Grup Kristalografi Kisi Satuan

35 Gambar 4.2 Kisi-kisi satuan Setiap jenis kisi satuan dapat membentuk pola dengan bantuan suatu isometri tertentu. Pola pola tersebut membentuk 17 grup kristalografi yang berbeda Schattschneider, 1978. Ketujuh belas grup kristalografi tersebut adalah : 1. Grup �1 Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� dan � 2 = � �,� , sehingga dapat dituliskan sebagai �1 = {� 1 � , � 2 � | �, � ∈ ℤ}. Kisi satuan dalam grup �1 adalah jajargenjang seperti pada Gambar 4.3. 36 Gambar 4.3 Kisi satuan untuk �1 Contoh untuk grup �1 terdapat pada Gambar 4.4. Gambar 4.4 Contoh motif grup �1 2. Grup �2 Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� dan � 2 = � �,� dengan arah translasi yang saling berlawanan. Dapat dinyatakan dengan �2 = �� �,� , � �,� , � � �. Kisi satuan dalam grup �2 sama seperti grup �1 yaitu jajargenjang. Gambar 4.5 Kisi satuan untuk �2 Contoh untuk pola grup �2 terdapat pada Gambar 4.6. 37 Gambar 4.6 Contoh motif grup �2 3. Grup �� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� dan refleksi dengan satu sumbu sehingga dapat dituliskan sebagai �� = �� 1 � , � 2 � , � � | �, � ∈ ℤ, � = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup �� berupa persegi panjang. Gambar 4.7 Kisi satuan untuk �� Contoh dari grup �� ada pada Gambar 4.8 Gambar 4.8 Contoh motif grup �� 38 4. Grup �� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , dan glide sehingga dapat dinyatakan sebagai �� = �� 1 � , � 2 � , � � | �, �, � ∈ ℤ �. . Kisi satuan dalam grup �� berupa persegi panjang. Gambar 4.9 Kisi satuan untuk �� Contoh dari grup �� ada pada Gambar 4.10. Gambar 4.10 Contoh motif grup �� 5. Grup �� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� dan refleksi sehingga dapat dituliskan sebagai �� = �� 1 � , � 2 � , � � | �, � ∈ ℤ, � = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup �� berupa belah ketupat. 39 Gambar 4.11 Kisi satuan untuk �� Contoh dari pola grup �� ada pada Gambar 4.12. Gambar 4.12 Contoh motif grup �� 6. Grup ��� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , refleksi terhadap garis horisontal yaitu � �� ⃖����⃗ , dan refleksi terhadap vertikal yaitu � �� ⃖�����⃗ sehingga dapat dituliskan sebagai ��� = �� 1 � , � 2 � , � 1 � � 2 � | �, � ∈ ℤ, �, � = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup ��� berupa persegi panjang. Gambar 4.13 Kisi satuan untuk ��� Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.14. 40 Gambar 4.14 Contoh motif grup ��� 7. Grup ��� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , dan refleksi. Translasi yang digunakan adalah translasi dengan arah yang berlawanan, sehingga dapat dituliskan sebagai ��� = �� 1 � , � 2 � , � 1 � � 2 � | �, � ∈ ℤ, �, � = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup ��� berupa persegi panjang atau persegi. Gambar 4.15 Kisi satuan untuk ��� Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.16. Gambar 4.16 Contoh motif grup ��� 41 8. Grup ��� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� dan glide ke dua arah, sehingga dapat dituliskan sebagai ��� = �� 1 � , � 2 � , � � � � | �, �, � ∈ ℤ, � = 0 atau 1�. Kisi satuan dalam grup ��� berupa persegi panjang. Gambar 4.17 Kisi satuan untuk ��� Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.18. Gambar 4.18 Contoh motif grup ��� 9. Grup ��� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , glide dan refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai ��� = ��� 1 � , � 2 � , � � � � | �, �, � ∈ ℤ, � = 0 atau 1��. Kisi satuan dalam grup ��� berupa belah ketupat. 42 Gambar 4.19 Kisi satuan untuk ��� Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.20. Gambar 4.20 Contoh motif grup ��� 10. Grup �4 Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , dan rotasi 90 ° searah perputaran jarum jam, sehingga dapat dituliskan sebagai �4 = �� 1 � , � 2 � , � � | �, � ∈ ℤ, � = 0,1,2, atau 3 �. Kisi satuan dalam grup �4 berupa persegi. Gambar 4.21 Kisi satuan untuk �4 Contoh dari grup �4 ada pada Gambar 4.22. 43 Gambar 4.22 Contoh motif grup �4 11. Grup �4� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , rotasi 90 ° searah perputaran jarum jam dan refleksi dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan �4� = �� 1 � , � 2 � , � � � � | �, � ∈ ℤ, � = 0,1,2, atau 3, � = 0 atau 1�. Kisi satuan dalam grup �4� berupa persegi. Gambar 4.23 Kisi satuan untuk �4� Contoh dari grup �4� ada pada Gambar 4.24. Gambar 4.24 Contoh motif grup �4� 44 12. Grup �4� Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , rotasi 90 ° searah perputaran jarum jam dan refleksi dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai �4� = �� 1 � , � 2 � , � � � � | �, � ∈ ℤ, � = 0,1,2, atau 3, � = 0 atau 1�. Kisi satuan dalam grup �4� berupa persegi. Gambar 4.25 Kisi satuan untuk �4� Contoh dari grup �4� ada pada Gambar 4.26. Gambar 4.26 Contoh motif grup �4� 13. Grup �3 Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , dan rotasi 120 ° searah perputaran jarum jam, sehingga grup �3 dapat dinyatakan sebagai �3 = �� 1 � , � 2 � , � � | �, � ∈ ℤ , � = 0,1, atau 2�. 45 Gambar 4.27 Kisi satuan untuk �3 Contoh untuk grup �3 terdapat pada Gambar 4.28. Gambar 4.28 Contoh motif grup �3 14. Grup �3�1 Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , rotasi 120 ° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �3�1 dapat dinyatakan sebagai �3�1 = �� 1 � , � 2 � , � � � � | �, � ∈ ℤ , � = 0,1, ���� 2, � = 0 atau 1�. 46 Gambar 4.29 Kisi satuan untuk �3�1 Contoh untuk grup �3�1 ada pada Gambar 4.30. Gambar 4.30 Contoh motif grup �3�1 15. Grup �31� Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , rotasi 120 ° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �31� dapat dinyatakan sebagai �31� = �� 1 � , � 2 � , � � � � | �, � ∈ ℤ , � = 0,1, atau 2, � = 0 atau 1�. Gambar 4.31 Kisi satuan untuk �31� Contoh untuk grup �31� ada pada Gambar 4.32. 47 Gambar 4.32 Contoh motif grup �31� Durbin, 1985 16. Grup �6 Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , dan rotasi 60 ° searah perputaran jarum jam, sehingga grup �6 dapat dinyatakan sebagai �6 = �� 1 � , � 2 � , � � | �, � ∈ ℤ , � = 0,1,2,3,4 atau 5 � Gambar 4.33 Kisi satuan untuk �6 Contoh untuk grup �6 ada pada Gambar 4.34. Gambar 4.34 Contoh motif grup �6 Martin, 1982 48 17. Grup �6� Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu � 1 = � �,� , � 2 = � �,� , rotasi 60 ° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �6� dapat dinyatakan sebagai �6� = �� 1 � , � 2 � , � � � � | �, � ∈ ℤ , � = 0,1,2,3,4 atau 5, � = 0 atau 1�. Gambar 4.35 Kisi satuan untuk �6� Contoh untuk grup �6� ada pada Gambar 4.36. Gambar 4.36 Contoh motif grup �6� Gallian, 2006 Penamaan grup kristalografi tersebut menggunakan penamaan internasional. Untuk keterangan gambar dari tiap tiap kisi dapat dilihat pada tabel berikut. 49 Tabel 4.1 Keterangan kisi satuan Pusat rotasi lipat-2 Pusat rotasi lipat-3 Pusat rotasi lipat-4 Pusat rotasi lipat-6 Untuk memudahkan dalam membedakan setiap pola, maka Tabel 4.2 digunakan untuk mengenali pola pada grup kristalografi. Tabel 4.2 Klasifikasi grup kristalografi Jenis Grup Model Kisi Satuan Pusat rotasi lipat- n Refleksi Glide p1 jjg 1 tidak ada tidak ada p2 jjg 2 tidak ada tidak ada pm ppj 1 ada tidak ada pg ppj 1 tidak ada ada cm bkt 1 ada ada pmm ppj 2 ada tidak ada pmg ppj 2 ada ada pgg ppj 2 tidak ada ada cmm bkt 2 ada ada p4 psg 4 tidak ada tidak ada 50 p4m psg 4 ada ada p4g psg 4 ada ada p3 s6 3 tidak ada tidak ada p3m1 s6 3 ada ada p31m s6 3 ada ada p6 s6 6 tidak ada tidak ada p6m s6 6 ada ada Keterangan : a. jjg : jajargenjang b. bkt : belah ketupat c. ppj : persegi panjang d. psg : persegi e. s6 : segienam

C. Penerapan Grup Kristalografi untuk Motif Batik

Untuk dapat membentuk suatu motif dari pola dasar, maka perlu untuk mengetahui daerah generator dari setiap grup kristalografi. Daerah generator pada sebuah pola adalah daerah terkecil pada bidang dimana grup simetri daerah tersebut memenuhi seluruh bidang Schattschneider, 1978. Daerah generator dari setiap grup kristalografi dapat dilihat pada Gambar 4.37. 51 Gambar 4.37 Daerah generator untuk setiap grup kristalografi Schattschneider, 1978. Kemudian untuk membentuk motif dengan pola dasar tertentu maka dibutuhkan langkah langkah sebagai berikut : 1. Tempatkan pola dasar pada daerah generator. 2. Operasikan pola dengan isometri yang terdapat pada grup kristalografi. 3. Pola di translasikan searah dengan vektor yang membentuk rusuk kisi satuan. 52 Contoh 4.1. Membentuk motif dengan grup kristalografi 1. Membentuk motif dengan pola dasar “ ∫ “ menggunakan grup �3�1. Gambar 4.38 Langkah-langkah pembentukan motif menggunakan grup �3�1 Pola dasar “ ∫ “ ditempatkan pada daerah generator seperti pada Gambar 4.38 a. Karena isometri yang terdapat pada grup �3�1 adalah �� �,� , � �,� , � 120° , � �� ⃖����⃗ �, selanjutnya pola di refleksikan terhadap garis �� ⃖����⃗ seperti pada Gambar 4.38 b. Kemudian pola tersebut dirotasikan 120 ° dengan pusat rotasi � sebanyak dua kali dan dilanjutkan dengan translasi searah dengan sisirusuk kisi satuan yaitu garis �� �����⃗ dan �� �����⃗ sehingga menghasilkan motif batik pada Gambar 4.38 d. 2. Membentuk motif dengan pola pada Gambar 4.39 menggunakan grup �4. 53 Gambar 4.39 Pola dasar Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat motif dari pola dasar tersebut adalah: a. Pola dasar ditempatkan pada daerah generator seperti pada Gambar 4.40 a. b. Pola dasar dirotasikan dengan sudut 90 ° sebanyak tiga kali seperti pada Gambar 4.40 b. c. Pola tersebut ditranslasikan vertikal dan horizontal sehingga menghasilkan motif pada Gambar 4.40 c. Gambar 4.40 Langkah-langkah pembentukan motif menggunakan grup �4

D. Graphical User Interface GUI untuk Pembentukan Motif Batik

Untuk mempermudah dalam mengaplikasikan grup kristalografi untuk pembentukan motif batik, maka dibuat program menggunakan Graphical User Interface GUI pada MATLAB. Program ini dapat membentuk motif batik menggunakan grup kristalografi. Pada program ini pola dasar yang berupa gambar akan diproses menjadi suatu matriks