � ≠ � maka �� ≠ ��. ii. Fungsi � ∶ ℝ 2 → ℝ 2 disebut surjektif jika untuk setiap � di ℝ 2 maka terdapat � ∈ ℝ 2 sedemikian sehingga � = ��. Contoh 2.3 Umble, 2015 hal.35 Fungsi � ∶ ℝ 2 → ℝ 2 yang dinyatakan sebagai ��, � = � + 2, � − 3 adalah fungsi injektif dan surjektif. Bukti: a. Akan dibuktikan ��, � = � + 2, � − 3 fungsi injektif. Ambil sebarang �, � di ℝ 2 , � = � 1 , � 1 dan � = � 2 , � 2 . Dengan menggunakan kontraposisi dari definisi fungsi injektif yaitu jika untuk setiap �, � di ℝ 2 dengan �� = �� maka � = �, didapatkan �� = �� � 1 + 2, � 1 − 3 = � 2 + 2, � 2 − 3 sehingga � 1 + 2 = � 2 + 2 ↔ � 1 = � 2 dan � 1 − 3 = � 2 − 3 ↔ � 1 = � 2 . Terbukti bahwa ��, � = � + 2, � − 3 suatu fungsi injektif. b. Akan dibuktikan ��, � = � + 2, � − 3 fungsi surjektif. Ambil sebarang � di ℝ 2 , � = � 1 , � 1 terdapat � di ℝ 2 dengan � = � 2 , � 2 = � 1 − 2, � 1 + 3 sehingga �� = � 1 − 2 + 2, � − 3 + 11 3 = � 1 , � 1 = �. Terbukti bahwa ��, � = � + 2, � − 3 fungsi surjektif. Definisi 2.8 Leonard, 2014 hal. 212. Suatu fungsi � disebut transformasi jika: i. Fungsi tersebut memetakan dari satu himpunan ke himpunan yang sama. ii. Fungsi tersebut injektif. iii. Fungsi tersebut surjektif. Contoh 2.4 Eccles, 1971 hal.13 1. Suatu fungsi � ∶ ℝ 2 → ℝ 2 dinyatakan sebagai ��, � = � + 1, � adalah suatu transformasi. Bukti : a. Akan dibuktikan ��, � = � + 1, � adalah suatu fungsi. ��, � = � + 1, � adalah fungsi jika � = � maka �� = ��. Ambil sebarang �, � ∈ ℝ 2 , � = � 1 , � 1 dan � = � 2 , � 2 . Jika � = � maka � 1 = � 2 dan � 1 = � 2 . �� 1 , � 1 = � 1 + 1, � 1 = � 2 + 1, � 2 = �� 2 , � 2 Dapat disimpulkan bahwa ��, � = � + 1, � adalah suatu fungsi. b. � satu-satu injektif, sebab jika �� 1 , � 1 = �� 2 , � 2 maka didapatkan Persamaan 2.1 berikut: � 1 + 1, � 1 = � 2 + 1, � 2 2.1 dari Persamaan 2.1 diperoleh � 1 + 1 = 2 � 2 + 1 2.2 � 1 = � 2 2.3 12 dari Persamaan 2.2 diperoleh � 1 + 1 = � 2 + 1 ↔ � 1 = � 2 sehingga � 1 , � 1 = � 2 , � 2 . c. � onto surjektif, karena jika diambil sebarang � 1 , � 1 di ℝ 2 , maka ada � 2 , � 2 di ℝ 2 yaitu � 2 , � 2 = � 1 − 1, � 1 sehingga �� 2 , � 2 = � � 2 − 1, � 2 = � � 1 − 1 + 1, � 1 = � 1 , � 1 Jadi � suatu transformasi.

C. Isometri

Definisi 2.9 Gallian, 2006 hal. 453. Suatu isometri pada dimensi- � pada ruang ℝ � adalah suatu fungsi dari ℝ � ke ℝ � yang mempertahankan jarak. Karena pembahasan dimensi pada penelitian ini adalah dimensi- 2 sehingga, dengan kata lain fungsi �: ℝ 2 → ℝ 2 adalah suatu isometri jika titik � dan � pada ℝ 2 mempunyai jarak yang sama dengan titik �� dan ��. Jarak kedua titik didefinisikan sebagai berikut: �� = �� 2 − � 1 2 + � 2 − � 1 2 2.4 Contoh 2.5 Umble, 2015 hal. 36 Suatu transformasi identitas adalah suatu isometri karena � ′ = �� = � dan � ′ = �� = � sedemikian sehingga �� = �’�’.

D. Translasi

Definisi 2.10 Umble, 2015 hal. 47. Diberikan titik �, � dan vektor � = �. �. Translasi dari � ke � adalah suatu transformasi � �,� ∶ ℝ 2 → ℝ 2 yang memenuhi: i. � = � �,� �. 13 ii. Jika � = �, maka � �,� = �. iii. Jika vektor � = �� maka � � = � �,� . Contoh 2.6 Titik �1,1 ditranslasikan terhadap vektor � = 2.2 sehingga menghasilkan titik �′3,3 seperti pada Gambar 2.1. Gambar 2.1 Translasi titik � terhadap vektor � Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa translasi merupakan suatu isometri. Misalkan � � adalah suatu translasi dengan � � � = �′ dan � � � = �′ maka ��′ ����� = � dan ��′ ����� = � sehingga ��′ ����� = ��′ �����. Terdapat dua kondisi titik-titik �, � ′ , �, �′, yaitu: a. �, � ′ , �, �′ tidak segaris maka ��′ ����� = ��′ ����� dan ��′ ����� ∥ ��′ ����� sehingga �, � ′ , �, �′ adalah suatu jajargenjang, sehingga � ′ � ′ ������ = �� ����. Gambar 2.2 Jajar genjang �� ′ ��′ b. �, � ′ , �, �′ segaris, maka akan ditunjukkan pada Gambar 2.3