Isometri Translasi APLIKASI GRUP KRISTALOGRAFI UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF BATIK YANG DIIMPLEMENTASIKAN DENGAN GRAPHICAL USER INTERFACE (GUI).
15
Gambar 2.4
Refleksi titik � terhadap garis �
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa refleksi merupakan suatu isometri. Misalkan
�
�
� = �′ dan �
�
� = �′, ada beberapa keadaan khusus letak titik-titik
�, �
′
, �, dan �′ terhadap garis �, yaitu :
Gambar 2.5 Keadaan titik titik
�, �
′
, �, dan �′ terhadap garis �
a. Keadaan I
�, �
′
, �, �′ segaris, misalkan ruas garis ��′
����� memotong garis � di titik � maka diperoleh �
′
� ����� = ��
���� dan �
′
� ����� = ��
����. Ruas garis �
′
� �����
dikurangi dengan ruas garis �
′
� ����� sehingga diperoleh �
′
� ����� − �
′
� ����� =
�� ���� − ��
���� , maka �
′
�
′
������ = �� ���� .
b. Keadaan II
�, �
′
, �, �′ adalah segiempat, sehingga �
′
�
′
������ = �� ����
16
c. Keadaan III
Misalkan ��′ memotong garis � di titik � maka terdapat segitiga
∆ �′�′� dan ∆ ���. Besar sudut ∠�
′
��
′
adalah 90
�
, demikian pula dengan besar sudut
∠��� adalah 90
�
. Ruas garis ��
���� sama dengan ruas garis
�′� �����, sedangkan ruas garis ��
���� berimpit dengan ruas garis �′�
����� sehingga ∆ �
′
�
′
� ≅ ∆ ���. Jadi dapat disimpulkan bahwa �
′
�
′
������ = �� ����.
d. Keadaan IV
Analog dengan bukti keadaan 3 maka diperoleh ∆ ��� ≅ ∆ �′��.
Akibatnya ��
���� = �′� ����� dan besar sudut ∠��� sama dengan besar sudut
∠�′��, sehingga besar sudut ∠��� sama dengan besar sudut ∠�′��. Jadi dapat disimpulkan
∆ ��� ≅ ∆ �′�′�, dan berakibat �
′
�
′
������ = ��
�����. e.
Keadaan V Menggunakan cara yang sama dengan keadaan sebelumnya, maka
didapat ∆ ��� ≅ ∆ �′�� dan ∆ ��� ≅ ∆ �′�� akibatnya
diperoleh ��
���� = �
′
� ����� dan ��
���� = �′� �����. Ruas garis ��
���� dijumlahkan dengan ruas garis
�� ���� didapat ��
���� + �� ���� = �
′
� ����� + �′�
�����, sehingga ��
����� = �
′
�′ ������.
Berdasarkan kelima keadaan tersebut maka terbukti bahwa refleksi merupakan isometri.
17