20
Selanjutnya jika �
�
�
′
= � dan �
�
�
′
= �, maka jarak �′�′
������ sama dengan
�� ������ karena �
�
adalah suatu isometri dan diperoleh Persamaan 2.8.
�′�′ ������ = ��
������ 2.8
Berdasarkan Persamaan 2.7 dan 2.8, maka dapat diperoleh Persamaan 2.9 yaitu:
�� ���� = ��
������ 2.9
Dengan demikian maka jarak ��
���� sama dengan jarak �� ������ sehingga
gliderefleksi geser merupakan suatu isometri.
H. Grup simetri
Definisi 2.14 Grup simetri pada
ℝ
�
Gallian, 2006 hal. 435. Misalkan F
adalah himpunan titik-titik pada
ℝ
�
. Grup simetri untuk F pada ℝ
�
adalah himpunan semua isometri pada ℝ
�
yang memuat F ke dirinya sendiri.
Dengan kata lain misalkan � adalah suatu bangun dan
�
1
, �
2
, �
3
, �
4
, �
5
adalah suatu transformasi isometri, dimana �
1
� = �, �
2
� = �, �
3
� = �, �
4
� = �, �
5
� = � maka �
1
, �
2
, �
3
, �
4
, �
5
membentuk grup simetri bangun �.
Contoh 2.10 Grup
�
2
: { �
�
, �
�
, �
180°
, �
360°
= �} adalah grup simetri.
21
Gambar 2.9 Segiempat
���� Pada Gambar 2.9 terdapat suatu bangun
����. Himpunan isometri yang memuat bangun
���� yaitu: �
�
∶ ���� → ���� �
�
∶ ���� → ���� ��, 180° ∶ ���� → ����
��, 360°: ���� → ���� = � Komposisi fungsi dari setiap isometri-isometri diatas ada pada Tabel 2.1
Tabel 2.1 Komposisi fungsi dari tiap isometri o
� �
�
�
�
�
180°
� �
�
�
�
�
�
180°
�
�
�
�
� �
180°
�
�
�
�
�
�
�
180°
� �
�
�
180°
�
180°
�
�
�
�
�
Dari Tabel 2.1 dapat diketahui bahwa, 1.
Bersifat asosiatif Misalkan
�
�
�
�
�
180°
= �
�
�
�
= �
22
�
�
�
�
�
180°
= �
180°
�
180°
= �
Maka �
�
�
�
�
180°
= �
�
�
�
�
180°
2. Terdapat elemen identitas yaitu
�
360°
Hal itu dikarenakan, a.
�
�
�
360°
= �
360°
�
�
= �
�
b. �
�
�
360°
= �
360°
�
�
= �
�
c. �
180°
�
360°
= �
360°
�
180°
= �
180°
3. Setiap elemen memiliki invers, invers dari
�
�
, �
�
, �
180°
, � adalah �
�
, �
�
, �
180°
, �.
Jadi isometri isometri tersebut membentuk suatu grup yaitu �
2
: { �
�
, �
�
, �
180°
, �
360°
= �}.
I. Frieze Group
Frieze group merupakan grup simetri tak hingga yang hanya memuat satu translasi Umble, 2015. Grup ini membentuk suatu pola tertentu.
Menurut Gallian, 2006 terdapat 7 macam grup simetri tak hingga yang membentuk tujuh pola yang berbeda. Tujuh macam grup simetri tersebut
adalah : 1.
Pola I Pada grup simetri di pola I hanya terdiri dari translasi. Misalkan
� adalah sebuah translasi maka grup pada pola I dapat ditulis sebagai :
�
1
= { �
�
| � ∊ ℤ }
23
Grup �
1
dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 2.10
Gambar 2.10 Ilustrasi grup
�
1
Contoh untuk pola grup �
1
ada pada Gambar 2.11
Gambar 2.11 Contoh untuk pola grup
�
1
2. Pola II
Grup simetri pola II seperti pada pola I namun isometri yang digunakan adalah glide refleksi geser. Misalkan