Isometri Translasi APLIKASI GRUP KRISTALOGRAFI UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF BATIK YANG DIIMPLEMENTASIKAN DENGAN GRAPHICAL USER INTERFACE (GUI).

15 Gambar 2.4 Refleksi titik � terhadap garis � Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa refleksi merupakan suatu isometri. Misalkan � � � = �′ dan � � � = �′, ada beberapa keadaan khusus letak titik-titik �, � ′ , �, dan �′ terhadap garis �, yaitu : Gambar 2.5 Keadaan titik titik �, � ′ , �, dan �′ terhadap garis � a. Keadaan I �, � ′ , �, �′ segaris, misalkan ruas garis ��′ ����� memotong garis � di titik � maka diperoleh � ′ � ����� = �� ���� dan � ′ � ����� = �� ����. Ruas garis � ′ � ����� dikurangi dengan ruas garis � ′ � ����� sehingga diperoleh � ′ � ����� − � ′ � ����� = �� ���� − �� ���� , maka � ′ � ′ ������ = �� ���� . b. Keadaan II �, � ′ , �, �′ adalah segiempat, sehingga � ′ � ′ ������ = �� ���� 16 c. Keadaan III Misalkan ��′ memotong garis � di titik � maka terdapat segitiga ∆ �′�′� dan ∆ ���. Besar sudut ∠� ′ �� ′ adalah 90 � , demikian pula dengan besar sudut ∠��� adalah 90 � . Ruas garis �� ���� sama dengan ruas garis �′� �����, sedangkan ruas garis �� ���� berimpit dengan ruas garis �′� ����� sehingga ∆ � ′ � ′ � ≅ ∆ ���. Jadi dapat disimpulkan bahwa � ′ � ′ ������ = �� ����. d. Keadaan IV Analog dengan bukti keadaan 3 maka diperoleh ∆ ��� ≅ ∆ �′��. Akibatnya �� ���� = �′� ����� dan besar sudut ∠��� sama dengan besar sudut ∠�′��, sehingga besar sudut ∠��� sama dengan besar sudut ∠�′��. Jadi dapat disimpulkan ∆ ��� ≅ ∆ �′�′�, dan berakibat � ′ � ′ ������ = �� �����. e. Keadaan V Menggunakan cara yang sama dengan keadaan sebelumnya, maka didapat ∆ ��� ≅ ∆ �′�� dan ∆ ��� ≅ ∆ �′�� akibatnya diperoleh �� ���� = � ′ � ����� dan �� ���� = �′� �����. Ruas garis �� ���� dijumlahkan dengan ruas garis �� ���� didapat �� ���� + �� ���� = � ′ � ����� + �′� �����, sehingga �� ����� = � ′ �′ ������. Berdasarkan kelima keadaan tersebut maka terbukti bahwa refleksi merupakan isometri. 17

F. Rotasi

Definisi 2.12 Umble, 2015 hal. 53. Diberikan titik �, �,di ℝ 2 dan � di ℝ. Rotasi terhadap titik � dengan sudut �° adalah suatu fungsi � �,� ∶ ℝ 2 → ℝ 2 yang memenuhi: i. � �,� � = �. ii. Jika � ≠ � dan � �,� � = �′ dengan �� ′ ����� = �� ���� dan �∠��� ′ = �. Sudut putar � bernilai positif jika arah putaran berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, sebaliknya sudut putar � bernilai negatif jika arah perputarannya searah dengan arah perputaran jarum jam. Contoh 2.8 Segitiga ��� dirotasikan sebesar 90° dengan titik pusat �. ��, �� = �′, ��, �� = �′, ��, �� = �′, sehingga menghasilkan segitiga �′�′�′ seperti pada Gambar 2.6. Gambar 2.6 Rotasi segitiga ABC sebesar 90° dengan titik pusat D Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa rotasi merupakan suatu isometri. Misalkan ��, �� = �′ dan ��, �� = �′ seperti pada Gambar 2.7.