Rotasi Glide Refleksi geser

20 Selanjutnya jika � � � ′ = � dan � � � ′ = �, maka jarak �′�′ ������ sama dengan �� ������ karena � � adalah suatu isometri dan diperoleh Persamaan 2.8. �′�′ ������ = �� ������ 2.8 Berdasarkan Persamaan 2.7 dan 2.8, maka dapat diperoleh Persamaan 2.9 yaitu: �� ���� = �� ������ 2.9 Dengan demikian maka jarak �� ���� sama dengan jarak �� ������ sehingga gliderefleksi geser merupakan suatu isometri.

H. Grup simetri

Definisi 2.14 Grup simetri pada ℝ � Gallian, 2006 hal. 435. Misalkan F adalah himpunan titik-titik pada ℝ � . Grup simetri untuk F pada ℝ � adalah himpunan semua isometri pada ℝ � yang memuat F ke dirinya sendiri. Dengan kata lain misalkan � adalah suatu bangun dan � 1 , � 2 , � 3 , � 4 , � 5 adalah suatu transformasi isometri, dimana � 1 � = �, � 2 � = �, � 3 � = �, � 4 � = �, � 5 � = � maka � 1 , � 2 , � 3 , � 4 , � 5 membentuk grup simetri bangun �. Contoh 2.10 Grup � 2 : { � � , � � , � 180° , � 360° = �} adalah grup simetri. 21 Gambar 2.9 Segiempat ���� Pada Gambar 2.9 terdapat suatu bangun ����. Himpunan isometri yang memuat bangun ���� yaitu: � � ∶ ���� → ���� � � ∶ ���� → ���� ��, 180° ∶ ���� → ���� ��, 360°: ���� → ���� = � Komposisi fungsi dari setiap isometri-isometri diatas ada pada Tabel 2.1 Tabel 2.1 Komposisi fungsi dari tiap isometri o � � � � � � 180° � � � � � � � 180° � � � � � � 180° � � � � � � � 180° � � � � 180° � 180° � � � � � Dari Tabel 2.1 dapat diketahui bahwa, 1. Bersifat asosiatif Misalkan � � � � � 180° = � � � � = � 22 � � � � � 180° = � 180° � 180° = � Maka � � � � � 180° = � � � � � 180° 2. Terdapat elemen identitas yaitu � 360° Hal itu dikarenakan, a. � � � 360° = � 360° � � = � � b. � � � 360° = � 360° � � = � � c. � 180° � 360° = � 360° � 180° = � 180° 3. Setiap elemen memiliki invers, invers dari � � , � � , � 180° , � adalah � � , � � , � 180° , �. Jadi isometri isometri tersebut membentuk suatu grup yaitu � 2 : { � � , � � , � 180° , � 360° = �}.

I. Frieze Group

Frieze group merupakan grup simetri tak hingga yang hanya memuat satu translasi Umble, 2015. Grup ini membentuk suatu pola tertentu. Menurut Gallian, 2006 terdapat 7 macam grup simetri tak hingga yang membentuk tujuh pola yang berbeda. Tujuh macam grup simetri tersebut adalah : 1. Pola I Pada grup simetri di pola I hanya terdiri dari translasi. Misalkan � adalah sebuah translasi maka grup pada pola I dapat ditulis sebagai : � 1 = { � � | � ∊ ℤ } 23 Grup � 1 dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 2.10 Gambar 2.10 Ilustrasi grup � 1 Contoh untuk pola grup � 1 ada pada Gambar 2.11 Gambar 2.11 Contoh untuk pola grup � 1 2. Pola II Grup simetri pola II seperti pada pola I namun isometri yang digunakan adalah glide refleksi geser. Misalkan