¿ 0 ; x lainnya
Contoh 2:
Misalnya peubah acak Y berdistribusi gamma dengan parameter α=2 dan β=3 . Hitung peluang bahwa Yberharga lebih dari 4.
Penyelesaian:
Fungsi densitas dari Y berbentuk: h y =
y 9
e
− y
3
; y0 ¿
0 ; y lainnya. Jadi: P Y 4 =
∫
4 ∞
1 9
y . e
− y
3
dy
¿ 1
9 lim
b → ∞
y . e
− y
3
dy Integral diatas diselesaikan dengan menggunakan integral parsial.
Misalnya:
u= y
, maka
du=dy
dv=e
− y
3
dy , maka v =−3 . e
− y
3
P Y 4 = 1
9 lim
b → ∞
− 3 y . e
− y
3
¿
y=4 b
+ 3
∫
4 b
e
− y
3
dy
¿ 1
9 lim
b → ∞
− 3 y .e
− y
3
¿
y=4 b
− 9 . e
− y
3
¿
y=4 b
¿ 1
9 lim
b → ∞
− 3 b . e
− b
3
+ 12 . e
− 4
3
− 9 . e
− b
3
+ 9 .e
− 4
3
¿ 1
9
[
lim
b → ∞
− 3 b . e
− b
3
+ 21. e
− 4
3
− lim
b → ∞
9 .e
− b
3
]
¿ 1
9 0+21. e
− 4
3
− P Y 4 =
21 9
. e
− 4
3
= 0,6151
3. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Distribusi eksponensial ini diperoleh dari distribusi gamma dengan
α=3
dan
β=θ
. Sehingga kita peroleh definisi distribusi eksponensial berikut.
DEFINISI 4.5.3: FUNGSI DENSITAS EKSPONENSIAL
Peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
f x = 1
θ . e
− x
θ
; xθ ,θ 0
¿ 0 ; x lainnya .
Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial disebut juga peubah acak eksponensial.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi eksponensial adalah
expx ;θ
, artinya peubah acak X berdistribusi eksponensial dengan parameter θ . Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial dengan parameter θ bisa juga
ditulis sebagai: X expθ
Pemahaman uraian tentang distribusi eksponensial diperjelas melalui contoh berikut.
Contoh 1:
Apakah artinya
X exp2
? Kemudian tuliskan bentuk fungsi densitasnya.
Penyelesaian:
X exp2
artinya peubah acak X berdistribusi eksponensial dengan parameter θ=2 . Fungsi densitas dari berbentuk:
g x= 1
2 . e
− x
2
; x0 ¿
0 ; x lainnya
Contoh 2:
Misalnya peubah acak Y berdistribusi eksponensial dengan parameter θ=3 . Hitung peluang bahwa Y bernilai lebih dari 2.
Penyelesaian:
Fungsi densitas dari Y adalah: h y =
1 3
.e
− y
3
; y0 ¿
0 ; y lainnya P Y 2=1−P Y ≤2
¿ 1−
∫
2
1 3
. e
− y
3
dy
¿ 1−
1 3
− 3 . e
− y
3
¿
y=0 2
¿ 1+
e
− 2
3
− 1
P Y 2=e
− 2
3
= 0,5134
. DISTRIBUSI BETA
Misalnya fungsi dari peubah acak Y yang berdistribusi seragam berbentuk:
h y
= 1 ;0 y 1
¿ 0 ; y lainnya.
Apabila kita memperhatikan fungsi densitas di atas, maka sebenarnya fungsi densitas tersebut merupakan hal khusus dari distribusi lain, yang disebut distribusi beta.
DEFINISI 4.5.5: FUNGSI DENSITAS BETA
Peubah acak X dikatakan berdistribusi beta, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
f x = Γ α+β
Γ α . Γ β x
α−1
. 1−x
β −1
;0x 1, α0, β 0 ¿
0 ; x lainnya .
peubah acak X yang berdistribusi beta juga disebut peubah acak beta. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi beta adalah
B x ;α , β
, artinya peubah acak X berdistribusi beta dengan parameter α dan β .
Peubah acak X yang berdistribusi beta dengan parameter α dan β bisa juga ditulis sebagai:
X B α , β Pemahaman uraian tentang distribusi beta bisa dilihat dalam beberapa contoh berikut.
Contoh 1:
Apakah artinya
X B 2 ,3
? Kemudian tuliskan bentuk fungsi densitasnya.
Penyelesaian:
X B 2 ,3
artinya peubah acak X berdistribusi beta dengan parameter α=2 dan β=3 .
Fungsi densitas dari X berbentuk: h x =12 x 1−x
2
;0x1 ¿
0 ; x lainnya.
Contoh 2:
Jika peubah acak X berdistribusi beta dengan parameter α=1 dan β=4 , maka hitung:
a. μ
b. Peluang bahwa X bernilai paling sedikit 1
4
Penyelesaian:
Fungsi densitas X berbentuk: g x=4 1−x
3
;0x 1 ¿
0 ; x lainnya. a.
μ=E X =
∫
− ∞
∞
x . f x dx
¿
∫
− ∞
x . f x dx +
∫
1
x . f x dx+
∫
1 ∞
x . f x dx
¿
∫
− ∞
x .0 dx+
∫
1
x .41−x
3
dx+
∫
1 ∞
x .0 dx
¿ 0+4 . B
2 , 4 +
¿ 4 . B 2 , 4
¿ 4
Γ 2. Γ 4 Γ 6
¿ 4
13 5
μ=E X = 4
20 =
1 5
b. P
X ≥ 1
4 =
∫
1 4
4 1−x
3
dx Misalnya:
y=1−x
, maka
x=1− y
dx=−dy
Batas-batas: Untuk x= 3
4 , maka y=
1 4
Untuk x=1 , maka y=0 P
X ≥ 1
4 =
∫
3 4
4 y
3
− dy
¿
∫
3 4
4 y
3
dy
¿ y
4
¿
y=0 3
4
P X ≥
1 4
= 3
4
4
= 0,3164
6. DISTRIBUSI NORMAL UMUM
