Grup Kristalografi Kisi Satuan
35
Gambar 4.2 Kisi-kisi satuan
Setiap jenis kisi satuan dapat membentuk pola dengan bantuan suatu isometri tertentu. Pola pola tersebut membentuk 17 grup kristalografi
yang berbeda Schattschneider, 1978. Ketujuh belas grup kristalografi tersebut adalah :
1. Grup
�1 Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu
�
1
= �
�,�
dan �
2
= �
�,�
, sehingga dapat dituliskan sebagai �1 = {�
1 �
, �
2 �
| �, � ∈
ℤ}. Kisi satuan dalam grup �1 adalah jajargenjang seperti pada Gambar 4.3.
36
Gambar 4.3 Kisi satuan untuk
�1 Contoh untuk grup
�1 terdapat pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4
Contoh motif grup �1
2. Grup
�2 Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu
�
1
= �
�,�
dan �
2
= �
�,�
dengan arah translasi yang saling berlawanan. Dapat dinyatakan dengan
�2 = ��
�,�
, �
�,�
, �
�
�. Kisi satuan dalam grup �2 sama seperti grup
�1 yaitu jajargenjang.
Gambar 4.5 Kisi satuan untuk
�2 Contoh untuk pola grup
�2 terdapat pada Gambar 4.6.
37
Gambar 4.6 Contoh motif grup
�2
3. Grup
�� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu
�
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
dan refleksi dengan satu sumbu sehingga dapat dituliskan sebagai �� = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
| �, � ∈ ℤ, � = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup
�� berupa persegi panjang.
Gambar 4.7 Kisi satuan untuk
�� Contoh dari grup
�� ada pada Gambar 4.8
Gambar 4.8 Contoh motif grup
��
38
4. Grup
�� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu
�
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, dan
glide sehingga dapat dinyatakan
sebagai �� = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
| �, �, � ∈ ℤ �. . Kisi satuan dalam grup �� berupa
persegi panjang.
Gambar 4.9 Kisi satuan untuk
�� Contoh dari grup
�� ada pada Gambar 4.10.
Gambar 4.10 Contoh motif grup
��
5. Grup
�� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu
�
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
dan refleksi sehingga dapat dituliskan sebagai �� = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
| �, � ∈ ℤ, � = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup
�� berupa belah ketupat.
39
Gambar 4.11 Kisi satuan untuk
�� Contoh dari pola grup
�� ada pada Gambar 4.12.
Gambar 4.12 Contoh motif grup
�� 6.
Grup ���
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, refleksi terhadap garis horisontal yaitu
�
�� ⃖����⃗
, dan refleksi terhadap vertikal yaitu
�
�� ⃖�����⃗
sehingga dapat dituliskan sebagai ��� =
��
1 �
, �
2 �
, �
1 �
�
2 �
| �, � ∈ ℤ, �, � = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup
��� berupa persegi panjang.
Gambar 4.13 Kisi satuan untuk
��� Contoh dari grup
��� ada pada Gambar 4.14.
40
Gambar 4.14 Contoh motif grup
��� 7.
Grup ���
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, dan refleksi. Translasi yang digunakan adalah translasi dengan arah yang berlawanan, sehingga dapat dituliskan sebagai
��� = ��
1 �
, �
2 �
, �
1 �
�
2 �
| �, � ∈ ℤ, �, � = 0 atau 1 �. Kisi satuan
dalam grup ��� berupa persegi panjang atau persegi.
Gambar 4.15 Kisi satuan untuk
��� Contoh dari grup
��� ada pada Gambar 4.16.
Gambar 4.16 Contoh motif grup
���
41
8. Grup
��� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu
�
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
dan glide ke dua arah, sehingga dapat dituliskan sebagai ��� = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
�
�
| �, �, � ∈ ℤ, � = 0 atau 1�. Kisi satuan
dalam grup ��� berupa persegi panjang.
Gambar 4.17 Kisi satuan untuk
��� Contoh dari grup
��� ada pada Gambar 4.18.
Gambar 4.18 Contoh motif grup
��� 9.
Grup ���
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, glide dan refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai ��� = ���
1 �
, �
2 �
, �
�
�
�
| �, �, � ∈ ℤ, � = 0 atau 1��. Kisi satuan
dalam grup ��� berupa belah ketupat.
42
Gambar 4.19 Kisi satuan untuk ���
Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.20.
Gambar 4.20 Contoh motif grup
��� 10.
Grup �4
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, dan rotasi 90 ° searah perputaran jarum jam, sehingga
dapat dituliskan sebagai �4 = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
| �, � ∈ ℤ, � =
0,1,2, atau 3 �. Kisi satuan dalam grup �4 berupa persegi.
Gambar 4.21
Kisi satuan untuk �4
Contoh dari grup �4 ada pada Gambar 4.22.
43
Gambar 4.22 Contoh motif grup
�4 11.
Grup �4�
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, rotasi 90 ° searah perputaran jarum jam dan refleksi
dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan �4� =
��
1 �
, �
2 �
, �
�
�
�
| �, � ∈ ℤ, � = 0,1,2, atau 3, � = 0 atau 1�.
Kisi satuan dalam grup
�4� berupa persegi.
Gambar 4.23 Kisi satuan untuk
�4� Contoh dari grup
�4� ada pada Gambar 4.24.
Gambar 4.24 Contoh motif grup
�4�
44
12. Grup
�4� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu
�
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, rotasi 90 ° searah perputaran jarum jam dan refleksi
dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai �4� = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
�
�
| �, � ∈ ℤ, � = 0,1,2, atau 3, � = 0 atau 1�.
Kisi satuan dalam grup �4� berupa persegi.
Gambar 4.25 Kisi satuan untuk
�4� Contoh dari grup
�4� ada pada Gambar 4.26.
Gambar 4.26 Contoh motif grup
�4� 13.
Grup �3
Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu
�
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, dan rotasi 120
° searah perputaran jarum jam, sehingga grup �3 dapat
dinyatakan sebagai �3 = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
| �, � ∈ ℤ , � = 0,1, atau 2�.
45
Gambar 4.27 Kisi satuan untuk
�3 Contoh untuk grup
�3 terdapat pada Gambar 4.28.
Gambar 4.28 Contoh motif grup
�3
14. Grup
�3�1 Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup
ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, rotasi 120
° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �3�1 dapat dinyatakan sebagai �3�1 = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
�
�
| �, � ∈
ℤ , � = 0,1, ���� 2, � = 0 atau 1�.
46
Gambar 4.29 Kisi satuan untuk
�3�1 Contoh untuk grup
�3�1 ada pada Gambar 4.30.
Gambar 4.30
Contoh motif grup �3�1
15. Grup
�31� Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup
ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, rotasi 120
° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �31� dapat dinyatakan sebagai �31� = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
�
�
| �, � ∈
ℤ , � = 0,1, atau 2, � = 0 atau 1�.
Gambar 4.31
Kisi satuan untuk �31�
Contoh untuk grup �31� ada pada Gambar 4.32.
47
Gambar 4.32 Contoh motif grup
�31� Durbin, 1985
16. Grup
�6 Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup
ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, dan rotasi 60
° searah perputaran jarum jam, sehingga grup �6 dapat
dinyatakan sebagai �6 = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
| �, � ∈ ℤ , � =
0,1,2,3,4 atau 5 �
Gambar 4.33 Kisi satuan untuk
�6 Contoh untuk grup
�6 ada pada Gambar 4.34.
Gambar 4.34 Contoh motif grup
�6 Martin, 1982
48
17. Grup
�6� Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup
ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �
1
= �
�,�
, �
2
= �
�,�
, rotasi 60
° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �6�
dapat dinyatakan sebagai �6� = ��
1 �
, �
2 �
, �
�
�
�
| �, � ∈ ℤ , � =
0,1,2,3,4 atau 5, � = 0 atau 1�.
Gambar 4.35
Kisi satuan untuk �6�
Contoh untuk grup �6� ada pada Gambar 4.36.
Gambar 4.36 Contoh motif grup
�6� Gallian, 2006
Penamaan grup kristalografi tersebut menggunakan penamaan internasional. Untuk keterangan gambar dari tiap tiap kisi dapat dilihat
pada tabel berikut.
49
Tabel 4.1 Keterangan kisi satuan Pusat rotasi lipat-2
Pusat rotasi lipat-3 Pusat rotasi lipat-4
Pusat rotasi lipat-6
Untuk memudahkan dalam membedakan setiap pola, maka Tabel 4.2 digunakan untuk mengenali pola pada grup kristalografi.
Tabel 4.2 Klasifikasi grup kristalografi
Jenis Grup
Model Kisi
Satuan Pusat
rotasi lipat-
n Refleksi
Glide
p1 jjg
1 tidak ada
tidak ada p2
jjg 2
tidak ada tidak ada
pm ppj
1 ada
tidak ada pg
ppj 1
tidak ada ada
cm bkt
1 ada
ada pmm
ppj 2
ada tidak ada
pmg ppj
2 ada
ada pgg
ppj 2
tidak ada ada
cmm bkt
2 ada
ada p4
psg 4
tidak ada tidak ada
50
p4m psg
4 ada
ada p4g
psg 4
ada ada
p3 s6
3 tidak ada
tidak ada p3m1
s6 3
ada ada
p31m s6
3 ada
ada p6
s6 6
tidak ada tidak ada
p6m s6
6 ada
ada
Keterangan : a.
jjg : jajargenjang b.
bkt : belah ketupat c.
ppj : persegi panjang d.
psg : persegi e.
s6 : segienam